Giperpolik tipdagi to‘lqin tenglamalari reja: kirish

1. Giperbolik tipdagi bir o‘lchovli tenglamani sonli yechish. Ushbu



1-rasm. To’lqin tenglamasining sonli yechimi natijalari grafiklari.

to’lqin tenglamasini (giperbolik tipdagi tenglamani) to’rlar usuli bilan yechish uchun beshnuqtali oshkor sxemadan foydalansak (1,c-rasm), quyidagi chekli ayirmali tenglamaga kelamiz:
Bu oshkor sxema da ustivor.
Bu masalani Mathcad yordamida sonli yechishning dasturi va uning natijalarini keltiramiz
Hisob natijalari 1-rasmda tasvirlangan.
Ushbu masalaning aynan Mathcad matematik paketi yordamida sonli yechilishi sababi hisob natijalarini oson vizuallashtirishning imkoniyatlarini ko’rsatishdan ham iborat. Shunday qilib, ushbu sonli yechilgan chegaraviy masala yechimlarini muhandislikning aniq amaliy masalalarini sonli yechishda asos qilib olish mumkin hamda o’quv amaliyotida va amaliy tadbiq uchun tegishli xulosalar chiqarishda ular yaqindan yordam beradi.
2. Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish.
Qovushoqmas siqiluvchan gaz uchun Eyleming bir o’lchovli tenglamalari sistemasi divergent shaklda quyidagicha yoziladi [3]:
(1)
bu yerda

Xususan, (1) nochiziqli tenglama qovushoqlik hisobga olinmaganda quyidagi Byurgers tenglamasini beradi [3]:
. (2)
Umuman olganda esa Byurgers nochiziqli tenglamasi quyidagicha yoziladi:
. (3)
Byurgers tenglamasi bir o’lchovli Navye-Stoks tenglamasining xususiy holidir. Gidrodinamikaning ba’zi masalalarini yechishda (3.2) yoki (3.3) tenglamalarning yechimini topish juda katta amaliy ahamiyatga ega. Buni ko’p hollarda analitik usul bilan amalga oshirib bo’lmaydi. Shunday paytda bizga (3.2) yoki (3.3) tenglamalarni har xil chekli ayirmali sxemalar bilan approksimatsiyalash orqali uni sonli yechish yaxshi natija beradi [3]. Buni quyidagi aniq amaliy masalani yechish orqali ko’rsatish mumkin.
1-masala. Quyidagi chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yeching:

Quyidagi ayirmali to’rni kiritamiz:

bu yerda N - Ox o’q bo’ylab tugunlar soni; vaqt bo’yicha qadam; koordinata bo’yicha qadam. To’r funksiyasini . Bularga ko’ra chegaraviy masalada
berilgan tenglamaning nuqtadagi ayirmali approksimatsiyasi
quyidagicha yoziladi:
(4)
chegaraviy va boshlang’ich shartlami approksimatsiyalash esa quyidagicha:
(5)
(6)
Hosil bo’lgan (3.4)-(3.6) ayirmali masalani yugiruvchi hisob sxemasi bo’yicha yechish mumkin. Faraz qilaylik, izlanayotgan to’r funksiyasining biror vaqt momentidagi qiymatlari ma’lum, vaqt momentida unng qiymatlarini topish talab etilsin. Dastlab (4) tentlamani i = 0 da yozib olamiz, bunda (6) ga ko’ra qiymatlar ma’lum. Natijada ga nisbatan kvadrat quyidagi tenglamaga kelamiz:
. (7)
bu yerdagi h va qadamlar ayirmali sxema ustivorligi shartidan topiladi. Bu (4) to’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemaning ustivorligini maksimum prinsipini qo’llash orqali ko’rsatib bo’lmaydi, ammo spektral kriteriya bilan (3.4) ning doimo ustivor ekanligini ko’rsatish mumkin [4]
Bu kvadrat tenglamani analitik yoki taqribiy hisob usullaridan biri, masalan, Nyuton usuli bilan yechish mumkin. Faraz qilaylik, izlanayotgan ildizga biror yaqinlashish bo’lsin. U holda (3.7) tenglama ushbu ko’rinishni
oladi, bunda . Bu tenglamani qatorga yoyib va uni chiziqlilashtirib,
ushbu tenglikni, o’z navbatida esa ushbu
iteratsion formulani hosil qilamiz. Iteratsion jarayon в aniqlik bilan . Shart
bajarilgancha davom ettiriladi. Ketma-ket larni hisoblab, funksiyaning
vaqt momentidagi qiymati hosil qilinadi.
Hisoblashlarni matematik paketlardan biri (masalan, Maple, Mathcad, MATLAB yoki boshqa) yordamida bajarish mumkin.
MS Excel elektron jadvali imkoniyatlari ham ushbu masalani muvaffaqiyatli yechish imkonini beradi. Bu quyidagicha bajariladi:

Ushbu (4) to’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan ayirmali sxema oddiy oshkor va oshkormas sxemalarga nisbatan yuqori aniqlikdagi silliq yechimni beradi. Chegaraviy masalaning uzilishli yechimlari yoki katta gradiyentli yechimlari bo’lganda bu ayirmali sxemadan foydalanish maqsadga mufofiq emas.
2-masala. Yuguruvchi hisob sxemasi va iteratsion usullardan foydalanib, quyidagi chegaraviy masala sonli yechilsin:

Masalani yechishning algoritmi. Berilgan tenglamani ushbu


ko‘rinishga keltiramiz. Quyidagi ayirmali sxema to‘rini kiritamiz:
bu yerda o‘qi bo‘ylab, o‘qi bo‘ylab tugunlar soni; koordinata va
vaqt bo‘yicha qadamlar. To‘r funksiyani kabi kiritamiz. Oxirgi
tenglamaning ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha yoziladi:
(1)
chegaraviy va boshlang‘ich shartlar:
Hosil qilingan ayirmali masalani yuguruvchi hisob sxema yordamida yechamiz. (1) tenglamadan foydalanib, ni quyidagi tenglamadan topamiz:
(2)
(1) tenglama transendent, uni quyidagi usul bilan yechamiz. ni ketma-ket
yaqinlashishlar bilan izlaymiz. Faraz qilaylik, ga dastlabki biror
yaqinlashish ma’lum bo‘lsin, u holda (2) tenglama ushbu ko‘rinishga
keladi, bu yerda Bu tenglamani qatorga yoyib, uni chiziqlilashtirish
orqali quyidagi tenglikka kelamiz: Natijada navbatdagi va undan
keyingi yaqinlashishlar uchun munosabatni hosil qilamiz.
Hisoblashlar jarayoni berilgan e aniqlikka erishilgunga qadar davom
ettiriladi. Xuddi shunday, laming qolgan indekslari uchun qiymatlari topiladi.
Hisob natijalari. Yuqorida keltirilgan hisob shabloni asosida MATLAB dasturi yaratildi, uning natijalari 1-rasmda tasvirlangan.

^ul=y^(i,j+¹⁾; ^dl=y^(i,j);
^dr=y⁽ⁱ+^1,j);

rasm. MATLAB dasturi hisobi natijalari.