Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 0,61 Mb.
|
|
Kompleks YdYdin triqonometrik formasэ µ § kompleks YdYdinY uyрun olan nцqtY triqonometrik formada da gцstYrilY bilYr. onun koordinatlarэ olaraq koordinat baєlanрэcэndan olan mYsafY vY µ §yarэm oxu oz єьasэ arasэndakэ bucaq gцtьrьlьr. (єYkil 3) Koordinat baєlanрэcэndanµ § kompleks YdYdinY uyрun olan nцqtYyY qYdYr olan mYsafYyY YdYdin modulu deyilir. Onda (єYk 2) Pifaqor teoreminY gцrY µ §. Buradan kompleks YdYdin modulunu tapэrэq µ §
Modulu 1-Y bYrabYr olan bьtьn kompleks YdYdlYr mYrkYzi koordinat baєlanрэcэnda olan vahid зevrYnin nцqtYlYri ilY qeyd olunurlar (єYk 4) µ § yarэmoxu vY µ § єьasэ arasэndakэ bucaрa µ § kompleks YdYdinin arqumenti deyilir. Qoєma µ § vYµ § kompleks YdYdlYrinin modulu eynidir: :µ § arqumentlYri isY µ § Moduldan fYrqli olaraq kompleks YdYdin arqumenti bir qiymYt ilY tYyin olunmur. Eyni bir konpleks YdYdin bir-birindYn fYrqlYnYn sonsuz qiymYtlYri var. MYs: µ § YdYdinin (єYk 3) modulu µ §; arqumenti µ §µ §µ § vY ya µ §, µ §, µ §ola bilYr. Tutaq ki, koordinatlarэ µ § olan nцqtYyY µ § kompleks YdYdi uyрundur. Bu kompleks YdYdi modul vY arqument vasitYsi ilY yazaq. Sinus vY kosinus triqonometrik funksiyalarэndan istifadY edYk (єYk 3) µ § ilY iєarY olunur. µ §
Triqonometrik єYkildY verilmiє µ § YdYdlYrinin hasilini tapaq: µ §
µ § Yaxud :
µ § DemYli triqonometrik єYkildY verilmiє iki kompleks YdYdin hasili elY bir yeni kompleks YdYddir ki, bunun modulu verilmiє kompleks YdYdlYrin modullarэ hasilinY, arqumenti isY arqumentlYrinin cYminY bYrabYrdir. µ § DemYli triqonometrik єYkildY verilmiє iki kompleks YdYdin nisbYti elY bir yeni kompleks YdYddir ki, bunun modulu verilmiє kompleks YdYdlYrin modullarэ nisbYtinY, arqumenti isY arqumentlYrinin fYrqinY bYrabYrdir. µ § Kompleks YdYdi µ § dYrYcYdYn qьvvYtY yьksYltmYk ьзьn onun modulunu hYmin dYrYcYdYn qьvvYtY yьksYldib, arqumentini isY µ §-Y vurmaq lazэmdэr. µ § Onda µ § ifadYsinY kompleks YdYdin triqonometrik formasэ deyilir. µ § µ § Muavr dьsturu Triqonometrik єYkildY verilmiє µ § kompleks YdYdi ьзьn Muavr dьsturu: µ § Muavr dьsturu µ §: Eyler dьsturundan зэxэr. Bu dьsturu fransэz alimi Abraham de Muavr kYєf etmiєdir. Analoji olaraq bu dьstur sэfэr olmayan kompleks YdYd ьзьn µ § dYrYcYli kцklYrin hesablanmasэnda istifadY olunur: µ §
Kompleks YdYdin tam qьvvYtY yьksYldilmYsi. Kompleks YdYdi tam qьvvYtY yьksYltdikdY kompleks YdYdin modulu hYmin qьvvYtY yьksYldilir, arqument isY qьvvYtin dYrYcYsinY vurulur. µ §
