Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

6-§. Maydon va uning asosiy xususiyatlari
Endi halqalarnig umumiy nazariyasiga yana qaytamiz. Halqalar uchun oddiy algebra va arifmetikadagi ko‘p qonunlarning saqlanib qolishini biz aniqlangan edik. Agarda biz quyidagi ikki shartning bajarilishini talab qilsak: 1) R halqa kommutativ bo‘lsin va 2) ax=b tenglama a0 bo‘lganda, harvaqt R ichida echiladigan bo‘lsin, u holda halqaning algebraik xossalari yana ham kuchayadi. Quyidagi tahrifni kiritamiz.
Maydon deb shunday kommutativ R halqaga aytiladiki, uning ichida hech bo‘lmaganda bitta noldan farq qiladigan element mavjud bo‘lib R dan olingan harqanday a0 va b elementlar uchun R ichida ax=b echiladigan tenglamadir (taqsim qilishning bajarilishi).
Maydon qanday qo‘shimcha hossalar ega ekan? Maydon noldan va qarama-qarshi elementlardan boshqa yana birlik elementga va teskari elementlarga ega bo‘lar ekan.
Faraz qilaylik s0 maydonning biror elementi bo‘lsin. Maydon tarifi bo‘yicha harvaqt shunday e elementni tanlab olish mumkinki, natijada
(4)
bo‘ladi. Ochiq mahlumki, e0. Agar e=0 bo‘lsa edi, c=ce=0 bo‘lib, s0 shart buzilgan bo‘lar edi.
Ko‘rsatish mumkinki, e maydonning birlik elementidir, yahni harqanday a element uchun

bo‘ladi. Isbot qilish maqsadida maydondan shunday x elementni tanlab olamizki, u quyidagi tenglamani qanoatlantirsin
(5)
so‘ngra bu tenglamaning ikki tomonini e ga ko‘paytiramiz. U vaqtda, assotsiativ va kommutativ qonunlardan foydalansak, mana bu

hosil bo‘ladi yoki (4) va (5) larga binoan

bo‘ladi. O‘z-o‘zidan malumki, ea ham a ga teng, chunki maydon kommutativ halqadir.
Endi mana bu
(6)
tipdagi tenglamani ko‘rib chiqaylik. Buning bittagina echilmaga ega ekanligini quyidagicha ko‘rsatish mumkin. Faraz etaylik (6) tenglamaning echilmasiz bitta emas, balki ikkita bo‘lsin: x=x₁, x=x₂, u vaqtda
(7)
(8)
bo‘ladi. (7) tenglikning ikki tomonini x₂ ga ko‘paytiramiz:
.
Lekin ikkinchi tomondan, (8) ga asosan

bundan x₁ = x₂ hosil bo‘ladi.
(8) tenglamaning yolg‘iz birgina echilmasini yoki orqali belgilash va a nisbatan teskari element deb aytish qabul qilingan. YAna shuni ham eslab o‘tamizki, bo‘ladi, chunki tenglamaning echilmasi, shubhasiz a bo‘ladi:

Endi umumiy holga o‘tamiz:
.
Buning ikki tomonini ga ko‘paytirish bilan biz yolg‘izgina echilmaga ega bo‘lamiz va uni ko‘rinishda yozamiz. simvol ustida bo‘ladigan amallarning kasrlar ustida bo‘ladigan amallardan hechqanday farqi yo‘qligini ko‘rish qiyin emas: bo‘lganda va faqat shu holdagina bo‘ladi.
(qo‘shish qoidasi)
(ko‘paytirish qoidasi) ;
(bo‘lish qoidasi)
Shu munosabatlarning hammasi isbot qilamiz. Birinchisidan boshlaymiz. tenglikning ikki tomonini bd ga ko‘paytirsak
yoki ad=bc
bo‘ladi.
Aksincha, ad=bc bo‘lsin. Bu tenglikning ikki tomonini ni ko‘paytirsak
yoki
kelib chiqadi.
Qo‘shish qoidasini isbot qilmoq uchun ni bd ga ko‘paytirib, distributiv qonundan foydalansak

yoki bahzi malum bo‘lgan qisqartishlardan keyin mana bu

kelib chiqadi. Nihoyat, so‘nggi tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirib ushbu natijaga ega bo‘lamiz:

Uchinchi munosabat ham (ko‘paytirish qoidasi) aynan shu usulda isbot qilinadi. Yahni:

buning ikki tomonini ga ko‘paytirilsa

hosil bo‘ladi.
Endi bo‘lish qoidasini tekshiramiz. Malumki

Haqiqatan ham, ga nisbatan teskari elementdir, chunki ko‘paytirish qoidasiga muvofiq

demak,

shuni isbo qilish kerak edi.
Arifmetikaning odatdagi qonunlari maydon uchun ham saqlanganidan, butun darajalar ustida bo‘ladigan hamma malum qoidalarni aynan elementar algebradagi kabi keltirib chiqarish mumkin. Shu bilan birga manfiy ko‘rsatkichli daraja deb (m- butun musbat son ) biz ni tushunamiz. Manfiy ko‘rsatkichli bo‘lmagan darajani biz yuqorida aniqlangan edik.
Nihoyat, quyidagi arifmetik qonunning maydonda ham bajarilishini qayd qilib o‘tamiz: agarda ikkita ko‘paytiruvchining ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytiruvchilardan kamida bittasi nolga teng bo‘ladi, boshqacha aytganda maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Bu oddiy isbot qilinadi: a  0 bo‘lsin, u holda ab=0 tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirsak b=0 kelib chiqadi.
Yuqorida bayon qilingan fikrlarni yakunlaymiz. Biz yuqorida ko‘rdikki maydon faqat nol va qarama-qarshi elementlargagina ega bo‘lmasdan, balki birlik elementga va teskari elementlarga ham ega. Undan tashqari, maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Mana shu aytilganlarning mohiyati nima. Buning manosi shuki,
1) qo‘shish amaliga nisbatan maydon abel gruppasidir,
2) ko‘paytirishga nisbatan, maydonning noldan boshqa hamma elementlari abel gruppasini tashkil qiladi.