Ii activités scientifiques du groupe Systèmes Dynamiques (syd) II problématique

II.1.4 Activités scientifiques du groupe Systèmes Dynamiques (SYD)

II.1.4.1 Problématique

Pendant très longtemps, les systèmes physiques modélisés par des équations non linéaires ont été étudiés en considérant que les non-linéarités étaient négligeables par rapport aux termes linéaires. Or depuis quelques décennies, les scientifiques se sont rendus compte que les non-linéarités généraient des phénomènes spécifiques et que ces phénomènes devaient être pris en compte pour étudier le système d'une manière satisfaisante. En effet, soit ces phénomènes sont indésirables, et alors la connaissance de leurs mécanismes est indispensable afin de les éviter, soit il faut les provoquer dans le but d'applications bien définies, soit enfin ils sont inévitables et intrinsèques au système lui-même et il faut les comprendre et les modéliser.

Les thèmes de recherche du groupe SYD concernent l'étude des systèmes dynamiques non linéaires discrets ou continus et de leur évolution sous l'effet de variations de paramètres. Les comportements en présence de fortes non-linéarités sont plus particulièrement mis en évidence. Parmi ces systèmes dynamiques non linéaires, nous avons privilégié deux directions, une première concerne les actionneurs à muscles artificiels en grande analogie fonctionnelle avec le muscle du corps humain dans le but de développer une robotique apte à partager son espace de travail avec l'homme. Une autre application importante de la dynamique complexe concerne le traitement du signal et les télécommunications. Les études effectuées se partagent de la façon suivante :

• 
  Etudes théoriques :
  

• 
  systèmes modélisés sous forme de transformations ponctuelles, inversibles ou non, et d'équations différentielles ordinaires, autonomes ou non autonomes,
  
• 
  analyse de la dynamique complexe ou chaotique dans l'espace de phase et analyse des bifurcations dans les espaces paramétriques,
  
• 
  modélisation et commande des systèmes fortement non linéaires que constituent les actionneurs à muscles artificiels pour la robotique.
  

• 
  Applications en Sciences de l'Ingénieur : robotique et commande, électronique non linéaire, électrotechnique, traitement du signal et télécommunications.
  

Ces travaux de recherche seront développés dans les sous-sections suivantes.

II.1.4.2 Etat de l’art

Partie dynamique complexe (partie robotique à compléter par Bertrand) :

L’étude de la dynamique complexe et chaotique telle qu’elle est traitée dans le groupe SYD s’inscrit dans le cadre de l’Automatique non linéaire. Les études menées, initiées par le Professeur Mira, fondateur du groupe de l’INSA, trouvent leur assise dans les travaux de l’école russe d’Andronov (1930-40), repris ensuite par des chercheurs américains dans les années 1950. Les travaux du groupe SYD, concernant plutôt les transformations ponctuelles, sont moins présents dans la communauté française, ce qui explique que les collaborations développées le sont plus avec la communauté internationale (Japon, Italie, Irlande, Espagne, Hongrie,…). Néanmoins l’évolution de la recherche ces dernières années, en mettant l’accent sur l’interdisciplinarité, nous a conduit à développer également des collaborations en France (participation à l’AS CNRS Non linéaire, Signal et Composants et prise de contact avec des chercheurs en cryptographie).

II.1.4.3 Equipes

Les personnes actuellement dans l'équipe sont :

Chercheurs permanents :

• 
  Danièle Fournier-Prunaret (Professeur à l'INSA),
  
• 
  Véronique Guglielmi (Maître de Conférence à l'INSA),
  
• 
  Serge Ippolito (Maître de Conférence à l'INSA),
  
• 
  Pierre Lopez (Professeur émérite à l'INSA),
  
• 
  Abdel-Kaddous Taha (chargé d’enseignement).
  
• 
  Bertrand Tondu (Professeur à l'INSA),
  

Docteurs :

• 
  Samir Rouabhi (ATER INSA, Docteur INSA 2000),
  

Doctorants :

• 
  Jérémie Guiochet (Boursier MRES en 3^ème année de thèse, Moniteur à l'INSA),
  
• 
  Pascal Acco (Boursier MRES en 3^ème année de thèse, Moniteur à l'INSA).
  
• 
  François Alary (Boursier MRES en 1^ère année de thèse)
  

Stagiaires :

• 
  Emmanuelle Cosquer (DEA Systèmes Automatiques), en collaboration avec l’Université de Cracovie, Pologne
  

Les autres personnes ayant participé aux activités de l'équipe de 1998 à 2002 sont :

Chercheurs permanents :

• 
  Christian Mira (Professeur à l'INSA, retraité depuis septembre 99)
  
• 
  Jean-Pierre Carcassès (embauché à l’Aérospatiale depuis juillet 99),
  
• 
  Mohammed Qriouet (Professeur à l’Université de Errachidia, Maroc).
  

Docteurs :

• 
  Ina Taralova-Roux (Maître de Conférences à l’Ecole Centrale de Nantes depuis septembre 2001)
  

Doctorants :

• 
  Shafaat Bazaz (thèse soutenue en juillet 98)
  
• 
  Mireille Conscience (thèse soutenue en juin 99)
  
• 
  Luis Carroll (thèse soutenue en octobre 99).
  
• 
  Augustin Sanchez (thèse soutenue en janvier 2000)
  

Chercheurs invités :

• 
  Docteur Kitajima, (Université de Tokushima, Japon, séjour de 3 mois de septembre à décembre 98),
  
• 
  Clara Gracio (Université de Evora, Portugal, séjour de un an en 1998 – 1999).
  
• 
  Ricardo Lopez-Ruiz (Université de Sarragosse, Espagne, séjours de 3 semaines en juillet 99 et une semaine en avril 2000).
  

Stagiaires :

• 
  Abd-El Baset Heba (Université de Banha, Egypte, préparation d'un Ph D, 2 ans de juin 96 à juin 98, DRIT de l'INSA)
  
• 
  Frédéric Derrieux (DEA Electronique en juin 98)
  
• 
  Jérémie Guiochet (DEA Informatique Industrielle en juin 99).
  
• 
  Fatima Remichi (DEA Informatique Industrielle),
  
• 
  Théodora Zaharieva (DRIT INSA en novembre 2000)
  
• 
  François Alary (DEA Systèmes Automatiques en juin 2001)
  

II.1.4.4 Dynamique complexe et chaotique

Les études théoriques concernent les dynamiques complexes et chaotiques, engendrées par des modèles continus ou discrets. L'approche adoptée est celle des méthodes qualitatives de la dynamique, c'est-à-dire identification de l'espace d'état (ou de phase) et de l'espace paramétrique des systèmes modélisés en vue de leur analyse et de leur synthèse.

La Dynamique Complexe est celle qui concerne les phénomènes de résonance et synchronisations de type sous-harmoniques, sur-harmoniques et harmoniques fractionnaires.

La Dynamique Chaotique est liée aux comportements oscillants complexes de systèmes, ou modèles déterministes, qui, considérés comme "boîtes noires", apparaîtraient à première vue comme stochastiques. L'état de ces systèmes est très sensible à des petites perturbations des conditions initiales et des paramètres. Donc, par nature, il devient imprédictible. Ces comportements sont liés à des propriétés fractales de l'espace de phase (structure des attracteurs étranges et des frontières floues (ou fractales) des bassins d'attracteurs étranges ou non), et de l'espace paramétrique (structure feuilletée de bifurcations "boîtes-emboîtées", "boîtes en files").

Dans l'approche qualitative, les systèmes continus, autonomes ou non, sont étudiés à travers une section de Poincaré, ce qui revient à diminuer la dimension initiale. Une telle section conduit à la formulation d'une transformation ponctuelle ou récurrence. Ainsi, que le modèle soit continu ou discret, l'étude des propriétés des équations récurrentes est indispensable.

Nous nous intéressons tout particulièrement aux problèmes de bifurcations complexes, c'est-à-dire aux changements de comportements qualitatifs d'un système sous l'effet de petites variations de paramètres, ou d'une faible modification de sa structure (étude fondamentale importante pour les applications) dans les situations où ces bifurcations ont une structure fractale [P13] [P22] [P23] [P67].

Les études sur les transformations non inversibles multidimensionnelles et leurs applications ont été développées en utilisant l'outil "variété critique" qui permet de caractériser les attracteurs (chaotiques ou non) et leur bassin d'attraction, ainsi que leurs bifurcations [P16] [P33] [P52] [P73].

L'immersion d'une transformation non inversible dans une transformation inversible de dimension supérieure a été étudiée, ainsi que les transformations à dénominateurs pouvant s'annuler ; ce type de modèle intervient dans les modèles de nombreux processus économiques ainsi que dans les méthodes numériques de type Newton pour la recherche des racines d'équations non linéaires [P26] [P52] [P62] [P63] [P64] [P70].

Les études fondamentales concernent des équations, qui ne sont pas forcément des modèles de processus réels, mais qui permettent d'isoler, sous la forme la plus simple, un phénomène mathématique. Ces études forment une base d'analyse de modèles formellement plus complexes. Elles servent à la conception d'algorithmes et de logiciels, utilisés dans des buts d'application. Les mécanismes de naissance du chaos étant connus à ce niveau, il devient possible d'éviter ce comportement non désirable dans les applications courantes ou de le provoquer pour des applications spécifiques qui utilisent le chaos dans des buts tels que transmission des signaux, mémoire associative, codage d'images, ceci par une synthèse adéquate.

Ces travaux théoriques ont été illustrés par diverses applications de plusieurs domaines :

• 
  l'électronique, par l'étude de circuits à inductance non-linéaire ; les modèles donnés sous forme de systèmes différentiels non autonomes traités en construisant une section de Poincaré, ont été validés par un montage expérimental [P27] ;
  
• 
  l'automatique, la commande à structure variable (CSV) est une commande non linéaire adaptative qui possède la propriété de robustesse. Elle est basée sur la commutation de fonctions de variables d’état, utilisées pour créer une variété  ou hypersurface de glissement dont le but est de forcer la dynamique du système à correspondre avec celle définie par l'équation de l'hypersurface. Quand l’état est maintenu sur cette hypersurface, le système se trouve en régime glissant. Sa dynamique est alors insensible aux variations des paramètres du processus, aux erreurs de modélisation et à certaines perturbations tant que les conditions du régime glissant sont assurées. Les études menées antérieurement en collaboration avec le LEEI de l’ENSEEIHT concernant la CSV des moteurs asynchrones se poursuivent sur des moteurs synchrones. Ces travaux sont dans le mémoire de Théodora Zaharieva.
  
• 
  la transmission et le traitement des signaux,
  

• 
  en modélisant divers modulateurs dont le codeur MICDIF (modulation par impulsion et codage différentiel) [P57] [P69] [P77], la modulation Sigma-Delta [P10] [P15] [P28] [P60] [P78] ainsi que les oscillateurs à verrouillage de phase [P35] [P49], (ces derniers travaux ont été effectués dans le cadre de la thèse de Pascal Acco) ;
  
• 
  en étudiant la synchronisation du chaos (transmission d'informations par porteuse chaotique et sûreté des communications décodées par synchronisation de ces signaux, en utilisant une transformation non inversible multidimensionnelle comme générateur de chaos) [P32] [P71] [P72] ainsi que le contrôle des signaux chaotiques [P11], travaux effectués dans le cadre de la thèse de Samir Rouabhi et continués dans le cadre de celle de François Alary ;
  
• 
  par une étude fréquentielle générale de signaux chaotiques. On cherche à classifier les signaux en fonction de leur spectre, de manière à pouvoir adapter le choix du signal à la fréquence de l'information à transmettre, aux caractéristiques du canal de transmission et des interférences ; le spectre d’un signal chaotique est lié aux bifurcations dont est issu le signal. [P40], [P44].
  

• 
  le cryptage chaotique avec l'utilisation de signaux chaotiques pour le cryptage d'information ; les signaux chaotiques sont utilisés pour construire des suites pseudo-aléatoires ou les clés de communication dans les systèmes de cryptage dits à clés publiques ou privées. Les études sont menées en collaboration avec le groupe SFS et des chercheurs du département GMM de l’INSA.
  
• 
  l'informatique avec la réalisation de mémoires associatives : ceci concerne le codage, le stockage et l’extraction d'informations par l’intermédiaire de cycles instables générés par un attracteur chaotique provenant d’une transformation non inversible [P19]. Ces travaux ont été effectués dans le cadre de la thèse de Samir Rouabhi.
  

Les figures 1 à 11 illustrent certaines situations spécifiques obtenues pour des modèles étudiés dans le groupe SYD.

Figure 1 : Dans le plan de phase d’une transformation associée à une méthode de Newton, tracé des bassins d’attraction des trois racines de l’équation, la frontière entre ces bassins est fractale.	Figure 2 : Dans le plan de phase d’une transformation associée à une méthode de Newton, tracé des bassins d’attraction de la racine de l’équation et du point à l’infini, la frontière est également fractale.
Figure 3 : Plan paramétrique d’une transformation non inversible de dimension deux comprenant des termes cubique, on reconnaît des structures fractales de bifurcations.	Figure 4 : Plan de phase d’une transformation non inversible de dimension deux comprenant des termes cubique ; quatre attracteurs coexistent, deux attracteurs chaotiques cycliques et deux courbes invariantes fermées ; leurs bassins sont non connexes et s’accumulent le long des frontières.
	Figure 5 : Plan de phase d’un modèle d’un modulateur MICDIF ; trois attracteurs coexistent, leurs bassins sont séparés par une frontière fractale.
Figure 6 : Plan de phase d’un modèle de modulateur sigma-delta passe-bande ; bassins d’attraction d’orbites périodiques de différents ordres.	Figure 7 : Plan de phase d’un modèle de modulateur sigma-delta passe-bande ; un attracteur chaotique et son bassin d’attraction.
Figure 8 : Attracteur chaotique d’une transformation logistique couplée.	Figure 9 : Spectre de l’attracteur chaotique de la figure 8. On reconnaît des composantes périodiques d’ordre 7.
Figure 10 : Attracteur chaotique dans le cas d’un modèle d’un modulateur MICDIF.	Figure 11 : Spectre de l’attracteur chaotique de la figure 10. On reconnaît des composantes périodiques d’ordre 2, qu’on peut éliminer en considérant un point sur deux, le spectre devient alors celui d’un bruit.

LESIA / INSA 5