µ § Kompleks YdYddYn kцkьn alэnmasэ µ § Kompleks YdYdlYrin yaranma tarixi. XYyali kYmiyyYtlYr ilk dYfY olaraq Kardanonun (1545) “Bцyьk incYsYnYt vY ya cYbri qaydalar” YsYrindY iєlYdilib. XVI-XVII YsrlYrdY kvadrat vY kub tYnliklYrin hYllYrindYµ § ifadYsini xYyali adlandэrэrdэlar. µ § iєarYsini (1777-ci ildY Eyler vermiєdir. O bu iєarYlYmYni imaginarius latэn sцzьnьn I hYrfindYn gцrьrmьєdьr). Modul arqument, qoєma YdYd anlayэєэnэ Koєi irYli sьrmьєdьr. Mцvzu15 Ibtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral, inteqrallar cYdvYli, qeyri-mьYyyYn inteqralэn xassYlYri. 1.Эbtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral 2. Qeyri-mьYyyYn inteqralэn hesablanmasэ. 3. XassYlYri. 4.Эnteqrallar cYdvYli. Эbtidai funksiya Mexanikaya aid misalэ yada salaq. Zamanэn µ § baєlanрэc anэnda cismin sьrYti sэfra bYrabYr, yYni µ § olarsa, onda sYrbYst dьєYn cisim µ § anэna qYdYr µ § qYdYr yol gedYr. (1) dьsturu Qaliley tYrYfindYn tYcrьbY yolu ilY tapэlmэєdэr. Diferensiallamaqla sьrYti tapэrэq: µ §
Эkinci diferensiallama tYcili verir: µ §
demYli tYcil sabitdir. Lakin mexanika ьзьn daha sYciyyYvi olan baєqa mYsYlYdir: nцqtYnin µ §tYcili mYlumdur(bizim misalda bu sabitdir), µ § sьrYtinin dYyiєmY qanununu vY hYmзinin µ § koordinatэnэ tapmaq tYlYb olunur. Baєqa sцzlY verilYn vY µ §-yY bYrabYr olan µ § tцrYmYsinY gцrY µ §-ni tapmaq, sonra isY µ §-yY bYrabYr olan µ § tцrYmYsinY gцrY µ §-ni tapmaq lazэmdэr. BelY mYsYlYlYri diferensiallama YmYliyyatэnэn tYrsi olan inteqrallama YmYliyyatэ ilY hYll edirlYr. TYrif. Verimiє aralэqdan gцtьrьlmьє bьtьn µ §-lYr ьзьn µ §
olarsa ondaµ § funksiyasэna verilmiє aralэqda µ § funksiyasэnэn ibtidai funksiyasэ deyilir. Teorem. µ § ixtiyari sabit, µ § isY µ § aralэрэnda µ § funksiyasэnэn ixtiyari ibtidai funksiyasэdэrsa onda bu aralэqda µ §-in istYnilYn ibtidai funksiyasэnэ µ § єYklindY yazmaq olar. Эsbatэ. 1) ЄYrtY gцrY µ §funksiyasэ µ § aralэрэnda µ §ьзьn ibtidai funksiyadэr. DemYli, µ § ьзьn µ §. Ona gцrY µ § yYni µ § ifadYsi µ § funksiyasэnэn ibtidai funksiyasэdэr. 2) Tutaq ki, hYmin µ §aralэрэnda µ § funksiyasэnэn ibtidai funksiyalarэndan biri Фµ §-dir, bьtьn µ § ьзьn µ § Onda µ § Funksiyanэn sabэtliyi YlamYtinY YsasYn buradan alэnэr ki, µ § fYrqi µ § aralэрэnda hYr hansэ sabit µ § qiymYti alan funksiyadэr. BelYliklY . µ §aralэрэna daxil olan istYnilYn µ § ьзьn µ § bYrabYrliyinin doрruluрu alэnэr ki, bunu daisbat etmYk tYlYb olunurdu. µ § funksiyasэnэn istэnilYn iki ibtidai funksiyasэnэn qrafiklYrindYn biri digYrindYn µ § oxu boyunca paralel kцзьrmYklY alэnэr.(єYk 1) Эbtidai funksiyanэn tapэlmasэnэn ьз qaydasэ Qayda 1. µ §funksiyasэ µ § ьзьn,µ § funksiyasэµ § ьзьn ibtidai funksiyadэrsa, onda µ § funksiyasэ µ § ьзьn ibtidai funksiyadэr. Qayda 2. µ §funksiyasэ µ § ьзьn ibtidai funksiya, µ § isY sabitdirsY, µ § funksiyasэ µ § ьзьn ibtidai funksiyadэr. Qayda 3.