Geometriyadan misol va masalalar

MAVZU. KOORDINATALAR SISTEMASI.

Reja:

1. 
   Vektorning koordinatalari. Vektorning moduli va yo‘naltiruvchi kosinuslari.
   
2. 
   Koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida amallar.
   

Tayanch iboralar: mаsshtаb vеktor, birlik nuqta, vеktorning koordinаtаlаri, vektorning moduli, yo‘naltiruvchi kosinuslar, vektorlarni qo‘shish va ayirish.

1. 
   Vektorning koordinatalari. Vektorning moduli va yo‘naltiruvchi kosinuslari.
   

Mа’lum tаrtibdа olingаn vа kеsishаdigаn ikkitéi Ox, Oy o‘qhr jufti tеkislikdа umumiy dеkаrt yoki аffin koordinаtаlаr sistеmаsi dеb аtаlаdi. Koordinаtаlаr sistеmаsining boshi sifаtidа Ox, Oy o^hrning umumiy nuqtаsi olinéidi. Ox o‘qi- аbsissаlаr o‘qi, Oy -o‘qi ordinаtаlаr o‘qi dеb аtаlаdi(3.1.1-chizmа). OE1 = 11, OE₂ = ^l₂ vеktorlаr Ox,Oy o^hrning masshtab vektorlari dеyilаdi.


32

E1E2 nuqtаlаr Ox, Oy o^lorning birlik nuqtаlаri dеb аЫаШ. Ixtiyoriy M nuqtаdаn Ox, Oy o‘qlorigo рагиНе! to‘g‘ri chiziqlor o‘tkozomiz. M1 va M2 nuqtolor bu to‘g‘ri chiziqlorning mos rаvishdа Ox vo Oy o‘qlori bilon kеsishish nuqtаlаri bo‘lsin. M nuqtаning Ox o‘qidogi koordi^l^rn X vo M2 nuqtаning Oy o‘qdogi koordi^l^rn y bilon bеlgilаymiz. x va y sonlori mos rаvishdа M nuqtoning absissasi vo ordinatasi dеyilаdi vo M(x,y) ko‘rinishdo yozilodi. E(1,1) nuqto birlik nuqta dеb otolodi . Ox, Oy nuqtolor orosidogi burchok ^ go trag bo‘lib, mosshtob vеktorlаri bir xil uzunlikko ego bo‘lso, umumiy dеkаrt sistеmаsi to‘g‘ri burchokli dеyilаdi. Q^lordogi mosshtob vеktorlаrining uzunliklori tеng bo‘lib, o‘qlor orosidogi burchok ^ don forqli bo‘lso, sistеmа qiyshiq burchakli dеyilаdi. Ushbu mavzudagi шаБа^ат yеchish uchun zorur bo‘lgon formulolorni kеltirаmiz. X(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) nuqtolorning bir to‘g‘ri chiziqdo yotishi uchun yoki X1 -x3		y1 - y3 y2 - y3			=
^x2 ^—	^x3
	^X1	y1	^1
	^X2	y2	1	--	0
	^X3	y3	1

0


(3.1)


(3.2)


shortning boj orilishi zorur vo yеtаrlidir.

Uchlori A(x₁,y₁), B(x₂, y₂) nuqtolordo bo‘lgon AB kеsmаni Л Ф

1 nisbotdo bo‘luvchi C(x,y)

munosobotlordon oniqlonodi:

X₁+ÄX₂

X = —,

1+Л


nuqtoning koordi^l^ri quyidаgi


У1⁺^У2
1+Л


(3.3)


33



AB kеsmаni tеng ikkigа bo‘luvchi nuqtа koordinаtаlаri kеsmа


uchlаrigа tеgishli koordinаtаlаr yig‘indisining yarmigа tеng.

X = ^, y = ^y^. (3.4)

(3.1) va (3.4) formulalar аffin koordinаtаlаr sistеmаsidа hаm o‘rinlidir. AB vеktorlаrning koordinаtаlаri quyidаgichа аniqlаnаdi: A, B


nuqtаlаrdаn Ox, Oy o‘qlarga pаrаllеl to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlarning Ox o‘qi bilan kеsishish nuqtаlаrini A1,B1 bilan, Oy o‘qi bilan kеsishish nuqtаlаrini A₂,B₂ orqali bеlgilаymiz. A1B1 vеktorning Ox o‘qdagi koordinаtаsi x va A₂B₂ vеktorning Oy o‘qdagi koordinatasi y bilan birgalikda AB vеktorning umumiy dеkаrt Oxy sistеmasidagi koordinatalari dеb ataladi(3.1.2-chizma).

2. 
   chizma
   

Agar (x₁,y₁) — A nuqtaning va (x₂,y₂) — B nuqtaning koordinatalari bo‘lsa, u holda XB vеktorning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi:

X=X2^— X1, y = y2^— yi ^(3.5)

Agar x,y — AB vеktorning koordinatalari bo‘lsa,

XÏ? = {x,y} shaklida yoziladi.


34



4(x_i,y_i) va B(x₂,y₂) nuqtalar orasidagi masofa quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

d = -J⁽X2 - Xi⁾² + (y₂ - yi^{)2 (}3.6)

yoki

d = V.Y² + Y² (3.7)

bu yerda X, Y sonlar AB vektorning koordinatalari.


