Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
§nцqtYsinY vY µ § vektoruna baxaq. MьstYvidY hYr hansэ µ § nцqtYsi gцtьrYk. Aydэndэr ki,µ § vektoru µ § vektoruna perpendikulyardэr
Yüklə 0,61 Mb.
|
|
FYzada ixtiyari µ §nцqtYsinY vY µ § vektoruna baxaq. MьstYvidY hYr hansэ µ § nцqtYsi gцtьrYk. Aydэndэr ki,µ § vektoru µ § vektoruna perpendikulyardэr . µ § Bu tYnliyi koordinatlarda yazaq: µ § Bu tYnlik µ § nцqtYsindYn keзYn µ § vektoruna perpendikulyar olan mьstYvinin tYnliyidir. Bu tYnliyi sadYlYєdirYk. µ § µ § ilY iєarY edYk. Onda alэrэq: µ § Bu tYnlik mьstYvinin ьmumi tYnliyidir. µ § vektoru µ § mьstYvisinin normal vektoru adlanэr. Koordinat sisteminY nYzYrYn mьstYvilYrin yerlYєmYsinin xьsusi hallarэ 1. µ § (µ §) koordinat baєlanрэcэndan keзYn mьstYvinin tYnliyidir. 2. µ §oxuna paralel olan mьstYvinin tYnliyidir; µ § oxuna paralel olan mьstYvinin tYnliyidir; µ § oxuna paralel olan mьstYvinin tYnliyidir. Bunu yadda saxlamaq lazэmdэr: tYnlikdY µ § hYrfi yoxdursa µ § mьstYvisinY paraleldir, vY s. 3. µ § (µ §,µ § ) hYm µ § hYm dY µ § oxuna paralel olan yYni µ § koordinat mьstYvisinY paralel olan mьstYvinin tYnliyidir. Analoji olaraq µ §mьstYvisinY paralel olan, µ § , µ § mьstYvisinY paralel olan mьstYvinin tYnliyidir. 4. µ § tYnliyi µ § mьstYvisinin, µ § tYnliyi µ § mьstYvisinin tYnliyi, µ § tYnliyi µ § mьstYvisinin tYnliyidir. MьstYvilYrin paralellik YlamYtlYri µ § vY µ § mьstYvilYri paraleldirsY onda onlarэn normal vektorlarэ kollineardэr vY tYrsinY: µ §
Mэsal1. µ § vY µ § mьstYvilYri paraleldir, зьnki, µ §
MьstYvilYrin perpendikulyarlэq YlamYtlYri ЏgYr µ § vY µ § mьstYvilYri perpendikulyardэrsa onda onlarэn µ § vY µ § normal vektorlarэ da perpendikulyardэr vY tYrsinY: µ § Ьз nцqtYdYn keзYn mьstYvinin tYnliyi ЏgYr µ § , µ § nцqtYlYri bir mьstYvi ьzYrindY yerlYєirsY, hYmin nцqtYlYrdYn keзYn mьstYvinin tYnliyi µ § (2)
vY ya µ §
dьsturu ilY verilir. ЏgYr verilmiє ьз nцqtY bir dьz xYtt ьzYrindY yerlYєmiєsY, onda (3) tYnliyi tYnliyi vektor formasэnda aєaрэdakэ kimi olur: µ §
µ §- µ § nцqtYlYrinin uyрun olaraq radius vektorlarэdэr. Эki nцqtYdYn keзYn vY verilmiє mьstYviyY perpendikulyar olan mьstYvinin tYnliyi µ § Verilmiє nцqtYdYn keзYn vY iki (paralel olmayan) µ § vY µ § mьstYvilYrinY perpendikulyar olan mьstYvinin tYnliyi µ § MьstYvilYr arasэndakэ bucaq ЏgYr mьstYvilYr aєaрэdakэ tYnliklYrlY verilmiєdirsY µ § (1)
µ § (2) onlar bir-birinY bYrabYr olan dцrd ikiьzlь bucaq YmYlY gYtirir. Onlardan biri µ § vY µ § normal vektorlarэ arasэndakэ bucaqdэr: µ §
