Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 0,61 Mb.
|
|
GцstYrYk ki, funksiyanэn ekstremum nцqtYlYri onun bцhran nцqtYlYridir. Teorem 1-Ferma teoremi. µ § nцqtYsi µ § funksiyasэnэn ekstremum nцqtYsidirsY vY hYmin nцqtYdY tцrYmYsi varsa, onda tцrYmY sэfra bYrabYrdir: µ § Эsbatэ. Џksini fYrzetmY metodu ilY isbat edYk. Tutaq ( mьYyyYnlik ьзьn) ki. µ § minimum nцqtYsidir. FYrz edYk ki, µ § Onda µ § olduрundan, limitin tYrifinY YsasYn µ § mьsbYt YdYdi ьзьn µ § nцqtYsinin elY Ytrafэ var ki, bu Ytrafэn istYnilYn µ § nцqtYsi ьзьn µ § olar, yYni µ § buradan
µ § vY µ § olduqda µ § Bu isY µ §-эn minimum nцqtYsi olmasэna ziddir. µ § halэ da oxєar qayda ilY ziddiyyYtY gYtirir. BelYliklY , µ § fYrziyyYsi doрru deyil, ona gцrY µ § Maksimum nцqtYsi ьзьn isbat oxєar qayda ilY aparэlэr. Ferma teoremi ekstremumun ancaq zYruri єYrtidir: µ § nцqtYsindY tцrYmYnin sэfra bYrabYr olmasэndan hYmin nцqtYdY funksiyanэn ekstremumunun varlэрэ зэxmэr. MYsYlYn µ § funksiyasэnэn tцrYmYsi nцqtYsindY sэfra зevrilir, lakin bu nцqtYdY funksiyanэn ekstremumu yoxdur( єYk.4) ЄYkil 4 ЄYkil 5 ЄYkil 6 Misal 1. µ § funksiyasэnэ nYzYrdYn keзirYk (єYk 5). Bu funksiyanэn nцqtYsindY tцrYmYsi yoxdur. DemYli bцhran nцqtYsidir. Aєkardэr ki, nцqtYsindY funksiyanэn minimumu var. Misal 2. µ § funksiyasэnэ nYzYrdYn keзirYk (єYk.6). QrafikdYn gцrьnьr ki. nцqtYsindY funksiyanэn ekstremumu yoxdur. Bu nцqtYdY funksiyanэn tцrYmYsi dY yoxdur. Ferma teoremindYn зэxэr ki, funksiyanin ekstremumunu axtardэqda , birinci nцvbYdY, onun bцhran nцqtYlYrini tapmaq lazэmdэr. Lakin yuxarэdakэ misallardan gцrьndьyь kimi , mьYyyYn bцhran nцqtYsinin bцhran nцqtYsi olub-olmamasэ YlavY tYdqiqat tYlYb edir. Bu mYsYlYdY nцqtYdY ekstremumun varlэgэ haqqэnda aєagэdakэ kafi єYrtlYr зox kцmYk edir. Ekstremumun varlэрэnэn I kafi єYrti Teorem 2. µ § funksiyasэ µ § nцqtYsindY kYsilmYzdirsY vY µ § intervalэnda µ § intervalэnda isY µ § olarsa onda µ § nцqtYsi µ § funksiyasэnin maksimum nцqtYsidir. Baєqa sцzlY : µ § nцqtYsindY funksiyanэn tцrYmYsi цz iєarYsini mьsbYtdYn mYnfiyY dYyiєirsY , onda µ § maksimum nцqtYsidir. Эsbatэ. µ § aralэрэnda µ § vY µ § funksiyasэ µ § nцqtYsindY kYsilmYz olduрundan, funksiyanэn artan olmasэnэn kafi єYrtinY vY ona aid qeydY YsasYn alэnэr ki, µ § funksiyasэ µ § aralэрэnda artэr: demYlэ µ § aralэрэnda bьtьn µ §-lYr ьзьn µ § aralэрэnda funksiya azalэr(isbatэ oxєardэr), demYli µ § aralэрэnda bьtьn µ §-lYr ьзьn µ § BelYliklY, µ § aralэрэndan bьtьn µ §-lYr ьзьn µ § yYni µ § nцqtYsi µ § funksiyasэnin maksimum nцqtYsidir. Teorem 3. µ § funksiyasэ µ § nцqtYsindY kYsilmYzdirsY vY µ § intervalэnda µ § intervalэnda isY µ § olarsa onda µ § nцqtYsi µ § funksiyasэnin minimum nцqtYsidir. Ekstremumun varlэрэnэn II kafi єYrti Teorem 4. µ § єYrti daxilindY µ § olarsa, funksiyanэn µ § nцqtYsindY maksimumu, µ § olduqda isY minimumu var. Mцvzu12 MьrYkkYb vY tYrs funksiyanэn tцrYmYsi. Qeyri-aєkar єYkildY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi .Parametrik єYkildY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi.Orta qiymYt teoremlYri. 1. MьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi 2. TYrs funksiyanэn tцrYmYsi. 3. Orta qiymYt teoremlYri. 4.Qeyri-aєkar єYkildY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi 5.Parametrik єYkildY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi MьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi Tutaq ki, µ § mьrYkkYb funksiyasэ verilmiєdir, yYni onu µ §, µ §, yaxud µ § єYklindY yazmaq olar. µ § ifadYsindY u dYyiєYninY aralэq arqumenti deyilir. Teorem. ЏgYr µ § funksiyasэnэn x nцqtYsindY µ § tцrYmYsi varsa vY aralэq arqumentin uyрun qiymYtindY µ § funksiyasэnэn µ § tцrYmYsi varsa, onda µ § mьrYkkYb funksiyasэnэn hYmin x nцqtYsindY µ § tцrYmYsi var vY µ § Qэsa olaraq µ § yazэlэr, yYni mьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi hYmin funksiyanэn aralэq arqumentinY nYzYrYn tцrYmYsi ilY aralэq arqumentin x-Y nYzYrYn tцrYmYsinin hasilinY bYrabYrdir. Эsbatэ. SYrbYst dYyiєYnin mьYyyYn bir x qiymYtindY µ §, µ §
vYonunµ §qiymYtindYisY µ §, µ §
olar. BelYliklY, ѓґx artэmэna ѓґu , buna isY ѓґy artэmэ uyрundur; bundan baєqaµ §єYrtindYµ §, belY olduqda isYµ §. ЄYrtY gцrYµ §tцrYmYsivardэr: µ § Funksiya limitinin xassYsinY YsasYn bu mьnasibYtdYn (µ §olduqda) µ § (1) alэnэr, buradaµ §єYrtindYµ §. Bu halda (1) bYrabYrliyini µ § (2) єYklindY yazmaq olar. (2) bYrabYrliyi ѓґu= 0 olduqda da doрrudur, зьnki o, 0 = 0 eyniliyinY зevrilir. ѓґu= 0 olduqdaµ §hesab edYcYyik. (2) bYrabYrliyinin hYr tYrYfini ѓґx artэmэna bцlYk: µ § (3) ЄYrtY YsasYn µ §, µ § (3) bYrabYrliyindY µ § єYrtindY limitY keзYrYkµ § alarэq. TYrs funksiyanэn tцrYmYsi Teorem.µ §funksiyasэµ §nцqtYsindY diferensiallanandэrsa vYµ §olarsa, onda onun tYrs funksiyasэµ §uyрunµ §nцqtYsindY diferensiallanandэrµ §vY onun tцrYmYsi µ § (1)
dьsturu ilY hesablanэr. Эsbatэ. ЏvvYlcY qeyd edYk ki, tYrs funksiyanэn tYrifinY gцrYµ §, µ §, µ §, µ §. Onda tYrs funksiya ьзьn µ § bYrabYrliyini yazmaq olar. TYrs funksiya kYsilmYz olduрundanµ §єYrtindYµ §olur. Buna gцrY dY: µ §, yYni (1) dьsturu doрrudur. Bu dьsturu µ § (2) єYklindY dY yazmaq olar. Ьstlь-mьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi QьvvYt єYklindY verilmiє funksiyada hYm Ysas, hYm dY qьvvYtin ьstь bir x dYyiєYninin funksiyasэ olduqda hYmin funksiyaya ьstlь-mьrYkkYb funksiya deyilir. MYsYlYn, µ §, µ §, µ §, µ §. ЬmumiyyYtlY, µ § єYklindY verilmiє istYnilYn funksiya ьstlь-mьrYkkYb funksiyadэr. Teorem.ЏgYrµ §olarsa, onda µ §
Эsbatэ. µ §bYrabYrliyiniloqarifmlYyYk: µ §
Alэnan bYrabYrliyi x-Y nYzYrYn diferensiallayaq µ §;
buradan µ §
