Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

Sizin üçün oyun:

Google Play'də əldə edin


Yüklə 0.61 Mb.
səhifə1/6
tarix20.05.2018
ölçüsü0.61 Mb.
  1   2   3   4   5   6

AzYrbaycan DцvlYt Aqrar Universiteti

Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

FYnn: Riyaziyyat-1

Эxtisas: MьhYndislik

MьhazirYзi: baє mьYllim G.N. Џliyeva

ЏdYbiyyat

1. В. А. Ильин. Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М., 2007.

2. Багирли Д.В. Асланов Г.М. Курс математики. Гянджа, 2016.

3. MYsimova S.N. Ali riyaziyyatэn Ysaslarэ. Bakэ, 2009.

4. К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный. Сборник задач по высшей математике. М., 2009.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 2000.

6. Кострикин А,И, Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М., 2004.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., ВШ. I, II части. 1986.

8. M.ЏkbYrov. Ali cYbr. Maarэf,1985.

9. Минорский В.Н. Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1989.

10. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.

11. Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов.

МЦНМО, 2002

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.  

М., 2001.

13. К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный Сборник задач по высшей математике. М. 2009.

14. Кудряцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989.

GYncY -2017

Mцvzu 1


MatrislYr. MatrislYr ьzYrindY YmYllYr. Determinantlar.

MatrislYr. MatrislYr ьzYrindY YmYllYr.

MatrislYr ьzYrindY YmYllYrin xassYlYri.

Determinantlarэn hesablanmasэ ьsullarэ

4. Determinantэn Ysas xassYlYri.

5. Matrisin ranqэ. Kroneker-Kapelli teoremi

Matris YdYdlYrin dьzbucaqlэ єYklindY cYdvYlidir. Onun ьzYrindY toplama, vurma, зэxma YmYllYrini yerinY yetirmYk olur. Matrisi adYtYn latэn Ylifbasэnэn bцyьk hYrflYri ilY iєarY edэrlYr.Aєaрэdakэ iєarYlYmYlYrdYn istifadY edirlYr:

µ §


BYzYn matrisi µ § kimi iєarY edirlYr. Matrisin elementlYrini kiзik hYrflY iєarY edirlYr. Matrisin hYr elementinin 2 aєaрэ indeksi var. µ §I “i” sYtrin nцmrYsini, II-“j” sьtun nцmrYsini bildirir. µ §цlзьlь matris dedikdY µ §- sYtir, µ §- sьtun nYzYrdY tutulur: µ §

Эlk dYfY matris termini “sehrli kvadratlar” adэ ilY qYdim ЗindY iєlYdilmiєdir. Bu termin tYnliklYr sisteminin hYlli zamanэ iєlYdilmiєdir. Sehrli kvadratlar adlandэrэlan bu termin sonralar YrYb riyaziyyatзэlarэ tYrYfindYn iєlYdilmiє vY nYticYdY matrislYrin toplanmasэ prinsipi irYli sьrьlmьєdьr.

Sonra matris anlayэєэ XIX Ysrin ortalarэnda Uilyam Hamilton vY Artur Kelinin YsYrlYrindY iєlYdilmiєdir. Matris termini anlayэєэnэ 1850-ci ildY Ceyms Silvester vermiєdir.

Matrisi


µ §

єYklindY yazэrlar.

µ § цlзьlь (1) matrisinin sYtir vY sьtunlarinin sayэ bYrabYr olduqda µ § ona kvadrat matris deyilir. Bu halda n YdYdinY kvadrat matrisin tYrtibi deyilir. MYsYlYn,

µ § - ikitYrtibli matris, µ § - ьзtYrtibli matris.

Bir elementdYn ibarYt olan matrisY birtYrtibli matris deyilir. Ancaq bir sYtri olan matrisY sYtir matris

µ §ancaq bir sьtunu olan matrisY isY sьtun-matris deyilir

µ §

Kvadrat matrisin yuxarэ sol kьncьndY yerlYєYn µ § elementi ilY aєaрэ saр kьncьndYki µ § elementini birlYєdirYn dьz xYtt parзasэ ьzYrindY yerlYєYn µ § elementlYri зoxluрu hYminmatrisin baє diaqonalэ adlanэr. Yalnэz baє diaqonal elementlYri sэfэrdan fYrqli olan kvadrat matrisY diaqonal matris deyilir vY aєaрэdakэ kimi yazэlэr:



µ §

Kvadrat matrisinin diaqonal elementlYrinin bir tYrYfindY- ya yuxarэda vY yaxud aєaрэda duran bьtьn elementlYri sэfэr olan matrisY ьзbucaq matris deyilir:

µ §

vY ya


µ §

ьзbucaq matrislYrininbu єYkilllYrinY uyрunolaraq, bYzYn onu sol(yaxud aєaрэ)ьзbucaq matris vY saр (yaxud yuxarэ) ьзbucaq matris adlandэrэrlar.