MьstYvinin normal tYnliyi µ § mьstYvisinY baxaq. Bu mьstYvinin normal tYnliyini зэxarmaq ьзьn koordinat baєlanрэcэndan µ § perpendikulyarэ keзirYk. µ § iэY iєarY edYk vY bu perpendikulyarэn koordinat oxlarэ ilY YmYlY рYtirdiyi bucaqlarэ uyрun olaraq µ § ilY iєarY edYk. Tutaq ki. µ § mьstYvinin ixtiyari nцqtYsidir. µ § nцqtYsi vY koordinat baєlanрэcэndan µ § parзasэ keзirYk, uzunluрunu isY µ § ilY iєarY edYk.µ § parзasэnэn koordinat oxlarэ ilY YmYlY gYtirdiyi bucaqlarэ uyрun olaraq µ § ilY iєarY edYk. µ § vY µ § nцqtYlYrinin hYr ikisi µ § mьstYvisindY yerlYєdiyindYn µ § parзasэ da bu mьstYvidY yerlYєir.µ § mьstYvisinY perpendikulyar olduрundan µ §, demYli µ §. µ § qYbul edYrYkµ §-dYn alэrэq: µ § (4)
DigYr tYrYfdYn µ § (5) (4) tYnliyinin hYr iki tYrYfini µ §-Y vuraraq alэrэq: µ § (4) vY µ § bYrabYrliklYrindYn alэrэq: µ § vY ya µ §
µ §bucaqlarэ µ §vahid vektorunun µ § perpendikulyarэ istiqamYtdY µ § oxlarэ ilY YmYlY gYtirdiyi bucaqlardэr. µ § koordinat baєlanрэcэndan mьstYviyY endirilmiє µ § perpendikulyarэnэn uzunluрudur. µ §
µ § MьstYvinin (1) ьmumi tYnliyi µ § normallayэcэ vuruрuna vurularaq (6) єYklinY gYtirilir. MьstYvi vY dьz xYttin qarєэlэqlэ vYziyyYti Tutaq ki, - µ § dьz xYttin ьzYrindY yerlYєYn эxtiyari nцqtYdir.Onda µ § vY vektorlarэnэn paralelliyэnY YsasYn
µ § (7) tYnliyi dьz xYttin dьz xYttin kanonik tYnliyi adlanэr. µ § vektoru dьz xYttin istiqamYtlYndirici vektoru adlanэr. (7) tYnliyindYki nisbYtlYrdYn hYr birini µ §-yY bYrabYr edYrYk dьz xYttin parametrik tYnliklYrini alэrэq: µ § (11) Эki nцqtYdYn keзYn dьz xYttin tYnliyi: µ § Dьz xYtt vY mьstYvi arasэndakэ bucaq: µ § Dьz xYtt vY mьstYvinin paralelliyi: µ § µ § (14) Dьz xYtt vY mьstYvinin perpendikulyarlэрэ: µ § µ § Mцvzu 9. ЏdYdi ardэcэlliрэn limiti ЏdYdi ardэcэlliрэn limiti LimitlYr haqqэnda Ysas teoremlYr MYєhur limitlYr ЏgYr hYr hansэ µ § natural YdYdinY uyрun olaraq µ § hYqiqi YdYdi qoyulmuєdursa onda deyirlYr ki, µ § YdYdi ardэcэllэрэ verilmiєdir. Qэsa olaraq belY iєarY olunur: µ § olduqda µ § ardэcэllэрэn µ §-ci hYddidir. Aєaрэdakэ ardэcэllэqlarэ YdYdi ardэcэllэqlara misal gYtirmYk olar: µ § natural YdYdlYr зoxluрuµ § cьt YdYdlYr зoxluрuµ § ifadYsinin tYqribi qiymYtlYridir. ЏgYr µ § ьзьn µ § єYrtini цdYyYn µ § sayэ varsa vY µ § bYrabYrsizliyi цdYnilYrsY µ § YdYdinY µ § YdYdi ardэcэllэрэnэn limiti deyilir. Limit latэn sцzь “limes” sцzьndYn gцtьrьlьb sYrhYd demYkdir. Bunu qisa olaraq belY yazэrlar: µ §
µ § intervalэna a nцqtYsinin µ § Ytrafэ deyilir. Baєqa sцzlY µ § nцqtYsinin ixtiyari Ytrafэnda µ § YdYdi ardэcэllэрэnэn bьtьn hYdlYri yerlYєYrsY µ § YdYdinY µ § YdYdi ardэcэllэрэnэn limiti deyilir. MYs.