Axэrэncэ bYrabYrlikdY x-in yerinY µ §yazaq µ §
BelYliklY, ьstlь-mьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi iki hYddin cYmindYn ibarYtdir: µ §funksiyasэndau kYmiyyYtinY x-in funksiyasэ, v-yY isY sabit kimi baxaraq diferensialladэqda birinci toplanan alэnэr, µ §vY v kYmiyyYtini x-in funksiyasэ kimi qYbul edYrYk diferensialladэqda isY ikinci toplanan alэnэr. Orta qiymYt teoremlYri. Laqranj teoremi Diferensiallanan funksiyanэn sonlu artэmэ uyрun arqument artэmэmnin onun tцrYmYsinin hYr hansэ aralэq nцqtYsindYki qiymYtinin hasilinY bYrabYrdir; yYni YgYr µ § funksiyasэ hYr hansэ µ § aralэрэnda diferensiallanan funksiyadэrsa vY µ §bu aralэрэn ixtiyari qiymYtlYridirsY; baєqa sцzlY YgYr 1) µ § 2) parзanэn daxilindY tцrYmYsi varsa, onda µ § vY µ § nцqtYlYri arasэnda elY µ § nцqtYsi var ki, µ § (1) Эsbatэ. µ § funksiyasэnэn qrafikindY µ § vY µ § nцqtYlYrindYn keзYn µ § kYsYnini зYkYk. Bu kYsYni µ § nцqtYsindYn keзYn toxunana paralel olaraq зYkYk. ЄYkildYn gцrьndьyь kimi µ § kYsYninin bucaq Ymsalэ µ § toxunanэnэn bucaq Ymsalэna bYrabYrdir. Ona gцrY dY µ §-dan alэrэq: µ § olduрundan µ § µ § . Teorem isbat olundu. Roll teoremi ЏgYr 1) µ § 2) parзanэn daxilindY tцrYmYsi varsa, 3) µ § onda µ § vY µ § nцqtYlYri arasэnda elY µ § nцqtYsi var ki, µ § Эsbatэ. Laqranj teoremini tYtbiq edYk. µ § olduрundan µ §. µ § olduрundan µ § T.i.o. Koєi teoremi µ § 2) parзanэn daxilindY sonlu tцrYmYlYri varsa µ § onda µ § vY µ § nцqtYlYri arasэnda elY µ § nцqtYsi var ki, µ §
Эsbatэ. Laqranj teoremini µ § vY µ § funksiyalarэna tYtbiq edYk. µ §
µ § olduрundan µ §-ya ixtisar edYrYk Koєi teoremini alэrэq. Misal1. µ § vY µ § funksiyalarэ ьзьn Koєi teoreminin µ § parзasэnda цdYnildiyini yoxlayэn vY µ §-nin qiymYtini tapэn. HYlli. Verilmiє µ § vY µ § funksiyalarэ bьtьn YdYd oxunda kYsilmYz olduрu ьзьn µ § parзasэnda da kYsilmYzdir; µ § tцrYmYlYri sonludur µ § BelYliklY Koєi teoremi verilmiє funksiyalara tYtbiq oluna bilYr: µ §
µ § Axэrэncэ tYnliyi hYll edYrYk µ §nin 2 qiymYtini tapэrэq: µ § Bu 2 qiymYtdYn yalnэz µ § daxili nцqtYdir. Qeyri-aєkar єYkildY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi ЏgYr funksiya µ § єYklindY verilmiєdirsY, yYni sol tYrYfdY µ § dYyiєYni, saр tYrYfdY isY yalnэz µ § arqumentindYn asэlэdэrsa, onda deyirlYr ki, fuhksiya aєkar єYkildY verilmiєdir.MYsYlYn: µ § Зox mYsYlYlYrdY funksiya qeyri-aєkar єYkildY verilY bilYr, yYni µ § Tutaq ki, verilmiє funksiya µ § oblastэnda tYyin olunmuєdur. ЏgYr hYr bir µ § -nin hYr bir qiymYtinY onun µ § єYrtini цdYyYn µ § funksiyasэnэn qiymYti varsa onda deyirlYr ki, bu funksiya qeyri-aєkar єYkildY verilmiєdir.µ § tYnliyinin qrafiki koordinatlarэ bu tYnliyi цdYyYn µ § mьstYvisinin bьtьn nцqtYlYr зoxluрudur. Qeyri-aєkar funksiyalara misal olaraq aєaрэdakэlarэ gцstYrmYk olar: µ §