ЏgYr µ §funksiyasэ µ § ьзьn ibtidai funksiya, µ § vY µ § sabitlYr, hYm dY µ § isY, onda µ § funksiyasэ µ § ьзьn ibtidai funksiyadэr. Misal. KьtlYsi 2 kq olan maddi nцqtY Ox oxu boyunca yцnYlmiє qьvvYnin tYsiri altэnda hYrYkYt edir. µ § zaman anэnda bu qьvvY µ §-yY bYrabYrdir. µ § saniyY olduqda nцqtYnin sьrYtinin µ § vY koordinatэnэn 1-Y bYrabYr olduрunu (µ §-nyutonla, µ § saniyY ilY, µ §-metrlY цlзьlьr.)bilYrYk, nцqtYninµ §hYrYkYt qanununu tapэn. HYlli. Nyutonun ikinci qanununa gцrY µ § burada µ § tYcildir. Alэrэq:
µ § NцqtYnin µ § sьrYti µ § tYcili ьзьn ibtidai funksiyadэr. Ona gцrY dY µ § µ § sabitini µ § єYrtindYn tapaq: µ § µ § koordinatэ µ § sьrYti ьзьn ibtidai funksiyadэr. Ona gцrY dY µ § µ § sabitini µ § єYrtindYn tapaq: µ § BelYliklY nцqtYnin hYrYkYt qanunu aєaрэdakэ kimi olur: µ § Эnteqral hesabэ sahYlYrin, hYcmlYrin, aрэrlэq mYrkYzlYrinin hesablanmasэ ьзьn ьmumi metod yaratmaq tYlYbindYn irYli gYlmiєdir. Leybnits ( Leibniz) (1675) bunun ьзьn aєaрэdakэ simvolu qYbul etmiєdir: µ §buradaµ § -(kursiv S)“summa”- cYm sцzьnьn I hYrfidir. µ § ifadYsini Leybnits inteqral adlandэrmэєdэr. Bu latэnca inteqro sцzьndYn alэnmэєdэr kэ, bu YvvYlki vYziyyYtY gYtirmYk, bYrpa etmYk kimi tYrcьmY olunur.(Doрrudan da, inteqrallama YmYliyyatэ , diferensialladэqda inteqralaltэ funksiyanэ verYn funksiyanэ bYrpa edir). Fransэz alimi Furye Leybnitsin iєarYlYmYsini mьkYmmYllYєdirYrYk ona µ § єYklini vermiєdir.1696-cэildY riyaziyyatin yeni qolunun Э.Bernulli tYrYfindYn daxil edilYn adэ-inteqral hesabэ(calculus inteqralis) meydana gYldi. µ § funksiyasэ ьзьn bьtьn ibtidai funksiyalar зoxluрu µ § funksiyasэnэn qeyri-mьYyyYn inteqralэ adlanэr. Qeyri-mьYyyYn inteqralэn xassYlYri 1)Qeyri-mьYyyYn inteqralэn tцrYmYsi inteqralaltэ funksiyaya bYrabYrdir. µ § 2) Diferensial iєarYsindYn YvvYl inteqral iєarYsi olduqda µ § µ §Sabit vuruрu inteqral iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar: µ § 4)
ЏgYr µ § olarsa.onda µ §
µ § µ §
Эnteqrallar cYdvYli µ § sabitdir. µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
CYdvYl inteqrallarэndan arqumentin xYtti YlavY edilmYsi ilY alэnan inteqrallarэ µ §sanki cYdvYl inteqrallarэµ §(yYni,µ § , µ §, µ § ,...) adlandэracaрэq. Misal .µ § inteqralэnэ hesablayэn. HYlli. µ § olduрundan 14-cь cYdvYl inteqralэna YsasYn alэrэq: µ §