Bьtьn elementlYri vahidY bYrabYr olan diaqonal martris vahid matris adlanэr vY aєaрэdakэ єYrti цdYyir: µ §

µ §


MatrislYr ьzYrindY YmYllYr

Tutaq ki, µ § matrisinin, µ § isY µ § matrisinin elementidir. µ § matrisinin µ § YdYdinY hasili µ § ilY iєarY olunur: µ §

µ § cYmi elY µ § matrisinY deyilir ki, onun elementlYri µ § vY µ §-nin uyрun elementlYri cYminY bYrabYrolsun: µ §

µ §


µ §

Analoji olaraq µ § fYrqi elY µ § matrisinY deyilir ki, µ §

µ §

µ §


Toplama vY зэxma yalnэz eyni цlзьlь matrislYr ьзьn edilir.

µ § matrisi vardэr ki, onu µ § matrisi ilY topladэqda µ § dYyiєmir: µ §

Sэfэr matrisin bьtьn elementlYri sэfra bYrabYrdir.

MatrislYrin vurulmasэ.

µ § hasili µ § matrisinY deyilir ki, o µ §-nэn uyрun sYtir elementlYrinin µ §-nin uyрun sьtun elementlYrinY hasillYri cYminY bYrabYrdir:

µ §


I vuruqdakэ sьtunlarэn sayэ II vuruqdakэ sYtirlYrin sayэna bYrabYr olmalэdэr. ЏрYr µ § matrisinin цlзьsь µ § matrisinin цlзьsь µ §olarsa onda µ § matrisinin цlзьsь µ § olar.

µ §


Yalnэz kvadrat matrislYri qьvvYtY yьksYltmYk olar.

TransponirY edilmiє matrisi µ § ilY iєarY edirlYr. µ § yYni sYtir elementlYri uyрun sьtun elementlYri ilY YvYz olunur. ЏgYr µ §-nэn цlзьsь µ §-dirsY µ §-nin цlзьsь µ § olduqda µ § matrisinY simmetrik matris deyilir. µ § olduqda µ § matrisinY зYp-simmetrik matris deyilir.

Simmetrik matrisY aid misal:µ §

ЗYp simmetrik matrisY aid misal: µ §

MatrislYr ьzYrindY YmYllYrin xassYlYri.

Toplamanэn assosiativliyi: µ §

Toplamanэn kommutativliyi : µ §

Vurmanэn assosiativliyi : µ §

Toplamaya nYzYrYn vurmanэn distributivliyi:

µ §


TransponirY olunmuє matrisin xassYlYri:

µ §


µ §(YgYrµ §varsa)

µ § .


Determinantэn tYrifi

ЏvvYlcY ikitYrtibli

µ § (1)

matrisinY baxaq. Bu matrisin elementlYrindYn dьzYldilmlє µ § fYrqinY (1) matrisinin determinantэ deyilir vY



µ § (2)

Ьз tYrtibli determinant aєaрэdakэ dьsturla hesablanэr:

µ §

µ §


kimi iєarY olunur.

Ьз tYrtibli determinantэn Sarrius ьsulu ilY hesablanmasэ.

Bunun ьзьn ьз tYrtibli determinantэ olduрu kimi yazэrэq. Sonra I vY II sYtri III sYtrinaltэndan paralel kцзьrьrьk. Bu zaman hYr birindY ьз elementdYn ibarYt olan altэ diaqonal alэrэq.Qara xYtlYrlY зYkilmiє diaqonal elementlYrini mьsbYt iєarY ilY, punktirlY зYkdiyimiz diaqonal elementlYrini mYnfi iєarY ilY gцtьrьrьk. Bu altэ hasilin cYmi determinantэn qiymYtini verir. (єYk2)

Analoji olaraq bunu sьtunlara gцrY dY edirik.