vY s. ЏlbYttY hYr bir aєkar funksiyanэ qeyri-aєkar єYkildY vermYk olar: µ § Qeyri-aєkar funksiyanэn tцrYmYsini almaq ьзьn aєaрэdakэ YmYllYri etmYk lazэmdэr: 1) ЏvvYlcY tYnliyin hYr iki tYrYfini x dYyiєYninY gцrY diferensiallayэrэq. Qeyd. ЏgYr tYnliyin saр tYrYfi sэfэrdan fYrqlidirsY onda qeyri-aєkar funksiya aєaрэdakэ kimi olur: µ §, bu zaman tYnliyin hYr iki tYrYfini diferensiallayэrэq. 2)Alэnmэє tYnliyi µ §-Y nYzYrYn hYll edirik. Misal1. µ § (µ § parametrdir) funksiyasэnэn tцrYmYsini tapэn. HYlli. Verilmiє tYnlik parabolanэn kanonik єYkildY tYnliyidir. µ §
Misal 2. µ § TYnliyin hYr iki tYrYfini µ § dYyiєYninY gцrY diferensiallayaq: µ § µ §
µ § µ §
Misal 3. µ § YyrisinY µ § nцqtYsindY зYkilmiє toxunanэn tYnliyini yazэn. HYlli. Џyri tYnliyinin hYr iki tYrYfini x dYyiєYninYgцrY diferensiallayэrэq: µ § µ § nцqtYsindY nцqtYsindY uyрun olaraq alэrэq ki, µ §HYqiqYtYn dY verilmiє nцqtYdY toxunanэn tYnliyi belY olur: µ § Parametrik єYkildY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi BYzYn x vY y dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэq µ § (burada t- parametrdir) (1) єYklindY verilir.Bu zaman deyirlYr ki, funksiya parametrikєYkildY verilmiєdir.Buna Yn зox mexanikada rast gYlinir.µ § ilY zaman qeyd olunur.(1) tYnliyi isY hYrYkYt edYn µ § nцqtYsinin trayektoriyasэnэn parametrik єYkildY tYnliyidir.(1)tYnliyindY y funksiyasэ x-dYn asэlэ mьrYkkYb funksiyadэr.(1) sisteminin birinci tYnliyini x-Y gцrY hYll edYrYk alэrэq: µ §, µ § funksiyasэ µ § funksiyasэnэn tYrs funksiyasэdэr.Burada (1) tYnliyindYn alэrэq: µ § (2) (2) dьsturundan istifadY edYrYk µ § tцrYmYsini ala bilYrik. ЏgYr µ §-dYn asэlэ µ § funksiyasэ parametrik єYkildY verilmiєdirsY µ §; burada µ § vY µ § funksiyalarэ diferensiallanan funksiyalardэr ; µ §, onda bu funksiyanэn tцrYmYsi aєaрэdakэ dьsturdan tapэlэr: µ § Misal 1.Aєaрэdakэ parametrik єYkildY verilmiє funksiyalarэn µ § tцrYmYsini tapэn. µ § HYlli. (3) dьsturundan istifadY edYk. µ § Mцvzu13
Funksiyanэn tYdqiqi. Funksiyanэn artmasэ vY azalmasэ Funksiyanэn artmasэ vY azalmasэ BirdYyiєnli funksiyanэn ekstemumu Ekstremumun varlэрэnэn zYruri єYrti Ekstremum varlэрэnэn kafi єYrti Џyrinin qabarэq vY зцkьklьyь. ЏyilmY nцqtYsi Asimptotlar Funksiyanm tYdqiqi vY qrafэkinin qurulmasэnэn ьmumi sxemi Teorem. 1) µ § parзasэnda tцrYmYsi olan µ § funksiyasэ hYmin parзada artandэrsa, onda µ § parзasэnda onun tцrYmYsi mYnfi deyil, yYni, µ §; 2) ЏgYr µ § funksiyasэ µ § parзasэnda kYsilmYz, µ § intervalэnda isY diferensiallana bilYndirsY vY µ § olarsa, onda hYmin funksiya µ § parзasэnda artandэr. Эsbatэ. ЏvvYlcY teoremin birinci hissYsini isbat edYk. Tutaq ki, µ § funksiyasэ µ § parзasэnda artэr. x arqumentinY ѓґx artэmэ verib µ § (1)
nisbYtini dьzYldYk. f(x) artan funksiya olduрundan ѓґx > 0 olduqda µ § vY ѓґx < 0 olduqda isY µ §. HYr iki halda µ § (2)