Uchlari ^(x_i,y_i),

uchburchakning yuzi to‘g‘ri
quyidagicha topiladi:

S = ^mod

2


B(X2,yz), burchakli


Cfeys)

koordinatalar


nuqtalardagi

sistemasida


%i -%3

*2


yi

y2


(3.8)


yoki


1

1

1


S = ^mod

2


O‘zlarining son qiymati


%i

*2


yi
y2


yo‘nalishi bilan

miqdorlar vektorlar deb ataladi.M_i(x_i,y_i,z_i) va


va


(3.9)


aniqlanadigan

M2⁽^2,y2,Z2)

nuqtalar mos ravishda a vektorning boshi va oxiri bo‘lsin. U holda a


vektorning koordinatalari quyidagicha aniqlanadi.

a = Mi m2 = {%2 - *i; y2 - yi; - Zi)

a vektorning uzunligiga teng bo‘lgan son uning moduli deyiladi va quyidagicha aniqlanadi.

|a| = ^J(%2 - Xi⁾² + ⁽y2 - yi⁾² + O2 - zi⁾²

Agar a vektor koordinata o‘qlari bilan mos ravishda a, ft va y burchaklar hosil qilsa, u holda cos a, cosp va cosy, a vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari deyiladi va quyidagicha aniqlanadi:

^cos“ = iii^{; cosp} = i5|^{; cosy} = ili ⁽3.¹⁰⁾

bu yerda: X = %2 - *i, Y = y2 - yi, Z = Z2 - Zi

Vektorning o‘qqa proyeksiyasi. a vektorning Y o‘qqa


proyeksiyasi, uning moduli va Y o‘q bilan tashkil qilgan burchagi ^ orqali quyidagicha aniqlanadi.

pr_ya = |a|cos ^

35



Myoriy а vеktоrning bеrilgan kооrdinatalar sistemasiga prоyеksiyasini X, Y, Z ощэН bеlgilaylik. U Iwlda а = {X, Y, Z} va |а| = VX² + Y² + Z² bo‘ladi.

1. 
   Misol. а(-3; 6; -2) vеktоrning mоdulini toping.
   

Yechish: Mоdulni topish formulasiga asоsan

а = 7(-3)² + 6² + (-2)² = V9 + 36 + 4 = V49 = 7

2. 
   Misol. а (15, -12, -^^terning yo‘naltiruvchi ^sin^larin aniqlang.
   

Yechish: |а| = ^15² + (-12)² + (-16)² =.

= V225 + 144 + 256 = 25

Endi X = 15; y = -12; z = -16 ekanligini e’t^rga оНЬ


yo‘naltiruvchi ^sinus^rn aniqlaymiz.

cosa = ^; cosß = -¹²;

kJ ¿4 kj


cosy =


16

25 .

2. 
   Koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida amallar.
   

Vеktоrlarni qo‘shish va ayirish: Agar а va b vеktоrlar kооrdinatalari bеrilgan bo‘lsa, ya’ni

d(%i,yi,zi) va Ь(х2,У2^)

u Iwlda

а + b = ^{%! + x₂; y1 + y₂; z1 + z₂^},

а - b = {x1 - x₂; y1 - y₂; z1 - z₂} ko‘rinishida bo‘ladi.

Agar â(xi,yi,zi) bo‘lsa, u Iwlda har qanday a sоn uchun quyidagi formula o‘rinli

аа = {ax₁,ay₁,az₁}. (3.11)

Bir to‘g‘ri chiziqda yoki paralfol to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi vеktоrlar Wlinear vеktоrlar dеb ataladi. а^^^) va b(x₂,y₂,z₂) vеktоrlarning ^Hinear^ sharti quyidagicha bo‘ladi:

^X2 _ ^y2 _ ^z2

ïï=ïï=z;

36



i , j , k uchlik vektorlar bazis koordinatalari deyiladi, agar quyidagi uchta shart bajarilsa,

1. 
   i vektor GX o‘qida, j vektor GF o‘qida, k vektor GZ o‘qida yotadi.
   
2. 
   har bir i, j , k vektorlar o‘z o‘qlarida musbat tomonga yo‘nalgan bo‘ladi.
   
3. 
   i, j , k vektorlar, birlik vektorlar, ya’ni |t| = 1, |j| = 1, |k| = 1, a vektor qanday bo‘lishidan qat’iy nazar uni har doim i , j , k bazislar bo‘yicha yoyish mumkin, ya’ni a = x1i + yj + z1k. Bu yerda x₁,y₁,z₁ - a vektorning koordinatalari.
   

3-Misol. a(3;2;-1), b(-2;-3;4) va c(5; 4;-6) vektorlar

berilgan bo‘lsa d = 4a + 3b - 2 c vektorni i, j, k vektor bo‘yicha


yoying.

Yechish: Endi 4a, 3b va 2c vektorlarni aniqlaymiz.

4a = {12; 8; -4}, 3b = {-6; -9; 12} va 2c = {10; 8; -12}. Demak,

d = 4a + 3b - 2c =


= {12 + (-6) - 10; 8 + (-9) - 8; -4 + 12 - (-12)}
d = 4a + 36 - 2c = {-4; -9; 20}.

d = -4j-9j+20k

4-Misol. Uchlari X(2; -3; 1) va B(16; 11; 15) nuqtalarda joylashgan AB kesmani 2 = 2:5 nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatasini toping.


Yechish: AB kesmani 2 = 2:5 nisbatda bo‘luvchi nuqtaning


koordinatasini, yuqorida berilgan (3.3) formula asosan topimiz:


2 + ² • 16

^X0 = = ⁶,

1+²
5


y₀ =


3 + ² • 11

⁵ = 1

1 ₊ ² ,

5


1 + ² • 15

-■ -^ •⁷

Natijada, AB kesmani 2 = 2:5 nisbatda bo‘luvchi C(6;1;7)


nuqtaning koordinatasini topdik.


37