TYpY nцqtYlYri µ § olan ьзbucaрэn sahYsi belY hesablanэr:

µ §


«-»µ § µ § µ §

µ § radius vektorlarэ ьzYrindY qurulmuє paraleloqramэn sahYsinin kvadratэ aєaрэdakэ dьsturdan tapэlэr:

µ §

Elementin minoru determinantda elementin durduрu yerdY sYtir vY sьtunun ьstьndYn xYtt зYkdikdYn sonra alэnan bir tYrtib Yskik determinanta deyilir vY µ § ilY iєarY olunur. Elementin cYbri tamamlayэcэsэ isY цz iєarYsi ilY gцtьrьlmьє minordur; elementin durduрu yerdY sYtir vY sьtunu gцstYrYn indekslYrin cYmi cьtdьrsY cYbri tamamlayэcэ minora bYrabYrdir; tYkdirsY cYbri tamamlayэcэ Yks iєarY ilY gцtьrьlmьє minora bYrabYrdir:



µ §

Determinantэn Ysas xassYlYri.

Determinantэn bьtьn uyрun sYtir vY sьtunlarэnэn yerini dYyiєdikdY onun qiymYti dYyiєmYz.

µ §


Determinantэn iki qonєu sYtrinin ( vY ya sьtununun ) bir-biri ilY yerini dYyiєdikdY determinantэn ancaq iєarYsi dYyiєYr:

µ §


HYr bir determinant hYr hansэ bir sYtir vY ya sьtun elementlYrinin uyрun cYbri tamamlayэcэlarэ hasillYrinin cYminY bYrabYrdir:

µ § sYtrinY gцrY ayrэlэєэ

µ §

J sьtununa gцrY ayrэlэєэ isY



µ §

Эki sYtri (sьtunu) eyni olan determinant sэfra bYrabYrdir:

µ §

µ §


Determinantэn hYr hansэ bir sYtrinin (sьtununun) bьtьn elementlYri sэfэr olduqda determinant sэfra bYrabYr olar.

Determinantэn hYr hansэ bir sYtir (sьtun) elementlYrinin ortaq vuruрu olarsa, onda hYmin vuruрu determinant iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar :

µ §

Determinantэn hYr hansэ bir sYtrinin (sьtununun) bьtьn elementlYrini bir YdYdY vurub onun baєqa bir sYtrinin (sьtununun) uyрunelementlYri ьzYrinY YlavY etsYk, determinant dYyiєmYz:



µ §

Determinantэn hYr hansэ bir sYtrinin bьtьn elementlYri iki YdYdin cYmi kimi verildikdY hYmin determinant iki determinantэn cYninY bYrabYr olar, bu determinantlarэn birindY hYmin sYtir elementlYri olaraq birinci toplananlar, obirindY isY hYmin sYtir elementlYri olaraq ikinci toplananlar gцtьrьlьr:

µ §

µ §


Determinantэn iki sYtri (sьtunu) mьtYnasib olarsa onda determinant sэfra bYrabYr olar.

Determinantэn hYr hansэ bir sYtir vY ya sьtun elementlYrinin baєqa bir sYtir vY ya sьtunun uyрun cYbri tamamlayэcэlarэ ilY hasillYri cYmi sэfra bYrabYrdir.

Qeyd.1. Ьз tYrtibli determinantэ sYtir vY ya sьtununa рцrY aзarkYn µ §toplananlarэnэn qarєэsэndakэ iєarYlYri(“+” vY ya “-“)aєaрэdakэ kimi daha yaxєэ yadda qalэr:

µ §


2.Dцrd tYrtibli determinantэ sYtir vY ya sьtununa рцrY aзarkYn µ § toplananlarэnэn qarєэsэndakэ iєarYlYri(“+” vY ya “-“)aєaрэdakэ kimi daha yaxєэ yadda qalэr:

µ §


3. Analoji olaraq µ § tYrtibli determinantlarэ hesablayarkYn iєarYlYr aєaрэdakэ kimi qoyulur(“єahmat” sэrasэ ilY soldan yuxarэda “+” iєarYsi qoyulur vY s.)

µ §


Matrisin ranqэ

µ § цlзьlь (1) matrisinY baxaq. Bu matrisin elementlYrindYn dьzYldilmiє Ysas determinantda ixtiyari µ § sYtir vY ixtiyari µ § sьtunun ьstьndYn xYtt зYkYk. SYtir vY sьtunlarэn kYsiєmYsindY duran elementlYrin YmYlY gYtirdiyi determinant Ysas determinantэnµ § tYrtibli minoru adlanэr.