HYqiqYtYn dY µ §, seзsYk alarэq µ § Burada µ §-dan asэlэdэr. Limiti olan ardэcэllэрa yэрэlan ardэcэllэq deyilir. ЏgYr heз bir YdYd YdYdi ardicilliрэn limiti deyilsY ona daрэlan ardэcэllэq deyilir. ЏgYr µ § ьзьn µ § bYrabYrsizliyi цdYnilYrsY µ § YdYdi ardэcэllэрэna artan ardэcэllэq deyilir. ЏgYr µ § ьзьn µ § bYrabYrsizliyi цdYnilYrsY µ § YdYdi ardэcэllэрэna azalan ardэcэllэq deyilir. Yэрэlan ardэcэllэqlarэn xassYlYri. ЏgYr ardэcэllэq hYr hansэ µ § YdYdi ьзьn µ § єYrtini цdYyirsY aєaрэdan mYhdud adlanэr. µ § єYrtini цdYdikdY yuxarэdan mYhdud adlanэr. ЏgYr µ § olarsa ardэcэllэq mYhdud ardэcэllэq adlanэr. Ьз ardэcэllэq haqqэnda teorem. ЏgYr µ § ardэcэlliqlarэ ьзьn µ § vY µ § olarsa onda µ § ardэcэllэрэ yэрэlэr,vYµ § ЏgYr µ §µ § Onda µ §
Yuxarэdan mYhdud ixtiyari azalmayan ardэcэllэq yэрэlэr. Aєaрэdan mYhdud ixtiyari artmayan ardэcэllэq yэрэlэr. µ § vY µ § ardэcэllэqlarэnэn cYmi, fYrqi, hasili vY nisbYti uyрun olaraq µ § ilY iєarY olunur. LimitlYr nYzYriyyYsinin Ysas teoremi: ЏgYr
olarsa µ §
µ § µ §
Limiti sэfra bYrabYr olan kYmiyyYtY sonsuz kiзik kYmiyyYt deyilir: µ §
Misal. µ § vY µ § olduqda sonsuz kiзik kYmiyyYydir. µ § olduqda bu funksiya sonsuz kiзik kYmiyyYt deyil. MьtlYq qiymYti mYhdud olaraq artan kYmiyyYtY sonsuz bцyьk kYmiyyYt deyilir: µ § Sonsuz kiзilYn vY sonsuz bцyьyYn kYmiyyYt arasэnda aєaрэdakэ teoremlYrlY ifadY edilYn sэx YlaqY vardэr. Teorem1. ЏgYr µ § sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtdirsY, onda µ § sonsuz kiзilYn kYmiyyYtdir. Teorem 2. ЏgYr µ § sonsuz kiзilYn kYmiyyYtdirsY, onda µ § sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtdir. Sonsuz kiзilYn vY sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtlYr bir sэra xassYlYrY malikdir. Sonlu sayda sonsuz kiзilYnlYrin cYbri cYmi dY sonsuz kiзilYn kYmiyyYtdir. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin mYhdud kYmiyyYtlY hasili dY sonsuz kiзilYndir. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin sabit kYmiyyYtY hasili dY sonsuz kiзilYndir. Эki sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin hasili dY sonsuz kiзilYndir. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin tam mьsbYt qьvvYti sonsuz kiзilYndir. Эki sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin nisbYti heз dY hYmiєY sonsuz kiзilYn olmur. Funksiyanэn limiti TYrif. Tutaq ki. µ § funksiyasэ vY µ § YdYdi verilmiєdir. µ § YdYdi ьзьn µ § YdYdi var ki. µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn µ §
bYrabYrsizliyi цdYnilir. Onda µ § YdYdinY µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY limiti deyilir vY belY yazэlэr: µ §