vY demYli, µ §,
yYni µ § olur. Эndi teoremin ikinci hissYsini isbat edYk. Tutaq ki, arqumentin µ § intervalэndan gцtьrьlmьє ixtiyari x qiymYtindY µ §. µ § parзasэnda yerlYєYn istYnilYn µ § vY µ § µ § gцtьrYk. Laqranjэn sonlu fYrqlYr teoreminY gцrY µ §, µ §. ЄYrtY gцrY µ §olduрundan µ §. Bu isY o demYkdir ki, µ § artan funksiyadэr. Azalan (diferensiallana bilYn) funksiya ьзьn dY oxєar teorem doрrudur. Teorem. ЏgYr µ § funksiyasэ µ § parзasэnda azalandэrsa, onda hYmin parзada µ §. ЏgYr µ § intervalэnda µ § olarsa, onda µ § funksiyasэ µ § parзasэnda azalandэr. BirdYyiєnli funksiyanэn ekstemumu Maksimumun tYrifi. µ § nцqtYsinin daxil olduрu hYr hansэ intervalэn bьtьn nцqtYlYrindY µ § funksiyasэnэn qiymYti onun µ § nцqtYsindYki qiymYtindYn kiзik olduqda deyirlYr ki, µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY maksimumu var. Baєqa sцzlY, mьtlYq qiymYtcY kifayYt qYdYr kiзik olan istYnilYn (mьsbYt vY ya mYnfi) ѓґx ьзьn µ § olduqda deyirlYr ki, µ § nцqtYsindY µ § funksi- yasэnэn maksimumu var. Minimumun tYrifi. MьtlYq qiymYtcY kifayYt qYdYr kiзik olan istYnilYn (mьsbYt vY ya mYnfi) ѓґx ьзьn µ § olarsa, onda deyirlYr ki, µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY minimumu var. Funksiyanэn maksimumu vY minimumuna birlikdY funksiyanэn
Teorem 1 (ekstremumun varlэрэnэn zYruri єYrti). ЏgYr diferensiallana bilYn µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY ekstremumu varsa, onda hYmin nцqtYdY funksiyanэn tцrYmYsi sэfra зevrilir, yYni µ §. Эsbatэ. MьYyyYnlik ьзьn fYrz edYk ki, µ § nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu var. Onda arqumentin mьtlYq qiymYtcY kifayYt qYdYr kiзik artэmlarэnda µ §,
yYni µ §
olar. BelY olduqda isY µ §
nisbYtinin iєarYsi ѓґx artэmэnэn iєarYsi ilY tYyin olunar, yYni ѓґx < 0 olduqda µ § ѓґx > 0 olduqda µ § olar. TцrYmYnin tYrifinY YsasYn µ § ЏgYr µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY tцrYmYsi varsa, onda bu bYrabYrliyin saр tYrYfindY duran limit ѓґx artэmэnэn sэfra necY yaxэnlaєmasэndan (mьsbYt vY ya mYnfi qalaraq) asэlэ deyil. DigYr tYrYfdYn ѓґx artэmэ mYnfi qalmaqla sэfra yaxэnlaєarsa, onda µ § olur. ЏgYr ѓґx artэmэ mьsbYt qalmaqla sэfra yaxэnlaєarsa, onda µ § olmalэdэr. ѓґx artэmэnэn sэfra yaxэnlaєma qaydasэndan asэlэ olmayaraq µ § mьYyyYn bir YdYd olduрundan axэrэncэ iki bYrabYrsizlik yalnэz µ § olduqda uyuєan olar. Minimum halэ ьзьn dY teoremin isbatэ analoji qaydada aparэlэr. Teorem 1-dYn bilavasitY aєaрэdakэ nYticY alэnэr: x arqumentin baxэlan bьtьn qiymYtlYrindY µ § funksiyasэnэn tцrYmYsi varsa, onda yalnэz tцrYmYnin sэfэr olduрu nцqtYlYrdY funksiyanэn ekstremumu ola bilYr. Bu fikrin tYrsi doрru deyil: tцrYmYnin sэfэr olduрu hYr bir nцqtYdY funksiyanэn maksimumu vY ya minimumunun olmasэ zYruri deyil. Qeyd edYk ki, YgYr funksiyanэn hYr hansэ nцqtYdY tцrYmYsi yoxdursa (lakin yaxэn nцqtYlYrdY var), onda hYmin nцqtYdY tцrYmY kYsilYndir. TцrYmYnin sэfra зevrildiyi vY ya kYsildiyi nцqtYlYrY hYmin funksiyanэn bцhran nцqtYlYri deyilir. Yuxarэda deyilYnlYrdYn gцrьnьr ki, hYr bir bцhran nцqtYsindY