µ § matrisinin ranqэ onun sэfэrdan fYrqli minorunun Yn yьksYk tYrtibinY deyilir. µ § ilY iєarY olunur. ЏgYr µ § matrisi µ § tYrtibli kvadrat matrisdirsY onun ranqэ µ § єYrtini цdYyir. Matrisin ranqэ ya haєiyYlYnYn minorlar ya da elementar зevirmYlYr vasitYsi ilY tapэlэr. Matrisin ranqэ termini tYnliklYr sisteminin hYllindY geniє istifadY olunur.TYnliklYr sistemindY dYyiєYnlYrin Ymsallarэndan dьzYldilmiє determinant sэfэrdan fYrqlidirsY belY sistem uyuєan sistem, determinant sэfra bYrabYr olarsa uyuєmayan sistem adlanэr.

Kroneker-Kapelli teoremi. Tutaq ki.

µ §

tYnliklYr sistemi verilmiєdir.



(1) tYnliklYr sisteminin µ § matrisinY vY geniєlYndirilmiє µ § matrisinY baxaq:

µ §


(1) sistemi yalnэz vY yalnэz o zaman uyuєandэr ki, sistemin Ysas matrisinin ranqэ onun geniєlYndirilmiє matrisinin ranqэna bYrabYr olsun; yYni µ § . ЏgYr matrisin ranqэ µ § olarsa sistemin hYlli yeganYdir. µ § olarsa sistemin sonsuz sayda hYlli vardэr.

Эsbatэ. ЄYrtin zYruriliyi. Tutaq ki, (1) sistemi uyuєandir vY onun µ §, µ §,

µ § kimi hYlli vardэr. GцstYrYk ki, onda µ § olmalэdэr.

µ § hYllini sistemdY uyрun mYchullarэn yerinY yazsaq, aydэndэr kэ, sistemin hYr bir tYnliyi цdYnilYr vY aєaрэdakэ eyniliklYr alэnar:

µ §

(2) bYrabYrliklYrindYn gцrьndьyь kimi µ § matrisinin axэrэncэ sьtunu (єaquli vektoru) µ § matrisinin sьtunlarэnэn ( єaquli vektorlarэnэn) xYtti kombinasiyasэdэr,



yYni µ § vektoru µ §

........, µ § vektorlarэ ilY

µ §

kimi xYtti ifadY olunmuєdur. Bilirik ki, bu halda µ § sistemi ilY



µ § sistemlYrinin ranqlarэ eynidir. DemYli, µ § vY µ § matrislYrinin ranqlarэ da eyni olmalэdэr: µ §.

ЄYrtin kafiliyi. Indi fYrz edYk ki. µ §. GцstYrYk ki, sistem birgYdir. µ § vY µ § matrislYrinin ranqlarэnэn bYrabYrliyindYn alэnэr ki, µ §-nэn xYtti asэlэ olmayan maksimal sayda sьtunlar sistemi eyni zamanda µ § ьзьn dY xYtti asэlэ olmayan maksimal sьtunlar sistemidir. Зьnki µ §-nэn bьtьn sьtunlarэ eyni zamanda µ §-nin dY sьtunlarэdэr. Onda µ § matrisinin axэrэncэ sьtunu bu sistem vasitYsi ilY xYtti ifadY olunmalэdэr. DemYli µ § sayda µ § YdYdlYri vardэr ki, bu Ymsallarэn kцmYyi ilY µ § matrisinin axэrэncэ sьtunu , yYni µ § єaquli vektoru qalan sьtunlar vasitYsi ilY(yYni µ § єaquli vektorlarэ ilY ) (3) єYklindY xYtti ifadY olunur (xYtti asэlэ olmayan maksimal sistemdY iєtirak etmYyYn sьtunlarэ da sэfэr Ymsallarэn kцmYyi ilY bu cYmY YlavY edirik). Buradan isY (2) eyniliklYri alэnэr ki, bu da µ § YdYdlYrinin (1) sisteminin hYlli olduрunu gцstYrir. DemYli µ § olduqda (1) sisteminin hYlli vardэr. Teorem isbat olundu.

Mцvzu2

n mYchullu n xYtti tYnliklYr sisteminin Kramer, Haus ьsulu ilY hYlli.