Bir зox hallarda birtYrYfli limitlYr: saр limit vY sol limit anlayэєlarэ verilir. Bunlarэn tYrifini vermYk ьзьn limitin tYrifindYki µ § YvYzinY µ § єYrtlYri gцtьrьlьr. MYs. Saр limitin tYrifi belYdir: Tutaq ki. µ § funksiyasэ vY µ § YdYdi verilmiєdir. µ § YdYdi ьзьn µ § YdYdi var ki. µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn µ § bYrabYrsizliyi цdYnilir. Onda µ § YdYdinY µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY saр limiti deyilir vY belY yazэlэr: µ § Tutaq ki. µ § funksiyasэ vY µ § YdYdi verilmiєdir. µ § YdYdi ьзьn µ § YdYdi var ki. µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn µ § bYrabYrsizliyi цdYnilir. Onda µ § YdYdinY µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY sol limiti deyilir vY belY yazэlэr: µ § LimitlYr haqqэnda teoremlYr Teorem 1. µ § vY µ § funksiyalarэnэn µ § nцqtYsindY limiti varsa, onlarэn cYminin vY hasilinin hYmin nцqtYdY limiti var belY ki, µ §
µ § CYmin limiti haqqэnda teoremi isbat edYk. ЄYrtY gцrY µ § vY µ § funksiyalarэnэn µ § nцqtYsindY limitlYri var: µ §
Bu o demYkdir ki. µ § YdYdi ьзьn µ § vY µ § YdYdlYri var ki, µ § єYrtini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn µ §
vY , µ § єYrtini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn µ §
цdYnilir. Onda µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn (1) vY (2) bYrabYrsizliklYrinin hYr ikisi doрrudur; burada µ § YdYdi µ § vY µ §YdYdlYrindYn Yn kiзiyidir.Onda belY µ §-lYr ьзьn (1) vY (2) bYrabYrsizliklYrini tYrYf-tYrYfY toplamaqla alэnan bYrabYrsizlik dY doрru olar: µ § MYlum µ § bYrabYrsizliyini tYtbiq etmYklY vY (3)-ь nYzYrY alaraq µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn alэrэq: µ § µ §
BelYliklY biz gцstYrdik ki, µ § var ki. µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn µ § YdYdlYri ьзьn µ §
Bu isY o demYkdir ki. µ §
NYticY1. Sabit vuruрu limit iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar: µ §
NYticY 2. Sonlu limiti olan µ § funksiyasэ ьзьn µ §
Teorem 2.ЏgYr µ § vY µ § funksiyalarэnэn µ § nцqtYsindY limiti varsa vY µ § funksiyalarэnэn limiti sэfэrdan fYrqlidэrsY µ § olarsa, onda µ § nisbYtinin µ § nцqtYsindY limiti var vY µ §
Teorem 3. ЏgYr µ § funksiyalarэ ьзьn µ § bYrabYrsizliklYri цdYnilYrsY, hYmзinin µ §єYrtindY µ § vY µ § eyni bir µ § limitinY yaxэnlaєэrsa onda µ § funksiyasэ µ § єYrtindY hYmin limitY yaxэnlaєэr. Teorem 4. ЏgYr µ § єYrtindY limiti olan µ § vY µ § funksiyalarэnэn uyрun qiymYtlYri arasэnda µ § bYrabYrsizliyi цdYnilYrsY, onda µ § Teorem 5. ЏgYr µ § єYrtindY µ § funksiyasэ mYnfi olmayan qiymYtlYr alэrsa vY µ § limitinY yaxэnlaєэrsa onda µ § mYnfi olmayan YdYddir. YYni: µ §, onda µ § Analoji olaraq. YgYr µ §, onda µ § Teorem 6. ЏgYr µ § funksiyasэ artandэrsa , yYni onun hYr bir sonrakэ qiymYti цzьndYn YvvYlki qiymYtindYn bцyьkdьrsY vY o mYhduddursa ,yYni µ §, onda hYmin dYyiєYn kYmiyyYtin limiti var: µ § vY burada µ § Teorem 7. Sabitin limiti цzьnY barabYrdir. MYєhur limitlYr 1. Teorem. Sonsuz kiзik qцvsьn sinusunun (radianla ifadY olunmuє) цzьnY olan nisbYtinin µ § єYrtindY limiti vahidY bYrabYrdir, yYni µ §