Mцvzu16 Inteqralamanэn Ysas ьsullarэ. DYyiєYni YvYz etmY vY hissY-hissY inteqrallama DYyiєYni YvYz etmY HissY-hissY inteqrallama Эnteqrallamanэn Ysas ьsullarэ Ayэrma ьsulu. Bu ьsulun mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, inteqralaltэ funksiya inteqrallarэ asan hesablana bilYn funksiyalarэn cYmi єYklindY gцstYrэlэr, sonra isY hYr bir inteqral ayrэlэqda hesablanlr. Qeyri-mьYyyYn inteqralda dYyiєYni YvYzetmY( YvYzlYmY) ьsulu. dYyiєYni YvYzetmY inteqral hesabэnda Yn зox iєlYnYnьsuldur. µ § ilY iєarY edYk, µ § diferensiallanaan funksiyadэr. Onda µ § µ § BYzYn µ § YvzlYmYsi aparэrlar yYni yeni t dYyiєYninY x-dYn asэlэ funksiya kimi baxэrlar. ElY bir ьmumi resept-ьsul yoxdur ki, onun kцmYyi ilY hansэ YvYzlYmYni aparэb inteqralэ hesablamaq mьmkьn olsun. Ancaq ipucu olaraq aєaрэdakэ iki єYrtdYn istifadY etmYk faydalэ olur: ЏgYr inteqral iєarYsi altэnda µ § mьrYkkYb funksiyasэ olarsa µ § YvYzlYmYsi aparэlэr(mYs. inteqralaltэ ifadYdY µ § olarsa µ §, µ § olarsa µ § vY s.YvYzlYmYsi aparmaq lazэm gYlir). 2)ЏgYr inteqralaltэ ifadYdY hazэr µ § diferensialэ-yYni µ § ifadYsi varsa, µ §YvYzlYmYsi aparmaq lazэm gYlir. Ona gцrY dY tez-tez rast gYlinYn aєaрэdakэ dьsturlarэ yadda saxlamaq lazэmdэr: µ §
µ § µ §
µ § µ § vY s. µ §єYkilli inteqrallarэ hesablayarkYn aєaрэdakэ YvYzlYmYlYri aparmaq lazэmdэr: µ §
µ § ibtidai funksiyadэr. Misal 1. µ § µ § tgµ §-in diferensialэdэr. µ §
Misal 2. µ § µ §
µ § Misal3.µ § inteqralэnэ dYyiєYni YvYzetmY ьsulu ilY hYll edin Verilmiє inteqralэ cYdvYl inteqralэna gYtirmYk ьзьn aєaрэdakэ YvYzlYmYni aparaq: µ §.Onda µ § vY µ §
HissY-hissY inteqrallama Tutaq ki, µ § vY µ § funksiyalarэ x dYyiєYninY gцrY diferensiallanandэr. Bu funksiyalarэn hasilinin diferensialэnэ mьYyyYn edYk: µ § buradan µ § µ § bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini inteqrallayaraq alэrэq: µ § µ § dьsturuna hissY-hissY inteqrallama dьsturu deyilir. Bu dьsturdan gцrьndьyь kimi inteqralaltэ ifadYni iki vuruga: µ § vY µ §yY ayэrmaq,sonra isY: 1) u-ya gцrY diferensiallayaraq du-nu tapmaq, 2) dµ §-yY gцrYinteqrallayaraq µ §vY µ § sabitini atmaq lazэmdэr,зьnki cavab bu aralэq sabitindYn asэlэ deyil. DemYli hissY-hissY inteqrallamada iki YmYliyyat aparэlэr:diferensiallama vY inteqrallama. HissY-hissY inteqrallama zamanэ aєagэdakэlarэ nYzYrY almaq lazэmdэr: ЏgYr inteqralaltэ ifadY ьєtlь vY triqonometrik funksiyalarэn зoxhYdliyY hasilindYn ibarYtdirsY, onda u olaraq зoxhYdlini gцtьrmYk lazэmdэr. ЏgYr inteqralaltэ ifadY loqarifmik vY ya tYrs triqonometrik funksiyalarэn зoxhYdliyY hasilindYn ibarYtdirsY u olaraq loqarifmik vY ya tYrs triqonometrik funksiyanэ gцtьrmYk lazэmdэr. Misal.µ § µ § vY µ § onda µ §
µ § µ §
Misal2.µ § inteqralэnэ hissY-hissY inteqrallama ьsulu ilY hYll edin. HissY-hissY inteqrallama dьsturundan istifadY edYk: µ § µ § vY µ § YvYz edYk. Onda µ § vY µ § HissY-hissY inteqrallama dьsturunu tYtbiq edYrYk alэrэq: µ §
