Informatica industriala Prelucrarea digitala a semnalelor

Informatica industriala

• Prelucrarea digitala a semnalelor

• Filtre numerice (cont)

Filtre cu raspuns infinit (IIR)

• ieşirea la un anumit moment depinde nu numai de semnalul de intrare ci şi de valorile anterioare ale semnalului de ieşire

• un anumit impuls (inclusiv zgomot) in anumite conditii se poate propaga la infinit (de unde si numele filtrului)

• formula iesirii pentru un filtru IIR:

• k-1 k
• y(kT) = Σ bk-i*y(iT) + Σ ak-i*x(iT)
• i=0 i=0

• Aplicând transformata în Z asupra expresiei de mai sus se obţine:

• m n
• Y(z) = Σ bi*Y(z)*z-i + Σ ai*X(z)*z-i
• i=0 i=0
• unde: m - indexul maxim al coeficienţilor bi diferiţi de zero
• n - indexul maxim al coeficienţilor ai diferiţi de zero

Filtre cu raspuns infinit (IIR)

• transformata in Z a unui filtru IIR:

• n m
• H(z) = Y(z)/X(z) = (Σ ai*z-i)/( 1- Σ bi*z-i)
• i=0 i=0

• Proprietati ale filtrelor IIR

• pentru acelasi numar de termeni (rang) un filtru IIR are un efect mai pregnant (calitativ mai bun) decat un filtru FIR
• filtrele IIR sunt “reactive” sau cu reactie inversa (feed-back), datorita termenilor ce contin esantioane ale iesirii
• pentru anumite valori ale coeficienţilor ai şi bi filtrul IIR devine instabil şi are tendinţa de a oscila

Implementarea filtrelor IIR

• forma canonica de implementare a filtrelor IIR

Sinteza filtrelor numerice

• Problema: determinarea coeficienţilor funcţiei de transfer a unui filtru numeric, astfel încât efectul produs de filtru să corespundă unor condiţii prestabilite.

• Parametri unui filtru:

• banda de trecere – intervalul de frecvenţe pentru care filtrul are efect de amplificare
• banda de blocare – intervalul de frecvenţe pentru care filtrul are efect de atenuare
• frecvenţa de tăiere – frecvenţa care desparte banda de trecere de banda de atenuare
• raportul de atenuare – logaritmul raportului dintre amplificarea în banda de blocaj şi amplificarea în banda de trecere
• raport de atenuare = 20 lg (Ablocaj/Atrecere) [decibeli]

Sinteza filtrelor numerice

• exista mai multe tehnici de sinteza, relativ complexe

• Metoda 1

• se bazeaza pe functia de transfer a filtrului analogic echivalent, (exprimat in domeniul Laplace)
• m
• Ha(s) =  Ak/(s+sk) unde: sk sunt polii functiei de transfer
• k=1
• Din această expresie se deduce transformata în Z a filtrului numeric:
• m
• H(z) =  Ak/(1 – eskT*z-1)
• k=1

Sinteza filtrelor numerice

• Metoda 2.

• Se consideră cunoscut răspunsul unui filtru analogic echivalent la un semnal de tip impuls. Prin eşantionarea funcţiei răspuns se obţin coeficienţii transformatei în Z a funcţiei de transfer.

Clasificarea filtrelor in functie de implementare

• filtre in domeniul timp

• folosite pentru modelarea formei semnalului: netezire, eliminare valoare constanta, formatare semnal

• filtre in domeniul frecventa

• folosite atunci cand informatia este continuta in distributia spectrala (amplitudine, frecventa si faza);
• scopul este separarea benzilor de frecventa

• filtre particulare/speciale

• folosite atunci cand filtrele obisnuite (trece sus, jos, banda) nu ajuta

Filtru de mediere

• filtru care actioneaza bine in domeniul timp

• elimina zgomotele
• are comportament bun la un impuls treapta

• filtrul are efect negativ in domeniul frecventelor: nu filtreaza o banda de frecvente bine definita