Эsbatэ. µ § qцvsь sэfra yaxэnlaєdэрэndan µ §
Tutaq ki, µ § Radiusu µ § olan зevrY зYkYk vY tutaq kэ, mYrkYzi µ § µ §nцqtYsindYn µ § radiusunu µ § nцqtYsini kYsYnYdYk toxunan зYkYk. Onda µ § ьзbucaрэnэn sahYsi, µ § sektorunun sahYsi, µ § ьзbucaрэnэn sahYsi arasэnda aєaрэdakэ bYrabYrsizlik doрrudur: µ § µ §
µ § Ona gцrY dY µ § µ § ortaq vuruрuna ixtisar etdikdYn sonra alэrэq: µ § Axэrэncэ ikiqat bYrabYrsizliyin bьtьn hYdlYrini µ §-ya bцlYrYk alэrэq: µ § Tutaq ki, µ § onda µ § BelYliklY µ § dYyiєYn kYmiyyYti limiti vahidY bYrabYr olan iki iki kYmiyyYt arasэnda mYhdudlaєmэєdэr. Ona gцrY dY µ §
VY hYqiqYtYn dY µ §
Axэrэncэ bYrabYrlik µ § olduqda da цdYnilir, µ §
2.µ §-YdYdi µ § ЎЄ riyazi sabit YdYddir, natural loqarifmin Ysasэdэr, transendent YdYddir. µ § YdYdini ilk dYfY Eyler 1727-ci ildY iєlYtmiєdir. µ § YdYdinY Eyler YdYdi deyirlYr. HYm dY µ § YdYdi Eylerin (Euler) adэnэn ilk hYrfidir. µ § YdYdi diferensial vY inteqral hesabэnda vY riyaziyyatэn bir зox bцlmYlYrindY mьhьm rol oynayэr.µ § funksiyasэ µ § olduqda maksimum qiymYt alэr. Эkinci mYєhur limitin isbatэ Эkinci mYєhur limitin µ §-in natural qiymYtlYri ьзьn doрru olduрuna YsasYn ikinci mYєhur limiti hYqiqi µ § -lYr ьзьn ikinci mYєhur limiti isbat edYk,
Tutaq ki, µ § . µ §-in hYr bir qiymYti iki mьsbYt tam YdYdlYr arasэndadэr: µ § burada, µ §-µ §-in tam hissYsididr. Buradan µ §
Ona gцrY dY µ §
ЏgYr µ § onda µ §. Ona gцrY dY µ § olduрundan alэrэq: µ §
µ § Ona gцrY dY alэrэq: µ § Tutaq ki, µ § . µ § YvYzlYmYsi aparaq, onda alэrэq: µ § µ §
Bu iki haldan alэrэq kэ, µ §
NYticYlYr µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § Misal1.
limitini hesablayэn. HYlli. µ § YvYzlYmYsi edYk. Onda µ § vY µ §. Onda µ § Misal2.
limitini hesablayэn. HYlli. µ § olduрundan µ § єYklindY qeyri-mьYyyYnlik alэrэq. Bu qeyri-muYyyYnliyi aзmaq ьзьn II nцv mYєhur limitdYn istifadY edYk. µ § YvYzlYmYsi edYk. Onda µ § vY µ § µ §
Mцvzu10. Funksiyanэn kYsilmYzliyi. Funksiyanэn kYsilmYzliyi KYsilmYz funksiyalarэn bYzi xassYlYri N O M0 M ѓґy y0 ѓґx
x0+ѓґx x0 x y Шэкил 15
Tutaq ki, µ § funksiyasэ µ § nцqtYsindY vY hYmin nцqtYnin hYr hansэ bir Ytrafэnda tYyin olunmuєdur. Tutaq ki, µ §. ЏgYr x dYyiєYni mьYyyYn bir µ § artэmэnэ alaraq µ § qiymYtinY bYrabYr olarsa, onda yfunksiyasэ da uyрun olaraq mьYyyYn ѓґy artэmэnэ alar. Burada µ § artэmэnэn mYnfi vY ya mьsbYt olmasэnэn YhYmiyyYti yoxdur.Funksiyanэn yeni qiymYtiµ §olar (єYkil 15).Buradan funksiyanэn artэmэ aєaрэdakэ kimi olar: ѓґy =f (x0+ Dx) ЁC f (x0). TYrif 1.ЏgYrµ §funksiyasэ µ § nцqtYsindY vY onun hYr hansэ bir Ytrafэnda tYyin olunmuєdursa vY µ §, (1)
vY yaxud µ § (2)
mьnasibYti цdYnilYrsY, ondaµ §funksiyasэna µ § nцqtYsindY kYsilmYz funksiya deyilir. Teorem.HYr bir elementarµ § funksiyasэ tYyin olduрu istYnilYn nцqtYdY kYsilmYzdir. TYrif 2.ЏgYr µ § nцqtYsindY arqumentin sonsuz kiзilYn artэmэna µ §funksiyasэnэn da sonsuz kiзilYn artэmэ uyрun olarsa, onda µ § funksiyasэna µ § nцqtYsindY kYsilmYz funksiya deyilir. TYrif3.ЏgYr µ §