Teorem 2 (ekstremum varlэрэnэn kafi єYrti). Tutaq ki, µ § funksiyasэ µ § nцqtYsinin daxil olduрu hYr hansэ bir intervalda kYsilmYzdir vY intervalэn bьtьn nцqtYlYrindY (µ § nцqtYsi istisna ola bilYr) diferensiallana bilYndir. ЏgYr soldan saрa bu nцqtYdYn keзYndY tцrYmYnin iєarYsi mьsbYtdYn mYnfiyY dYyiєirsY, onda µ § nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu var. ЏgYr soldan saрa hYmin µ § nцqtYsindYn keзYndY tцrYmYnin iєarYsi mYnfidYn mьsbYtY dYyiєirsY, onda hYmin nцqtYdY funksiyanэn minimumu vardэr. BelYliklY, a) YgYr µ § olduqda µ §, µ § oluqda isY µ § olarsa, onda µ § nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu var; b) YgYr µ § olduqda µ §, µ § olduqda isY µ § olarsa, onda µ § nцqtYsindY funksiyanэn minimumu var. Bu halda nYzYrY almaq lazэmdэr ki, a) vY ya b) єYrti x arqumentinin µ § YdYdinY yalnэz kifayYt qYdYr yaxэn olan qiymYtlYrindY, yYni bцhran nцqtYsinin kifayYt qYdYr kiзik Ytrafэnэn bьtьn nцqtYlYrindY цdYnilmYlidir. Teorem 3 (ekstremum varlэрэnэn ikinci kafi єYrti). Tutaq ki, µ §onda µ § olarsa, funksiyanэn µ § nцqtYsindY maksimumu, µ § olduqda isY hYmin nцqtYdY minimumu var. Џyrinin qabarэq vY зцkьklьyь. ЏyilmY nцqtYsi MьstYvi ьzYrindY birqiymYtli diferensiallanan µ § funksiyasэnэn qrafiki olan µ § Yyrisinini nYzYrdYn keзirYk. TYrif 1. Џyrinin µ § intervalэna daxil olan bьtьn nцqtYlYri bu intervalda YyriyY зYkilYn istYnilYn toxunandan aєaрэda yerlYєYrsY, deyirlYr ki, µ § intervalэnda Yyrinin qabarэqlэрэ yuxarэya doрrudur. TYrif 2. Џyrinin µ § intervalэna daxil olan bьtьn nцqtYlYri bu intervalda YyriyY зYkilYn istYnilYn toxunandan yuxarэda yerlYєYrsY, deyirlYr ki, µ § intervalэnda Yyrinin qabarэqlэрэ aєaрэya doрrudur. x0 y x c b O a Шякил 17 Џyrinin qabarэqlэрэ yuxarэya doрru olduqda ona qabarэq Yyri, aєaрэya doрru olanda isY зцkьk Yyri deyYcYyik. Teorem 1. µ § intervalэnэn bьtьn nцqtYlYrindY µ § funksiyasэnэn ikinci tYrtib tцrYmYsi mYnfidirsY µ §, onda µ § Yyrisi bu intervalda qabarэqdэr. Teorem 2. ЏgYr µ § intervalэnэn bьtьn nцqtYlYrindY µ § funksiyasэnэn ikinci tYrtib tцrYmYsi mьsbYtdirsY µ §, onda µ § Yyrisi bu intervalda зцkьkdьr. TYrif 3. KYsilmYz Yyrinin qabarэq hissYsini зцkьk hissYsindYn ayэran nцqtYyY onun YyilmY nцqtYsi deyilir. Aydэndэr ki, YyilmY nцqtYsindY toxunan Yyrini kYsir, зьnki bu nцqtYdYn bir tYrYfdY Yyri toxunandan aєaрэda, digYr tYrYfdY isY yuxarэda yerlYєir. Teorem 3. Tutaq ki, Yyri µ § tYnliyi ilY verilmiєdir vY µ §, yaxud µ § yoxdur, yYni a nцqtYsindY ikinci tYrtib tцrYmY yoxdur. ЏgYr x = a nцqtYsindYn keзYndY µ § tцrYmYsi цz iєarYsini dYyiєirsY, onda Yyrinin bu nцqtYsi YyilmY nцqtYsidir. Asimptotlar M(x,y)