1. XYtti tYnliklYr sisteminin Kramer ьsulu ilY hYlli

2. Ьз dYyiєYnli iki tYnlikli bircins tYnliklYr sisteminin hYlli.

3. Hauss ьsulu

XYtti tYnliklYr sisteminin Kramer ьsulu ilY hYlli

XYtti cYbri tYnliklYr sisteminin determinantlar ьsulu ilY hYllini ilk dYfY 1751-ci ildY ЭsveзrY alimi Qabriyel Kramer irYli sьrmьєdьr.

Tutaq ki, kvadrat xYtti tYnliklYr sistemi ( yYni µ § mYchullu µ § tYnlik) verilmiєdir:

µ §

vY Ysas matrisin determinantэ sэfэrdan fYrqlidir:



µ §µ § (2)

Tutaq ki, µ § (1) sisteminin hYr hansэ bir hYllidir. Onda (1) bYrabYrliklYrini uyрun olaraq Ysas matrisin determinantэnэn hYr hansэ sьtunun µ § elementlYrinin µ §µ § cYbri tamamlayэcэlarэna vurub vY sonra alэnan bYrabYrliklYri toplasaq alarэq:

µ §

Burada i sьtun elementlYrinin µ § sьtun elementlYrinin uyрun cYbri tamamlayэcэlarэna hasillYrinin cYmi µ § olduqda sэfra vY µ § olduqda determinanta bYrabYr olmasэnэ nYzYrY alsaq son bYrabYrlikdYn alarэq



µ § (3)

Џsas matrisin determinantэndan µ § sьtununu µ § sabit hYdlYr sьtunu ilY YvYz etmYklY (-nэn bьtьn baєqa elementlYrini saxlamaq єYrti ilY) alэnan determinantэ µ § ilY iєarY edYk. Qeyd edYk ki, (3)-ьn saр tYrYfindY elY hYmin µ § determinantэ durur vY bu bYrabYrlik aєaрэdakэ єYklY dьєYr:

µ § (4)

Џsas matrisin determinantэ sэfэrdan fYrqli olduрundan (4) bYrabYrliklYri aєaрэdakэ nisbYtlYrY ekvivalentdirlYr:



µ §

BelYliklY, Ysas matrisinin (2) determinantэ sэfэrdan fYrqli olan (1) sisteminin

µ § hYllYri birqiymYtli olaraq (5) dьsturlarэ vasitYsilY tYyin olunur. Bu dьsturlar Kramer dьsturlarэ adlanэr.

Ьз dYyiєYnli iki tYnlikli bircins tYnliklYr sisteminin hYlli.

ЏgYr tYnliklYr sistemindY sYrbYst hYdd sэfra bYrabYrdirsY hYmin sistem bircins adlanэr. Aєaрэdakэ bircins sistemY baxaq:

µ § (1)


µ § (2)

Bu zaman aєaрэdakэ hallar ola bilYr.

I hal. Џmsallar mьtYnasib deyil, yYni

µ § (3)


Determinantlarэndan heз olmasa biri sэfэrdan fYrqlidir. Onda sistemin hYlli belY olur:

µ §-µ §YdYddir (4)

II hal. Џmsallar mьtYnasibdir, yYni (3) determinantlarэnэn hamэsэ sэfra bYrabYrdir. Onda sistem bir tYnliyY gYtirilir ( mьstYvilYr ьst-ьstY dьєьr).

Ьз dYyiєYnli ьз tYnlikli sistemin hYlli

I hal. µ § Onda sistemin Kramer dьsturlarэ ilY tYyin olunan yeganY hYlli vardэr:

µ §


II hal. µ § olarsa sistemin hYlli yoxdur.

III hal. µ §. Bu zaman tYnliklYrdYn biri baєqa ikisinin nYticYsidir. Bu zaman sistem ьз dYyiєYnli tэnliklYr sisteminY gYtirilir.

Misal. µ § tYnliklYr sistemini Kramer ьsulu ilY hYll edin.

HYlli. Sistemin baє determinantэnэ tYrtib edYk.

µ §

Birinci sьtunun bьtьn elementlYrini 2-yY vuraq vY alэnmэє hasillYri ikinci sьtunun uyрun elementlYri ilY toplayaq, sonra birinci sьtunun bьtьn elementlYrini -1-Y vuraq vY nYticYni ьзьncь sьtunun uyрun elementlYri ilY toplayaq. NYticYdY birinci sYtrinin iki elementi sэfэr olan determinant alэrэq.