TYrif 4. (a; b) intervalэnэn hYr bir nцqtYsindY kYsilmYz funksiyaya hYmin intervalda kYsilmYz funksiya deyilir. HYr hansэ bir µ §nцqtYsindYµ § funksiyasэnэn kYsilmYz olmasэnэn єYrtlYrindYn heз olmasa biri pozularsa, yYni: 1) µ §nцqtYsindY funksiya tYyin olunmamэєdэrsa; 2) funksiyanэn x0 nцqtYsindYµ §limiti yoxdursa; 3) funksiyanэn µ §nцqtYsindY qiymYti vY limiti olduрu halda onlarэn bYrabYrliyi цdYnmirsY: µ §, onda deyirlYr ki, µ §funsiyasэ µ § nцqtYsindY kYsilir. Bu halda µ § nцqtYsinY funksiyanэn kYsilmY nцqtYsi deyilir. Funksiya limitinin tYrifindYn istifadY etmYklY kYsilmYzliyin tYrifini baєqa єYkildY dY ifadY edY bilYrik. TYrif 5.Tutaq ki, µ § YdYdi ьзьn µ § YdYdi var ki, µ §-in µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn qiymYtlYrindYµ § цdYnilir.Bu halda µ § funksiyasэna µ § nцqtYsindY kYsilmYz funksiya deyilir. ЏgYr funksiya x=a nцqtYsindY tYyin olunmuєdursa vYµ §bYrabYrliyi цdYnirsY, onda deyirlYr ki, µ §funksiyasэ µ § nцqtYsindY saрdan kYsilmYzdir. ElYcYdY,µ §olduqdaµ §funksiyasэ µ § nцqtYsindY soldan kYsilmYz adlanэr. TYrif6.Tutaq ki, x0nцqtYsindY f(x) funksiyasэnэn saр vY sol limitlYriµ §vYµ § var. Lakin yaµ §vY yaxud µ § nцqtYsindYµ §funksiyasэ tYyin olunmamэєdэr. Ondaµ § nцqtYsiµ §funksiyasэnэn birinci nцv kYsilmY nцqtYsi adlanэr. KYsilmYz funksiyalarэn bYzi xassYlYri Teorem1.Verilmiє µ §nцqtYsindY kYsilmYzµ §funksiyasэ hYmin nцqtYnin mьYyyYn Ytrafэnda mYhduddur. Teorem2. µ § nцqtYsindY sonlu sayda kYsilmYz funksiyalarэn cYmi vY hasili dY hYmin nцqtYdY kYsilmYzdir. Teorem3.ЏgYrµ §vYµ §funksiyalarэ x0 nцqtYsindY kYsilmYzdirsY vY µ §єYrti цdYnilirsY, onda µ § nisbYti hYmin nцqtYdY kYsilmYzdir. Teorem4.ЏgYr µ § funksiyasэ t0nцqtYsindYvY µ § funksiyasэ µ § nцqtYsindY kYsilmYzdirsY, onda µ § mьrYkkYb funksiyasэ µ § nцqtYsindY kYsilmYzdir. Teorem5.Sonluµ §parзasэnda kYsilmYzµ §funksiyasэ hYmin parзada mYhduddur. Teorem6.µ § parзasэnda kYsilmYzµ §funksiyasэ hYmin parзanэn uc nцqtYlYrindY mьxtYlif iєarYli qiymYtlYr alэrsa, onda µ §vY µ § nцqtYlYri arasэnda yerlYєYn Yn azэ bir c (a Teorem7.µ §parзasэnda kYsilmYzµ § funksiyasэ hYmin parзanэn uc nцqtYlYrindY bYrabYr olmayan A = f (a) „jB = f (b) qiymYtlYrini alэrsa, onda hYmin µ § vY µ § YdYdlYri arasэnda yerlYєYn hYr bir µ § YdYdi ьзьn µ § parзasэnda yerlYєYn Yn azэ bir µ § nцqtYs ivar ki, µ § olar. Teorem 8. ЏgYrµ § funksiyasэ hYr hansэ bir intervalda kYsilmYzdirsY vY orada цzьnьn Yn kiзik, Yn bцyьk qiymYtlYrini alэrsa, onda funksiya hYmin intervalda Yn kiзik qiymYti ilY Yn bцyьk qiymYti arasэnda yerlYєYn istYnilYn YdYdi heз olmasa bir dYfY alэr.
Mцvzu11
Diferensiallama qaydalarэ vY tцrYmY cYdvYli. 2 s. Funksiyanin tцrYmYsi.