Mцvzu17 Kvadrat ьзhYdlinin daxil olduрu bYzi funksiyalarэn, rasional kYsrlYrin, triqonometrik funksiyalarэn inteqrallanmasэ. 1 SadY rasional kYsrlYr vY onlarэn inteqrallanmasэ. 2. Kvadrat ьзhYdli daxil olan bYzi funksiyalarэn inteqrallanmasэ. 3. SadY irrasionallэqlarэn inteqrallanmasэ 4. Triqonometrik funksiyalarэn inteqrallanmasэ SadY rasional kYsrlYr vY onlarэn inteqrallanmasэ Rasional funksiyalarэn Yn sadY nцvь µ § µ § єYklindY olan funksiya yYni n dYrYcYli зoxhYdlidir. BelY funksiyalarэn inteqralэ bilavasitY hesablanэr: µ §
SadY rasional kYsrlYr aєaрэdakэlardэr: µ §
µ § µ §
µ § I.µ §
II. µ § µ §
III.µ § inteqralэnэ hesablamaq ьзьn onun mYxrYcini aєaрэdakэ kimi зevirYk: µ § ЄYrtY gцrY µ § ilY iєarY etmYk olar. Onda µ § µ § YvYzlYmYsini aparaq: µ §; µ § µ §
µ § YenidYn µ § dYyiєYninY qayэtsaq alarэq: µ § Kvadrat ьзhYdli daxil olan bYzi funksiyalarэn inteqrallanmasэ. µ §зoxhYdlidэr. µ § sabitlYrdir. µ §yY bцlYk, onda tamda µ § qalэqda µ § alarэq: µ §
µ § зoxhYdlisindYn inteqral bilavasitY tapэlэr. Ona gцrY dY µ § inteqralэnэ hesablayaq. Эki Ysas inteqrala baxaq. µ § yYni µ § µ §
II. µ § µ §
Buradan µ §
µ § µ §
BelYliklY µ §
ЏgYr µ §зoxhYdlisinin 2 fYrqli µ §vY µ §kцklYri varsa, onda aєagэdakэ dьsturdan istifadY olunur: µ §
µ §vY µ §qeyri-mьYyyYn Ymsallardэr. Misal.µ § qeyri-mьYyyYn inteqralэnэ hesablayэn. Qeyri-mьYyyYn Ymsallar ьsulundan istifadY edYk. µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § SadY irrasionallэqlarэn inteqrallanmasэ I. µ § inteqralэna baxaq, burada R ЁC цz arqumentlYrinin rasional funksiyasэdэr. Tutaq ki, k YdYdi µ § kYsrlYrinin ortaq mYxrYcidir. µ § µ § YvYzlYmYsi aparaq. Onda x-эn hYr bir kYsr ьstlь qьvvYti t-nin tam qьvvYti ilY ifadY olunar vY demYli, inteqralaltэ funksiya t-nin rasional funksiyasэna зevrilYr. Эndi
µ § єYklindY inteqrala baxaq. Bu inteqral µ § YvYzlYmYsinin kцmYyi ilY t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir, burada k YdYdi µ § kYsrlYrinin ьmumi mYxrYcidir. µ § єYklindY inteqrallar BelY inteqrallar aєaрэdakэ Eyler YvYzlYmYlYrinin kцmYyi ilY yeni dYyiєYnin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir. 1. Eylerin birinci YvYzlYmYsi. ЏgYr µ §olarsa, µ §
YvYzlYmYsini qYbul edirik. MьYyyYnlik ьзьn µ §-nэn iєarYsini mьsbYt gцtьrYk. Onda µ §
olar. Buradan isY x dYyiєYni t-nin rasional funksiyasэ kimi tapэlэr: µ §
(demYli, dx dY t ilY rasional єYkildY ifadY olunar). Buna gцrY µ § ifadYsi t-nin rasional funksiyasэ olur µ §