Asimptot Шякил 18
µ §Bir зox hallarda dYyiєYn nцqtYnin absisinin, yaxud ordinatэnэn vY ya hYm absisinin, hYm dY ordinatэnэn birlikdY qeyri-mYhdud artdэрэ (mьtlYq qiymYtcY) yerlYrdY µ § Yyrisinin formasэnэ vY demYli uyрun funksiyanэn dYyiєmYsinin xarakterini tYdqiq etmYk lazэm gYlir. Burada isY vacib xьsusi hal, dYyiєYn nцqtYnin sonsuzluрa getmYsi (yaxэnlaєmasэ) ilY hYmin Yyrinin mьYyyYn bir dьz xYttY sonsuz yaxэnlaєmasэdэr . TYrif. Џyri ьzYrindYki M dYyiєYn nцqtYsi sonsuzluрa yaxэnlaєarkYn, hYmin M nцqtYsindYn A dьz xYttinY qYdYr olan d mYsafYsi sэfэra yaxэnlaєarsa, onda A dьz xYttinY hYmin Yyrinin asimptotu deyilir (єYkil 18). Ordinat oxuna paralel olan asimptotlara єaquli, ordinat oxuna paralel olmayan asimptotlara maili asimptotlar deyilir. I. Єaquli asimptotlar. Asimptotun tYrifinY YsasYn µ § dьz xYtti µ § Yyrisinin asimptotudursa, onda µ §, vY ya µ §, yaxud µ § mьnasibYtlYrindYn biri цdYnilmYlidir vY YksinY, hYmin mьnasibYtlYrdYn biri цdYnildikdY µ § dьz xYtti asimptotdur. DemYli, єaquli asimptotlarэ tapmaq ьзьn elY µ § qiymYtlYrini tapmaq lazэmdэr ki, x bu qiymYtlYrY yaxэnlaєdэqda µ § funksiyasэ sonsuzluрa yaxэnlaєsэn. Bu halda µ § dьz xYtti єaquli asimptot olar. II. Maili asimptotlar. Tutaq ki, µ § dьz xYtti µ § Yyrisinin maili asimptotudur. TYrif. µ § dьz xYttinin µ § єYrtindY µ § Yyrisinin maili asimptotu olmasэ ьзьn µ § vY ya
µ §, µ § (µ §) єYrtinin цdYnilmYsi zYruri vY kafi єYrtdir. Teorem. µ § dьz xYttinin µ § єYrtindY µ § Yyrisinin maili asimptotu olmasэ ьзьn µ § vY µ § limitlYrinin ikisinin dY varlэрэ zYruri vY kafi єYrtdir. µ §
olduqda , yYni µ § olduqda maili asimptot ьfьqi asimptota зevrilir. Ьfьqi asimptot maili asimptotun xьsusi halэdэr. Parabola, cub parabola vY sinusoidanэn asimptotu yoxdur. Ьstlь , loqarifmik funksiyalarэn bir asimptotu var. Arctangens vY arccotangensin iki, tangens vY cotangensin sonsuz sayda asimptotu var. Ьfьqi vY maili asimptotlar arasэnda YlaqY. ЏgYr
olarsa onda maili asimptot ьfьqi asimptot ilY ьst-ьstY dьєьr. Ьfьqi asimptot maili asimptotun (1) єYrti цdYnildikdY xьsusi halэdэr. Funksiyanэn ya bir maili asimptotu, ya bir ьfьqi asimptotu; ya eyni zamanda bir ьfьqi vY bir maili asimptotu; ya da eyni zamanda iki ьfьqi vY iki maili asimptotu ola bilYr, ya da heз bir asimptotu olmaya bilYr. Misal. µ § funksiyasэnэn qrafikinin asimptotlarэnэ mьYyyYn edYk. µ § µ §
µ § µ §
µ § funksiyanэn maili asimptotudur. µ § dьz xYttinin isY hYmin Yyrinin єaquli asimptotu olmasэ µ §