TцrYmYnin hYndYsi, mexaniki mYnasэ. Funksiyanэn bцhran nцqtYlYri. Onun maksimumlarэ vY minimumlarэ
Funksiyanэn tцrYmYsinin tYrifi. Tutaq ki, µ § funksiyasэ hYr hansэ µ § aralэрэnda tYyin olunmuєdur. µ § ьзьn asэlэ olmayan dYyiєYnY µ § aralэрэ daxilindY elY µ § artэmэnэ verYk ki, o da bu µ § aralэрэna daxil olsun. Onda µ §
µ §
µ §
TцrYmYni iєarYlYmYk ьзьn mьxtYlif simvollardan istifadY edirlYr. Leybnis µ §,Laqranj (Lagrange) µ § vY ya µ §; Koєi (Cauchy) µ § iєarYlYrindYn istifadY etmiєlYr. Biz Laqranjэn iєarYlYmYlYrindYn istifadY edYcYyik.
TцrYmYlYr cYdvYli 1.µ §
2.µ §; xьsusi halda µ § 4.µ § xьsusi halda µ § 5.µ § 6.µ § 9.µ § 7.µ § 10.µ § 8.µ § 11.µ § 12.µ § 13.µ § 14.µ § 15.µ § Funksiyanэn tцrYmYsinin hYndYsi mYnasэ MьYyyYn aralэqda kYsilmYz µ § funksiyasэnэn qrafikini nYzYrdYn keзirYk. Alэnmэє µ § Yyrisi ьzYrindY µ § vY µ § nцqtYlYrini gцtьrYk vY kYsYn-µ § dьz xYttini зYkYk. µ § artэmэna sэfra yaxэnlaєan qiymYtlYr verYk; onda asanliqla gцrьnьr ki,µ §-Y uyрun olan µ § nцqtYsi µ §nцqtYsinY Yyri boyu yaxэnlaєacaq,µ § dьz xYtti isY µ § nцqtYsi Ytrafэnda dцnYcYk.(єYk1) Bu prosesdY ola bilYr ki, µ § kYsYni hYr hansэ µ § limit vYziyyYtinY yaxэnlaєsэn. µ § dьz xYttinY µ § YyrisinY µ § nцqtYsindY toxunan deyilir. HYmin dьz xYttin bucaq Ymsalэnэ (µ §-ya bYrabYrdir, µ § toxunan ilY µ § oxu arasэndakэ bucaqdэr) tapmaqla YlaqYdar qeyd edYk. µ §-da µ § dьz xYtti (µ §) vYziyyYtinY yaxэnlaєэr ifadYsinY daha dYqiq mYna vermYk olar: µ § kiзik olduqca µ § bucaрэ da µ § bucaрэna yaxэn olur, demYli: µ § µ § dьz xYttinin bucaq Ymsalэ µ § kYsrinY bYrabYr olduрundan , (1) bYrabYrliyindYn alэrэq: µ § DemYlэ: µ § nцqtYsindYn keзYn vY bucaq Ymsalэ µ §-in µ § nцqtYsindYki qiymYtinY bYrabYr olan dьz xYttY µ § funksiyasэnэn qrafikinY µ § nцqtYsindY toxunan deyilir. BelYliklY , µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY tцrYmYsi varsa, onda hYmin nцqtYdY µ §-in qrafikinY toxunan var vY onun bucaq Ymsalэ µ § qiymYtinY bYrabYrdir. TцrYmYnin hYndYsi mYnasэ bundan ibarYtdir. Эndi isY µ § funksiyasэnэn qrafikinY µ § nцqtYsindY toxunanэn tYnliyini зэxaraq. Bucaq Ymsalэ µ § olan dьz xYttin tYnliyi , µ §
єYklindYdir. µ § YdYdini tYyin etmYk ьзьn toxunanэn µ § nцqtYsindYn istifadY edYk: µ §
buradan µ §. DemYli toxunanэn tYnliyi µ §, yaxud µ §
Funksiyanэn tцrYmYsinin mexaniki mYnasэ Tutaq kэ, maddi nцqtY dьz xYtt ьzrY hYrYkYt edir. Onda hYmin nцqtYnin µ § absisi µ § zamanэnэn funksiyasэdэr, yYni µ § NцqtY µ § ilY µ § arasэndakэ zaman fasilYsindY µ §
orta sьrYti ilY µ § mYsafYsinY bYrabYr yol gedir. Bu nisbYtin , µ § єYrtindY limitinY isY nцqtYnin µ § zaman anэndakэ sьrYti ( yaxud ani sьrYti) deyilir: µ §