BelYliklY, µ §, x vY dx ifadYlYri t vasitYsi ilY rasional єYkildY gцstYrilir; demYli, verilmiє inteqral t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir. 2. Eylerin ikinci YvYzlYmYsi. ЏgYr µ §olarsa, µ § YvYzlYmYsini aparaq. Onda (mьYyyYnlik ьзьn µ § qarєэsэndakэ iєarYni mьsbYt gцtьrYk) µ § Buradan µ § rasional funksiya kimi µ § ilY ifadY olunur: µ § Gцrьndьyь kimi, dx vY µ § dY µ §ilY rasional єYkildY ifadY olunur; ona gцrY x, µ § vY dx-in qiymYtlYrini µ § inteqralэnda yerinY yazaraq onu t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirYrik. 3. Eylerin ьзьncь YvYzlYmYsi. Tutaq ki, µ § vY µ § hYqiqi YdYdlYri µ § ьзhYdlisinin kцklYridir. µ § qYbul edYk. µ § olduрundan µ § µ §
µ § Buradan x dYyiєYni t-nin rasional funksiyasэ kimi ilY ifadY olunur: µ § dx vY µ § dY µ § ilY rasional ifadY olunduqlarэndan, verilmiє inteqral t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir. Qeyd. Eylerin ьзьncь YvYzlYmYsi yalnэz µ § olduqda deyil, µ § olduqda da tYtbiq olunur, ancaq µ § зoxhYdlisinin kцklYrinin hYqiqi olmalэdэr. Misal 1. µ § inteqralэnэ hesablayэn. HYlli.µ § µ §
µ § µ §
µ § Misal 2.µ § inteqralэnэ hesablayэn. HYlli.µ § µ §
µ § Misal 3. µ § inteqralэnэ hesablayэn. HYlli. µ § YvYzlYmYsini aparaq. µ § µ §
µ § µ §
Triqonometrik funksiyalarэn inteqrallanmasэ ЏvvYlcY
µ § (1) єYklindY inteqrala baxaq. GцstYrmYk olar ki, bu inteqral µ § (2) YvYzlYmYsinin kцmYyi ilY hYmiєY rasional funksiyanэn inteqralэna gYtirilY bilYr. µ § vY µ § funksiyalarэnэ µ § vasitYsi ilY, demYli t ilY ifadY edYk: µ § Daha sonra µ § BelYliklY, µ §, µ § vY dx yeni t dYyiєYni ilY rasional ifadY edildilYr. Rasional funksiyanэn rasional funksiyasэ rasional funksiya olduрundan, alэnmэє ifadYlYri (1) inteqralэnda yerinY yazэb, rasional funksiyanэn inteqralэnэ alarэq: µ § Baxэlan YvYzlYmY µ § єYklindY olan istYnilYn funksi-yanэ inteqrallamaрa imkan verir. Ona gцrY dY bYzYn onu «universal triqonometrik YvYzlYmY» adlandэrэrlar. Lakin praktikada o, зox zaman hYddYn artэq mьrYkkYb rasional funksiyalara gYtirib зэxarэr. Ona gцrY dY “universal” YvYzlYmY ilY birlikdY bYzi hallarda mYqsYdY daha tez nail olmaрa imkan verYn digYr YvYzlYmYlYri dY bilmYk faydalэdэr. 1) ЏgYr inteqral µ § єYklindYdirsY, onda µ § µ § YvYzlYmYsi onu µ § єYklindY inteqrala gYtirir. 2) ЏgYr inteqral µ § єYklindY olarsa, onda o, µ § µ § YvYzlYmYsi ilY rasional funksiya inteqralэna gYtirilYr. 3) Эnteqralaltэ funksiya yalnэz µ § -dYn asэlэ olarsa, onda µ § YvYzlYmYsi hYmin inteqralэ rasional funksiya inteqralэna gYtirir: µ § 4) ЏgYr inteqralaltэ funksiya µ § єYklindY olarsa, ancaq µ § vY µ § yalnэz cьt dYrYcYdYn daxildirsY, onda hYmin µ § YvYzlYmYsi tYtbiq olunur, зьnki µ § vY µ § funksiyalarэ µ § ilY rasional єYkildY ifadY olunur: µ § 5) Эndi µ § єYkilli bir inteqrala da baxaq: inteqral iєarYsi altэnda µ § hasili durur (burada m vY n tam YdYdlYrdir). Burada ьз hala baxaq. a) µ § inteqralэnda m vY n YdYdlYrindYn heз olmasa biri tYk YdYddir. MьYyyYnlik ьзьn n YdYdinin tYk olduрunu qYbul edYk (µ §) vY inteqralэ зevirYk: µ §
µ § µ § YvYz edYk, onda µ § vY µ § olar. Bu isY t-nin rasional fnksiyasэnэn inteqralэdэr. b) µ §, burada m vY n mYnfi olmayan cьt YdYdlYrdir. µ § qYbul edib, triqonometriyadan mYlum olan dьsturlarэ yazaq: µ §
Bu ifadYlYrinin qiymYtlYrini inteqralda yerinY yazsaq alarэq; µ §
QьvvYtY yьksYldib, mцtYrizYlYri aзdэqdan sonra µ § funksiyasэnэn tYk vY cьt dYrYcYli qьvvYtlYrini alarэq. TYk dYrYcYli hYdlYr a) halэnda gцstYrilYn qayda ilY inteqrallanэr, cьt dYrYcYli qьvvYtlYrin dYrYcYsini isY yenY (3) dьsturlarэnэn kцmYyi ilY azaldэrэq. Bu qaydanэ davam etdirYrYk µ § hYddinY gYlib зэxarэq, bu isY asan inteqrallanэr. c) ЏgYr hYr iki qьvvYt ьstь cьt vY heз olmasa biri mYnfi olarsa, onda yuxarэda gцstYrdiyimiz ьsьl bir nYticY vermir. Bu halda µ § (yaxud µ §) YvYzlYmYsi Ylveriєlidir. 6.µ § єYkilli inteqrallar aєaрэdakэ triqonometrik funksiyalarэn vasitYsilY tapэlэr: µ § µ §
µ § µ § єYkilli inteqrallar µ § vY µ § cьt olduqda aєaрэdakэ dьsturlarэn vasitYsi ilY dYrYcYnin azaldэlmasэ vasitYsi ilY tapэlэr: µ § ЏgYr µ § vY µ §-dYn heз olmasa tYk olduqda, mYs.µ § olduqda µ § µ §
Misal 1.µ § Misal 2.µ § inteqralэnэ hesablayэn. HYlli. µ § µ §
Mцvzu18. MьYyyYn inteqral, mьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri . MьYyyYn inteqral vY qeyri mьYyyYn inteqral arasэnda YlaqY, Nyuton-Leybnis dьsturu 1. MьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri 2. Nyuton-Leybnis dьsturu 3. MьYyyYn inteqralda hissY-hissY inteqrallama 4. MьYyyYn inteqralda dYyiєYni YvYzetmY. Tutaq ki, µ § oxunun µ § parзasэnda tYyin olunmuєdur.µ §parзasэnэ µ § hissYyY bцlYk: µ §hYr bir elementar µ §-dY µ § nцqtYsini gцtьrYk vY belY parзa ьзьn µ §uzunluрunu tapaq. µ § funksiyasэ ьзьn inteqral cYmэ aєaрэdakэdэr: µ § Elementar parзalardan Yn bцyьyьnьn uzunluрu sэfra yaxэnlaєdэqda inteqral cYminin limitinY µ § parзasэnda ( vY ya µ §dan µ §yYdYk) µ § funksiyasэnэn mьYyyYn inteqralэ deyilir. µ § bYrabYrliylndY µ § vY µ §inteqrallamanэn aєaрэ vY yuxarэ sYrhYdlYri; µ § inteqrallama parзasэ ;µ § inteqralaltэ funksiya; µ § inteqralaltэ ifadY; µ §inteqrallama dYyiєYni adlanэr. ЏgYr µ § onda inteqral cYminin limiti var vY µ § parзasэnэn elementar parзalara ayrэlmasэndan vY µ § nцqtYsinin seзilmYsindYn asэlэ deyil.ЏgYr µ §parзasэnda µ § olarsa onda µ § hYndYsi olaraq µ § xYtlYri ilY mYhdudlaєmэє YyrixYtli trapesiyanэn sahYsidir. MьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri MьYyyYn inteqralэn qiymYti dYyiєYnin iєarYlYmYsindYn asэlэ deyil: µ §