єYrtindYn зэxэr. Funksiyanэn tYdqiqi vY qrafikinin qurulmasэnэn ьmumi sxemi “Funksiyanэn tYdqiqi” dedikdY, adYtYn aєaрэdakэlarэ tapmaq nYzYrdY tutulur: 1) funksiyanэn tYyin oblastэnэ; 2) funksiyanэn kYsilmY nцqtYlYrini; 3) funksiyanэn artma vY azalma intervallarэnэ; 4) maksimum vY minimum nцqtYlYrini, elYcY dY funksiyanэn maksimum vY minimum qiymYtlYrini; 5) qabarэq vY зцkьklьk intervallarэnэ, YyilmY nцqtYlYrini; 6) funksiya qrafikinin asimptotlarэnэ. Aparэlmэє tYdqiqata YsasYn funksiyanэn qrafiki qurulur. Misal. µ § funksiyasэnэ araєdэrэn vY qrafikini qurun. TYyin oblastэ µ § Funksiya µ § nцqtYsindYn baєqa hYr yerdY kYsilmYzdir.Funksiyanэn bu nцqtYdY saр vY sol limitlYrini mьYyyYn edYk. µ §
µ § Funksiyanэn ekstremumunu vY monotonluq intervallarэnэ mьYyyYn edYk µ § µ §
µ § µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §mцvc.deyµ §µ §µ §µ §µ §µ §µ § µ § Funksiyanэn YyilmY nцqtYsini, qabarэqlэq vY зцkьklьk intervallarэnэ mьYyyYn edYk. µ §µ §4µ §µ §µ §mцvc.deyµ §qabarэqзцkьkFunksiyanэn maili asimptotunu mьYyyYn edYk. µ §
µ § µ § olduрundan verilmiє funksiyanэn YyilmY nцqtYsэ yoxdur. µ § µ §
µ § maili asimptotdur. Funksiyanэn qrafiki Oy oxunu µ § Mцvzu14
Kompleks YdYdlYr. Kompleks YdYdlYr ьzYrindY YmYllYr. Modul vY arqument. Muavr dьsturu. Kompleks YdYdlYr. Kompleks YdYdlYr ьzYrindY YmYllYr. Modul vY arqument. Muavr dьsturu. Kompleks YdYdlYr ElY µ § elementi var ki, µ § µ § simvolu kompleks YdYd adlanэr. µ §-Y hYqiqi hissY, µ §-yYxYyali hissY deyilir. MYs. µ § YdYdinin hYqiqi hissYsi 2 YdYdi, xYyali hissYsi 3-dьr. 2 kompleks YdYd o zaman bir-birinY bYrabYrdir ki, onlarэn hYqiqi hissYsi vY xYyali hissYsinin Ymsalэ bir-birinY bYrabYr olsun. Kompleks YdYdlYrin toplama vY зэxma qaydasэ. µ §
µ § Kompleks YdYdlYrin vurulmasэ µ § µ §
Kompleks YdYdlYrin bцlьnmYsi. µ § kompleks YdYdinin µ § YdYdinY bцlьnmYsi aєaрэdakэ dьsturla hesablanэr. µ § µ § µ §
Misal. µ §
Kompleks YdYdlYrin hYndYsi mYnasэ. HYqiqi YdYdlYr YdYd dьz xYttindY nцqtYlYrlY qeyd olunurlar.MYs.A nцqtYsi -3; B nцqtYsi -2; O nцqtYsi-sэfэr vэY s. Bundan fYrqli olaraq kompleks YdYdlYr koordinat mьstYvisindY nцqtYlYrlY mьYyyYn olunur.Bunun ьзьn hYr iki oxda eyni miqyaslarэ olan dьzbucaqlэ(dekart) koordinat sistemi gцtьrYk. Kompleks YdYlYrin hYndYsi mYnasэ ondan ibarYtdir ki, hYr birµ § kompleks YdYdinY koordinat mьstYvisinin uyрun olaraq elYµ § nцqtYsi qoyulur ki, kompleks YdYdin hYqiqi hissYsi absis, xYyali hissYdYki Ymsal ordinat rolunu oynayэr. 1. єYkildY koordinat mьstYvisi tYsvir olunmuєdur.µ § YdYdinY mьstYvidYµ §, µ § YdYdinYµ § YdYdinY µ § nцqtYsi uyрundur. BelYliklY, hYr bir kompleks YdYdY koordinat mьstYvisinin yeganY nцqtYsi uyрundur vY tYrsinY. Aydэndэr ki,µ § hYqiqi YdYdinY absis oxunun nцqtYlYri: xYyali µ § YdYdlYrinY ordinat oxunun nцqtYlYri uyрundur. Ona gцrY dY µ § oxu xYyali ox, µ §oxu hYqiqi ox adlanэr. Qoєma µ § vY µ § kompleks YdYdlYrinY absis oxuna nYzYrYn simmetrik olan nцqtY uyрundur. (єYk 2) Yüklə 0,61 Mb. Dostları ilə paylaş:
|