DigYr tYrYfdYn, µ §
demYli, µ § Koordinatэn zamana nYzYrYn tцrYmYsi sьrYtdir. TцrYmYnin mexaniki mYnasэ mYnasэ budur. HYrYkYtin µ § sьrYti µ § zamanэn funksiyasэdэr, yYni µ § Bu funksiyanэn tцrYmYsinY isY hYrYkYtin tYcili deyilir: µ §
SьrYtin zamana nYzYrYn tцrYmYsi tYcildir. Misal. Maddi nцqtYnin dьєmYsini nYzYrdYn keзirYk. Koordinat dьz xYttini єaqulэ olaraq aєaрэ yцnYltsYk , maddi nцqtYnin baєlanрэc vYziyyYti 0 ilY ьst-ьstY dьєYrsY , fizikadan mYlumdur ki, µ § Onda µ § zaman anэnda nцqtYnin dьєmY sьrYti µ § olur, tYcil isY sabitdir: µ § Elementar funksiyalarэn tцrYmYlYrinin hesablanmasэ µ § ЏgYr µ § onda µ § µ §; µ §
µ § µ §
µ § єYrtindY birinci hYddYn baєqa bьtьn toplananlar sэfra зevrildiyindYn , µ §
µ § ЏgYr µ § onda µ §
µ § Buradan
µ § µ § funksiyasэna baxaq. µ §.
µ §
µ § µ § Tutaq ki, µ § onda µ § µ §
µ § Funksiyanэn bцhran nцqtYlYri. Onun maksimumlarэ vY minimumlarэ Funksiyanэn tYyin oblastэnda tцrYmYsinin tYyin olunmadэрэ vY yaxud sэfra bYrabYr olduрu daxili nцqtYlYrY funksiyanэn bцhran nцqtYlYri deyilir. µ § funksiyasэnэn (єYk1)-dY tYsvir olunmuє qrafikini nYzYrdYn keзirmYklY bu funksiyanэn µ § bцhran nцqtYlYrinin belY xьsusiyyYtlYrini gцstYrmYk olar. µ § vY µ § nцqtYlYrinY kifayYt qYdYr yaxэn olan bьtьn nцqtYlYrdY µ § funksiyasэnэn qiymYtlYri uyрun olaraq µ § vY µ § qiymYtlYrindYn kiзik deyil, elYcY dY µ § vY µ § nцqtYlYrinY kifayYt qYdYr yaxэn olan nцqtYlYrdY bu µ § funksiyasэnэn qiymYtlYri uyрun olaraq µ § vY µ § qiymYtlYrindYn bцyьk deyil. TYrif 1. µ § nцqtYsinin elY Ytrafэ varsa ki vY bu Ytrafdakэ bьtьn µ §-lYr ьзьn ЄYkil 2 ЄYkil 3 ЄYkil 1 µ §цdYnilYrsY, onda µ § nцqtYsinY µ § funksiyasэnэn minimum nцqtYsi deyilir (єYk2). TYrif 2. µ § nцqtYsinin elY Ytrafэ varsa ki vY bu Ytrafdakэ bьtьn µ §-lYr ьзьn µ § цdYnilYrsY , onda µ § nцqtYsinY µ § funksiyasэnэn maksimum nцqtYsi deyilir (єYk3). Funksiyanэn maksimum vY minimum nцqtYlYrinY hYmin funksiyanэn ekstremum nцqtYlYri, funksiyanэn hYmin nцqtYlYrdYki qiymYtlYrinY funksiyanэn ekstremumlarэ dryilir. Latэn sцzь olan ekstremus- “ekstremum”, azYrbaycanca baєqalarэndan зox fYrqlYnYn , kYnar mYnasэnэ verir. BelYliklY , µ § vY µ § nцqtYlYri µ § funksiyasэnэn minimum nцqtYlYri, µ § vY µ § nцqtYlYri µ § funksiyasэnэn maksimum nцqtYlYridir. Qeyd edYk ki, µ § vY µ § nцqtYlYri µ § funksiyasэnэn ekstremum nцqtYlYri deyil(єYk 1); зьnki, bu nцqtYlYrin hYr biri ьзьn onlarэn daxil olduрu vY bьtьnlьklY funksiyanэn tYyinoblastэnda yerlYєYn interval seзmYk mьmkьn deyil. Yüklə 0,61 Mb. Dostları ilə paylaş:
|