µ §

µ § olduрundan verilmiє sistemin yeganY hYlli vardэr. Эndi kцmYkзi µ § determinantlarэnэ hesablayaq.

µ §

µ §


µ §

Kramer dьsturlarэnэ tYtbiq edYrYk alэrэq:

µ §

Hauss ьsulu



Karl Fridrix Hauss ( 1777-1855) alman riyaziyyatзэsэ

TYnliklYr sisteminin hYlli zamanэ Kramer dьsturlarэndan istifadY edYrkYn зoxlu hesablamalar aparmaq lazэm gYlэr. TYnliklYr sisteminin hYlli zamanэ dYyiєYnlYrin ardэcэl yox edilmYsi ьsulu- Hauss ьsulundan da istifadY edilir.

Tutaq ki, kvadrat xYtti tYnliklYr sistemi verilmlєdir:

µ §


Bu sistemin hYlli ьзьn istifadY edilYn Hauss ьsulunun mahiyyYti aєaрэdakэ kimidir. Tutaq ki, µ § Onda sistemin birinci tYnliyinin hYr iki tYrYfini

µ §


YdYdinY vuraraq alэnan

µ §


tYnliyini sistemin ikinci tYnliyindYn tYrYf-tYrYfY зэxaq. Aldэрэmэz tYnlikdY µ § mYchulu iєtirak etmir:

µ §


Sonra sistemin birinci tYnliyinin hYr iki tYrYfini

µ §


YdYdinY vuraraq alэnan tYnliyi sistemin ьзьncь tYnliyindYn tYrYf-tYrYfY зэxaq. Bu mьhakimYni ardэcэl tYtbiq etmYklY (1) sistemini

µ § (2)


єYklindY sistemY gYtirmYk olar. Aldэрэmэz yeni sistemin ikinci, ьзьncь vY s. tYnliklYrindYn istifadY etmYklY yuxarэda gцstYrdiyimiz ьsulla µ § mYchulunu da yox etmYk olar. Bu mьhakimYni ardэcэl olaraq tYtbiq etmYklY (1) sistemini ona ekvivalent olan

µ § (3)


tYnliklYr sisteminY gYtirmYk olar. (3) sisteminY pillYvari ( vY ya pillYlYr єYklindY) sistem deyilir. Sonuncu tYnlikdYn µ § mYchulu tapэlэr, sonra yuxarэ qalxaraq µ § vY bu qayda ilY davam edYrYk birinci tYnlikdYn µ § mYchulunu taparэq. Hauss ьsulu ilY hYll edYrkYn tYnliklYr ьzYrindY aparэlan YmYllYri bYzYn onlarэn Ymsallarэndan dьzYlmiє

µ §


matrisi ьzYrindY aparmaq daha mьnasib olar. BelY matris geniєlYnmiє matris adlanэr.

Mэsal 1. Aєaрэdakэ tYnliklYr sistemini Hauss ьsulu ilY hYll edin.

µ §

Sistemin geniєlYndirilmiє matrisini dьzYldYk:



µ §

µ § .


BelYliklY verilmiє sistem aєaрэdakэ єYklY gYlir:

µ §


Buradan alэrэq: µ §

Misal 2. µ § tYnliklYr sistemini Hauss ьsulu ilY hYll edin.

HYlli. GeniєlYndirilmiє matrisi tYrtib edYk:

µ §


µ §

Sistem aєaрэdakэ єYklY dьєYr:

µ §.

Mцvzu№3


TYrs matris. n mYchullu n xYtti tYnliklYr sisteminin tYrs matris ьsulu ilY hYlli.

