Lemma Bucağı və qarşı tərəfi bərabər olan iki müxtəlif üçbucaqdan sahəsi böyük olanın perimetri də böyükdür.
Lemmanın isbatı: Tutaq ki, tərəfi a, qarşıdakı bucağı αolan verilmişdir. Üçbucağın yan tərəfləri b, c sahəsi S olsun. Kosinuslar teoremindən istifadə edək:
Sadə çevirmələr apasaq:
.
Burada
ifadələrini nəzərə alsaq
Üçbucağın perimetri üçün
alınar.
Sonuncu ifadədən görünür ki, sahənin artması ilə üçbucağın verilmiş şərtlər daxilində perimetri də artır.
Teoremin isbatı: Tutaq ki, çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün olmayan n-bucaqlı verilmişdir. Həmin çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün n-bucaqlının tərəfi an olsun. Aydındır ki, düzgün olmayan n-bucaqlının tərəflərindən bəziləri an-dən böyük, bəziləri isə kiçik olacaq. (bütün tərəflər eyni zamanda an-dən böyük və ya an-dən kiçik ola bilməz). Daxilə çəkilmiş n-bucaqlının perimetrini dəyişmədən ixtiyari iki tərəfinin yerini dəyişmək mümkün olduğundan cüt-cüt götürməklə tərəflərin yerini elə dəyişək ki, iki qonşu tərəflərdən biri, məsələn AB > an digəri məsələn BC < an olsun. Üzərində B nöqtəsi olan AC qövsü üzərində M nöqtəsini elə götürək ki, AM =anolsun.Həqiqətən də BB1//AC çəksək AM =an radiuslu çevrə BB1 qövsünü hər hansı M nöqtəsində kəsəcək. Eyni oturacağı olan iki üçbucaqdan hündürlüyü böyük olanın sahəsi böyük olduğundan . Digər tərəfdən eyni qövslərə söykəndikləri üçün . Onda lemmaya əsasən . Lakin A, B, C nöqtələri daxilə çəkilmişn-bucaqlının qonşu təpələri olduğu üçün yeni alınmış çoxbucaqlının M nöqtəsindən başqa bütün təpə nöqtələri verilmiş n-bucaqlı ilə üst-üstə düşür. Beləliklə biz bir tərəfi düzgün n-bucaqlının an tərəfinə bərabər olan və perimetri verilmiş n-bucaqlının perimetrindən böyük olan yeni n-bucaqlı alınana qədər davam etsək, çoxu (n – 1)addımdan sonra perimetri verilmiş düzgün olmayan n-bucaqlının perimetrindən böyük düzgün çoxbucaqlı alarıq.