• filtre derivate (putin) mai bune in domeniul frecventelor: Gaussian, Blackman sau mediere multipla

• Implementare: prin convolutie

• unde M – numarul de puncte (termeni) din filtru

• Filtrul poate fi si simetric in jurul punctului considerat (j=-M/2, J=+M/2)

Filtru de mediere

• Caracteristicile filtrului:

• are un efect foarte bun de filtrare a zgomotului alb, cu pastrarea in limite acceptabile a raspunsului la treapta unitara;
• paradoxal mult mai bun decat alte filtre mai complexe
• factorul de reducere a zgomotului: radacina patrata din numarul de puncte din filtru (ex: 100 puncte reduce zgomotul de 10 ori)
• cu cat filtrul este mai mare (mai multe puncte) panta raspunsului la un semnal de tip impuls devine mai oblica

Raspunsul in frecventa al filtrului de mediere

• Functia de transfer exprimata cu transformata Fourier:

Efectul aplicarii multiple a filtrului de mediere

• Se aplica succesiv de mai multe ori un filtru de mediere de 7 puncte

Implementarea filtrului de mediere prin recurenta

• exemplu de calculare a 2 iteratii ale unui filtru de 7 puncte

• y [50] =x [47] + x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53]
• y [51] = x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53] + x [54]

• rezulta ca y [51] se poate calcula mai repede pe baza valorii anterior calculate y [50]

• y [51] = y [50] + x [54] - x [47]

• rezulta formula de recurenta in care fiecare nou esantion se calculeaza printr-o suma si o diferenta:

• y [i ] = y [i -1] + x [i + p] - x [i - q]
• unde: p=(M-1)/2 si q=p+1

• formula arata ca iesirea curenta este egala cu iesirea anterioara plus o diferenta (panta) calculata simetric fata de punctul considerat

Filtru Windowed-sinc

• pentru separarea benzilor de frecventa

• foarte stabile si cu performante ridicate dar necesita timp mai mare de calcul

• se cauta un filtru “perfect”:

• amplificare 1 in banda de trecere
• amplificare 0 in banda interzisa
• cu trecere verticala la frecventa de taiere

• filtrul ideal este de forma

• sin(x)/x – functia sinc

Filtru Windowed-sinc

• functia tinde asimptotic la 0

• din considerente practice (de calcul in timp finit) se limiteaza filtrul printr-o fereastra (window):

• dreptunghiulara
• functie Hamming sau Blackman

Filtru Windowed-sinc

• formula completa a filtrului cu fereastra Hamming:

• unde M este dimensiunea ferestrei, iar K un factor de normalizare

• M se determina cu relatia aproximativa:

• M=4/(latimea benzii de tranzitie)

• Calitatea filtrului in functie
• de dimensiunea ferestrei

Filtru Windowed-sinc

• filtrul nu are un comportament prea bun in domeniul timp, raspunsul la un impuls treapta genereaza “ripluri” la tranzitia intre stari;

• este insa recomandat pentru lucrul in domeniul frecventelor, cand se stie ce frecvente trebuie eliminate

• pentru a creste factorul de atenuare a benzii de blocare filtrul se poate aplica de 2 sau mai multe ori,

• se obtine o atenuare dubla (in decibeli), de exemplu de la -74dB (cat are un filtru cu fereastra Blackman) la -148dB ceea ce inseamna un raport atenuare/amplificare de 1 la 30 milioane

• pentru a obtine un filtru trece sus se scade din semnalul initial semnalul filtrat cu filtru trece jos avand aceeasi frecventa de taiere

• un filtru trece banda este o combinatie intre filtru trece sus si filtru trece jos

• un filtru de rejectie banda se obtine prin scaderea din semnalul initial a semnalului filtrat cu un filtru banda

• Dezavantajul filtrului Windowed-sinc: necesita timp de calcul mare (numar mare de termeni de calculat)

Referinte

• http://www.dspguide.com/pdfbook.htm