XYtti tYnliklYr sisteminin matris ьsulu ilY hYlli

Tutaq ki, µ § mYchullu µ § xYtti tYnliklYr sistemi verilmiєdir:

µ §


vY mYchullarэn Ymsallarэndan dьzYldilmiє Ysas matrisin

µ §


determinantэ sэfэrdan fYrqlidir: µ § sistemini ona ekvivalent olan matris tYnliyi ilY YvYz edYk

µ §


Burada µ §sistemin Ysas matrisi, µ § vY B isY sьtun matrislYrdir

µ §


ЏgYr µ § matrisinin determinantэ sэfэrdan fYrqli olarsa onun µ § tYrs matrisi var.Verilmiє matrisi tYrs matrisY vurduqda vahid matris alэnэnr: µ § Tutaq ki, (1) sisteminin hYlli var , yYni (3) matris tYnliyini eyniliyY зevirYn µ § sьtunu vardэr. (3) tYnliyinin hYr iki tYrYfini soldan µ § matrisinY vursaq alarэq

µ §


Buradan ьз matrisin hasilinin xassYsini vY µ § (burada µ §vahid matrisdir) olduрunu nYzYrY alsaq onda

µ §


NYticYdY (4) dьsturundan alarэq ki,

µ §


BelYliklY isbat etdik ki, (3) matris tYnliyinin hYlli varsa, onda o (5) mьnasibYti ilY birqiymYtli tYyin olunur.

Asanlэqla yoxlamaq olar kэ, (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYn µ § sьtunu doрrudan da (3) matris tYnliyinin hYllidir, yYni bu tYnliyi eyniliyY зevirir. Doрrudan da YgYr µ § matrisi (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYrsY , onda

µ §

DemYli, YgYr µ § olarsa, onda (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYn (3) matris tYnliyinin yeganY hYlli vardэr.



TYnliklYrin sayэ dYyiєYnlYrin sayэna bYrabYr olduqda matrislYr ьsulunu tYtbiq etmYk mьmkьn olur. Bu ьsul tYrtibi зox yьksYk olmayan tYnliklYr sistemi ьзьn Ylveriєlidir.

Misal. Aєaрэdakэ tYnliklYr sistemini tYrs matris ьsulu ilY hYll edin.

µ §

µ §


µ § tYrs matrisini tapaq.

µ §


µ §

µ §


µ §

µ §


µ §

Cavab: µ §

Mцvzu 4.

Vektorlar ьzYrindY YmYllYr, skalyar hasil.

Џsas anlayэєlar. Vektorun ox ьzrY proyeksiyasэ.

Proyeksiyalarэ ilY verilmiє vektorlar ьzYrindY YmYllYr.

Vektorlarэn skalyar hasili, onlarэn xassYlYri.

Vektorlarэn skalyar hasэlэnin fiziki mYnasэ

Skalyar vY vektorial kYmiyyYtlYr

ЏdYdi qiymYtlYri ilY tYyin olunan kYmiyyYtlYrY skalyar kYmiyyYtlYr deyilir. MYsYlYn parзanэn uzunluрu, fiqurun sahYsi, cismin hYcmi, zaman, temperatur, elektrik tutumu vY s. ЏdYdi qiymYtlYrindYn baєqa istiqamYti olan kYmiyyYtlYrY vektorial kYmiyyYtlYr deyilir. Vektorial kYmiyyYtlYrY misal olaraq qьvvY, sьrYt, tYcil, elektrik vY ya maqnit sahYsinin gYrginliyi vY s. gцstYrmYk olar. ЭstiqamYtlYnmiє dьz xYtt parзasэna vektor deyilir. Vektoru µ §vY ya µ § ilY iєarYedirlYr. Baєlanрэcэ vY sonu ьst-ьstY dьєYn vektorlara sэfэr vektorlar deyilir. ЭstiqamYtlYnmiє parзanэn uzunluрuna vektorun modulu deyilir.

Kollinear vektorlar

Bir dьz xYttY paralel olan vektorlara kollinear vektorlar deyilir. Kollinear vektorlar ya paraleldir ya da bir dьz xYtt ьzYrindY yerlYєir. ЏgYr µ §vektoru µ § vektoruna kollineardэrsa µ § yazэrlar. ЏgYr vektorlar kollineardэrsa, bYrabYr modullarэ vY eyni istiqamYtlYri varsa hYmin vektorlar bYrabYr vektorlar adlanэr. Bьtьn sэfэr vektorlar bYrabYrdir. ЏgYr iki vektorun bYrabYr modullarэ varsa, kollineardэrsa vY Yks istiqamYtlYrY yцnYlmiєsY Yks iєarYli vektorlar adlanэr. HYr bir µ § vektorunun Yks istiqamYtli µ § vektoru vardэr.