µ § ixtiyari hYrflYrdir. 2.SYrhYdlYri eyni olan mьYyyYn inteqral sэfra bYrabYrdir: µ § 3.Эnteqrallama sYrhYdlYrinin yerini dYyiєdikdY mьYyyYn inteqral iєarYsini dYyiєir: µ § HYqiqYtYn dY µ §. 4.Sabit vurugu inteqral iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar: µ §. 5.ЏgYr µ §inteqrallama parзasэnэ µ § nцqtYsi ilY iki µ §vYµ §parзalarэna bцlsYk µ §
µ § Bir neзY funksiyanэn cYbri cYminin mьYyyYn inteqralэ toplananlarэn inteqrallarэnэn cYbri cYminY bYrabYrdir: µ §
7. ЏgYr µ §parзasэnda µ § olarsa,onda µ §
8. ЏgYr µ §parзasэnda µ §olarsa,onda µ §
9.µ §parзasэnda tYyin olunmuє µ § funksiyasэ ьзьn aєaрэdakэ bYrabYrlik doрrudur: µ § 10. Yuxarэ sYrhYddi dYyiєYn olan inteqralэn diferensialэ inteqralaltэ ifadYyY bYrabYrdir: µ § 11. ЏgYr m vY M YdYdlYri µ §funksiyasэnэn µ §parзasэnda Yn bцyьk vY Yn kiзik qiymYtlYri vY µ § olarsa, onda µ § µ §. Orta qiymYt haqqэnda teorem. ЏgYr µ § onda µ § var ki, µ § Nyuton-Leybnis dьsturu Teorem. KYsilmYz funksiyanэn mьYyyYn inteqralэ onun ixtiyari ibtidai funksiyasэnэn yuxarэ vY aєaрэ sYrhYdlYrindYki qiymYtlYri fYrqinY bYrabYrdir. Эsbatэ.Tutaq ki. µ § vY µ § onun mьYyyYn inteqralэdэr. Tutaq ki, µ § in ibtidai funksiysэdэr: yYni µ §.Yuxarэ sYrhYddi dYyiєYn olan µ § mьYyyYn inteqralэna baxaq.Onda inteqralэn 10-cu xas- sYsinY gцrY µ § BelYliklY µ §vY Фµ §- in tцrYmYlYri eynidir vY bir- birindYn µ § sabiti ilY fYrqlYnirlYr. µ § µ § sabitini mьYyyYn etmYk ьзьn µ §dY yuxarэ sYrhYddY µ § qYbul edYk. µ § µ §vY
µ § µ § dY µ § -in yuxarэ sYrhYdindY µ § yazaq: µ § Teorem isbat olundu. DemYli mьYyyYn inteqral ixtiyari inteqralaltэ funksiyanэn inteqrallama parзasэndakэ artэmэna bYrabYrdir. Qeyd.µ § iєarYlYmYsini aparsaq µ § funksiyasэ µ §-in ixtiyari ibtidai funksiyasэ olduqda µ § Nyuton-Leybnis dьsturu riyazi analizэn Yn mьhьm dьsturlarэndan biridir. Bu dьsturun kцmYyi ilY inteqral cYminin limitinin зYtin tapэlan mYsYlYsi asanlэqla hYll olunur. Misal 1.µ § sinusoidasэnэn bir yarэmdalрasэ vY OX oxu ilY mYhdudэanmэє fiqurun sahYsini tapэn. MьYyyYn inteqralэn hYndYsi mYnasэna YsasYn alэrэq kэ, µ § MьYyyYn inteqralda hissY-hissY inteqrallama Tutaq ki, µ §funksiyalarэ µ §dY kYsilmYz vY diferensiallanandэr. µ § Bu bYrabYrliyi µ §-dan µ §-yYdYk inteqrallayaraq , µ § olduрunu alэrэq: µ §
Buradan alэrэq: µ § Misal1. µ §-i hesablayэn. µ §HYqiqYtYn dY µ § µ §
MьYyyYn inteqralda dYyiєYni YvYzetmY. Qeyri-mьYyyYn inteqralda olduрu kimi mьYyyYn inteqralda da dYyiєYni YvYzetmY ilY inteqrallarэ sadYlYєdirmYk olur. Tutaq ki. µ § olduqda µ §-i hesablamaq lazэm gYlir.µ § dYyiєYnindYn µ § dYyiєYninY keзYk. µ § Tutaq ki,µ § qiymYtinY µ § dьsturunda µ §qiymYtinY µ § uyрundur.µ § ЏgYr aєaрэdakэ єYrtlYr цdYnYrsY Yüklə 0,61 Mb. Dostları ilə paylaş:
|