Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

k manfiy yoki nolga teng bo‘lgan holda k=-n faraz etsak:

hosil bo‘ladi, bundan yoki , yani yoki kelib chiqadi.
3 misoldagi S maydonning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligini ko‘rish mumkin. Ravshanki, hamma sonli maydonlar nol xarakteristikali maydonlardan iboratdir.
Maydonga tegishli yana bitta misolni ko‘rib chiqaylik.
4. M orqali ushbu

ko‘rinishga ega bo‘lgan hamma matritsalar to‘plamini belgilaymiz, bundagi a,b - turli haqiqiy sonlardir. Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan berilgan to‘plamning maydon tashkil qilishini ko‘rsatamiz.
Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallarining bir qiymatli ekanligiga shubha yo‘q. Shuning uchun endi bu amallarning M to‘plam ichida bajarilishi mumkin ekanligini ko‘rsatamiz. M dan olingan ushbu ikkita ixtiyoriy

matritsalarni qo‘shsa va o‘zaro ko‘paytirsak mana bu natija

hosil bo‘ladi, bulardagi

yani biz o‘sha tipdagi matritsaga ega bo‘ldik.
Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishnig assotsiativ va distributiv qonunlarga bo‘ysunishini, uning ustiga, matritsalarni qo‘shishning kommutativ qonunga bo‘ysunishini biz o‘z vaqtida aniqlab o‘tgan edik. SHuning uchun biz endi bu erda ko‘paytirishning kommutativ qonunga bo‘ysunishligini aniqlaymiz. Haqiqatan ham, buning to‘g‘riligiga ishonishi mumkin:

Tekshirilayotgan to‘plamning matritsalari orasida nolli matritsa ham bo‘ladi va harqanday

matritsa uchun teskari bo‘lgan

matritsa ham M to‘plamga qarashli bo‘ladi, chunki – A matritsa A kabi ko‘rinishga ega. Shunday qilib biz ko‘ramizki, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan M to‘plam kommutativ halqa tashkil qiladi.
Endi M dan olingan harqanday A  0 va V matritsadar uchun Ax=B tenglamaning M ichida echilishi mumkin ekanligini ko‘rsatish qoladi. Bu esa, A 0 matritsaning maxsusmas ekanligidan kelib chiqadi. Darhakikat,
A  0 bo‘lgani uchun A matritsaning a,b elementlaridan kamida bittasi noldan farq qiladi, shunga ko‘ra u matritsaning ushbu

determinanti nolga teng bo‘lmaydi.
A 0 maxsusmas matritsa bo‘lgani uchun unga teskari bo‘lgan matritsa, albatta, bor. SHuni topamiz:

bundagi
.
Ko‘ramizki, M to‘plamga tegishli matritsa kelib chiqdi. Endi biz tenglamamizning echimini yozaolamiz. Bu esa x=A^-1B dan iborat bo‘lib, shubhasiz, A^-1B yana M to‘plamga qarashlidir, chunki A^-1 va B matritsalar M ga qarashlidir. Binobarin, biz ko‘rsatdikki, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishga nisbatan M to‘plam maydonni tashkil qiladi.
Maydon tushunchasi bizga nima beradi? Bu tushuncha hamma natijalarini har qanday maydonga tarqatishga yo‘l ochadi. Determinantlar nazariyasi, chiziqli tenglamalar nazariyasi, chiziqli almashtirmalar va matritsalar nazariyasi, n- o‘lchovli vektorial fazolar va ularning chiziqli almashtirmalari nazariyasi – kompleks sonlar maydoni uchun bayon qilingan mana shu nazariyalarning hammasi hech qanday o‘zgarishsiz ixtiyoriy R maydonga o‘tkazilishlari mumkin faqat bu joyda sonlar to‘g‘risida emas, balki tekshirilayotgan R maydonning elementlari to‘g‘risida so‘zlashga to‘g‘ri keladi. Bu, albatta tushunarlik bir narsa, chunki isbotimiz maydonning algebraik amallarining umumiy xossalariga asoslangan edi.
Hozirgi aytilgan fikrimizga qo‘shimcha qilib shuni qayd qilib o‘tamizki, a_i koordinatalari R maydondan olingan n- o‘lchovli vektorni R maydon ustidagi n- o‘lchovli vektor va shunday vektorlarning to‘plamini R maydon ustidagi n- o‘lchovli vektorial fazo deb aytish qabul qilingan.
Algebraning asosiy vazifasi algebraik amallarning xossalarini o‘rganishdan iborat ekanligini eslatib o‘tgan edik. Algebraik nuqtai nazardan o‘rnashtirilgan amalga nisbatan o‘zlarini bir xilda olib boradigan to‘plamlar orasida hech qanday farq yo‘q, ularni aynan bir xil deb hisoblash mumkin.
Misol uchun ko‘rinishdagi sonlarning L₁ to‘plamini olaylik, bundagi a,b ixtiyoriy butun sonlar. Sonlarni arifmetik ko‘paytirish shu to‘plamda aniqlangan amaldan iborat bo‘ladi. Haqiqatan ham L₁ to‘plamning ikki sonini ko‘paytirsak, biz mudom birqiymatli ravishda yana shu to‘plamning biror soniga ega bo‘lamiz:

bundagi va - yana butun sonlardir.
L₁ to‘plam bilan bir qatorda, yana quyidagi

ko‘rinishga ega bo‘lgan ikkinchi tartibli matritsalarning L₂ to‘plamini ko‘rib chiqaylik, bundagi a,b - ixtiyoriy butun sonlar. Ko‘rish mumkinki, matritsalarni ko‘paytirish shu to‘plamda aniqlangan amaldan iborat.
L₁ va L₂ to‘plamlar orasida quyidagi o‘zaro bir qiymatli moslikni o‘rnatish mumkin:
(12)
yani har bir songa mos qilib, shu dagi a va b larga ega bo‘lgan matritsani qo‘yish mumkin.
Endi, L₁ to‘plamdagi ixtiyoriy ikkita sonning ko‘paytmasiga nima mos kelishini tekshirib ko‘raylik. Malumki,

bo‘lgani uchun ushbu

songa yuqorida qabul qilingan (12) moslikka muvofiq mana bu matritsani
(13)
moslab olish kerak bo‘ladi, u holda ko‘paytmaga (13) matritsa mos keladi. Lekin tekshirib ko‘rish mumkinki, (13) matritsa ushbu matritsa bilan

quyidagi matritsaning

ko‘paytmasiga tengdir. Demak,
(14)
Shunday qilib ko‘ramizki, L₁ to‘plamdagi sonlarning ko‘paytmasiga L₂ to‘plamdagi mos matritsalar ko‘paytmasi javob beradi. Mana shu (14) moslikningo‘ziga mos bo‘lgan xususiyatiga ko‘ra L₁ va L₂ to‘plamlar ular ichida o‘rnashtirilgan amallarga nisbatan o‘zlarini bir xilda tutadilar:
L₁ to‘plamdagi sonlarni ko‘paytirish amalining har qanday xossasi L₂ to‘plamdagi matritsani ko‘paytirish amali uchun ham o‘rinlikdir va aksincha.
Masalan, L₁ to‘plam sonlarni ko‘paytirish, kommutativ qonunga bo‘ysunishi kerak.
(15)
(14) munosabatga binoan (15) tenglikning chap qismiga ushbu ko‘paytma
(16)
mos kelishi kerak, o‘ng qismiga esa mana bu
(17)
mos kelishi kerak. Moslik o‘zaro bir qiymatlik bo‘lgani uchun teng sonlarga teng matritsalar javob berishi kerak. Bundan natija, (16) va (17) ko‘paytmalar teng bo‘lishlari kerak:
(18)
Shunday qilib L₂ to‘plam matritsalarini ko‘paytirish ham kommutativ qonunga bo‘ysunishi kerak. Haqiqatda ham (18) tenglikni bevosita tekshirib ko‘rish fikrimizning to‘g‘riligini tasdiqlaydi.


Xulosa
Bilimdan, professional jihatdan hamda. g‘ayrat shijoatli shaxslarni, o‘z mamlakatining chinakam vatanparvarlarini tarbiyalay oladigan, ularni buyuk milliy madaniyatning ulkan manaviy merosi bilan boyita oladigan jahon fani va madaniyati durdonalaridan bahramand eta oladigan mamlakatgina buyuk kelajakka erishishi mumkinligini yoddan chikarmaslik lozim.
Kurs ishida matematikaning asosiy tushunchalaridan bo‘lgan algebraik strukturalar ko‘rib chiqildi. Algebraik strukturalar orqali matematikaning turli bo‘limlari aksiomatik qurilishga ega bo‘ladilar. Aksiomatik qurish esa matematika rivojida asosiy negiz bo‘lib xizmat qiladi. Bitiruv ishida to‘plam va to‘plamlar ustida amallar, algebraik amallar va ularning turlari, gruppa, yarimgruppa va monoidlar, algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning umumiy tariflari, to‘plam sistemalari, to‘plamlar halqasi va algebrasi, maydon va uning asosiy xususiyatlari ko‘rib chiqildi va misollar bilan boyitildi. Ko‘rilgan masalalar muxim ahamiyatga ega bo‘lib matematikaning turli bo‘limlari uchun umumiy xossalar aytish imkoniyatini beradi. Masalan maydon tushunchasi bizga nima beradi? Bu tushuncha hamma natijalarini har qanday maydonga tarqatishga yo‘l ochadi. Determinantlar nazariyasi, chiziqli tenglamalar nazariyasi, chiziqli almashtirmalar va matritsalar nazariyasi, n- o‘lchovli vektorial fazolar va ularning chiziqli almashtishlari nazariyasi – kompleks sonlar maydoni uchun bayon qilingan mana shu nazariyalarning hammasi hech qanday o‘zgarishsiz ixtiyoriy R maydonga o‘tkazilishlari mumkin faqat bu joyda sonlar to‘g‘risida emas, balki tekshirilayotgan R maydonning elementlari to‘g‘risida so‘zlashga to‘g‘ri keladi.