µ § , µ §

Vektorun ox ьzrY proyeksiyasэ

Tutaq ki, fYzada µ §vektoru vY hYr hansэ µ § nцqtYsi verilmiєdir. µ § nцqtYsindYn µ §vektoruna perpendikulyar olan µ § mьstYvisi keзirYk. µ § mьstYvisinin µ §oxu ilY kYsiєmYsindYn alэnan µ § nцqtYsi µ § nцqtYsinin µ §oxu ьzrY proyeksiyasэ adlanэr. ЏgYr µ § nцqtYsi oxun ьzYrindY yerlYєYrsY onda onun proyeksiyasэ µ § ilY ьst-ьstY dьєьr.

Tutaq ki, µ §oxu vY µ §vektoru verilmiєdir. µ § nцqtYsi µ § nцqtYsinin µ §oxu ьzrY proyeksiyasэ , µ § nцqtYsi isY µ § nцqtYsinin µ §oxu ьzrY proyeksiyasэdэr. µ § vektorunun µ §oxu ьzrY proyeksiyasэ µ § vektorudur. µ § vektorunun µ §oxu ьzrY meyl bucaрэ µ § vektoru ilY µ §oxu arasэndakэ bucaqdэr µ §. µ § vektoru µ §oxu ilY iti bucaq YmYlY gYtirirsY onun ox ьzrY proyeksiyasэ mьsbYtdir, µ § ; µ § vektoru µ §oxu ilY kor bucaq YmYlY gYtirirsY onun ox ьzrY proyeksiyasэ mYnfidir, µ §.

Teorem 1. Vektorun ox ьzrY proyeksiyasэ onun uzunluрu ilY vektor vY onun mьsbYt istiqamYti arasэndakэ bucaрэn kosinusu hasilinY bYrabYrdir.

µ §


Эsbatэ. Tutaq ki, µ § vektoru µ §oxu ilY µ § bucaрэ YmYlY gYtirir. ЏgYr µ § bucaрэ bucaрэ iti bucaqdэrsa onda µ §-dYn µ §

ЏgYr µ § bucaрэ kordursa,µ § onda µ § vektorunun µ § ьzrY proyeksiyasэ mYnfidir.

µ §

µ § olduрundan onun bu ox ьzrY proyeksiyasэ sэfra bYrabYrdir; µ §



ЏgYr µ §vY onlarэn istiqamYtlYri Yks iєarYlidirsY µ §

µ §


BelYliklY istYnilYn halda

µ §


Teorem 2. Эki vektorun cYminin ox ьzrY proyeksiyasэ bu vektorlarэn proyeksiyalarэ cYminY bYrabYrdir.

µ §


ЭstiqamYtlYndirici kosinuslar

Tutaq ki, ixtiyari µ §vektoru µ § vY µ § oxlarэnэn mьsbYt istiqamYtlYri ilY uyрun olaraq µ § bucaqlarэ YmYlY gYtirir. ЏgYr µ § vektorunu koordinat baєlanрэcэna tYtbiq etsYk, alэrэq:

µ §

µ § bucaqlarэ µ § istiqamYtlYndirici vektorlarэ adlanэr.



(1) bYrabYrliyinin saр vY sol tYrYflYrini kvadrata yьksYldib sonra isY cYmlYyYrYk alэrэq:

µ §


vY ya

µ §(2)


(2) bYrabYrliyinin saр vY sol tYrYfinlYri bYrabYr olduрundan alэrэq:

µ §


BelYliklY fYzada ixtiyari vektorun istiqamYtlYndirici kosinuslarэnэn kvadratlarэ cYmi vahidY bYrabYrdir.

Vektorlarэn skalyar hasili

TYrif. µ § vY µ § vektorlarэnэn uzunluqlarэ ilY onlar arasэnda qalan bucaрэn kosinusu hasilinY onlarэn skalyar hasili deyilir. µ § vY µ § vektorlarэnэn skalyar hasili µ § ilY iєarY edilir.

µ §


µ § vY µ § vektorlarэnэn skalyar hasilini µ § vY ya µ § (2) kimi dY yazmaq olar. (1) dьsturundan зэxэr ki, µ § bucaрэ iti olduqda µ § bucaрэ kor olduqda µ § vY µ § vektorlarэ perpendikulyar olduqda µ § Vektorlarэn skalyar hasilinin aєaрэdakэ xassYlYri var:

YerdYyiєmY µ § (3)



Dostları ilə paylaş:
  1   2   3   4   5   6
Orklarla döyüş:

Google Play'də əldə edin


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə