Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

Sizin üçün oyun:

Google Play'də əldə edin


Yüklə 0.61 Mb.
səhifə6/6
tarix20.05.2018
ölçüsü0.61 Mb.
1   2   3   4   5   6

1.µ §ni µ §-dan µ §-yadYk dYyiєdэkdY µ §nin qiymYti µ §-dYn kYnara зэxmэr.

2.µ § Onda

µ §


(1)-i isbat etmYk ьзьn µ §-in ibtidai funksiyasэ olduqda µ §YvYzlYmYsini aparaq.µ § MьrYkkYb funksiyanэn diferensiallanmasэ qaydasэndan istifadY edYrYk alэrэq:

µ § HYqiqYtYn dY

µ §-nin ibtidai funksiyasэdэr. Buradan Nyuton-Leybnis dьsturu Ysasэnda alэrэq:

µ §


µ § Эsbat olundu.

Mцvzu19


MьYyyYn inteqralэn hYndYsi vY fiziki tYtbiqlYri

1.Џyri qцvsьnьn uzunluрu

2. Fэrlanma cisimlYrinin hYcmi

3. MьYyyYn inteqralэn fiziki(mexaniki) tYtbiqlYri

Џyri qцvsьnьn uzunluрu

Tutaq ki, dьzbucaqlэ koordinat sistemindY µ § tYnliyi ilY verilmiє µ § Yyrisi verilmiєdir. µ § qцvsьnьn uzunluрu aєaрэdakэ dьsturla hesablanэr.

µ §
µ § nцqtYlYri ilY µ § parзasэnэ µ § hissYyY bцlYk. Tutaq ki, bu nцqtYlYrY uyрun olaraq µ § Yyrisi ьzYrindY µ § nцqtYlYri uyрundur. Uzunluqlarэ uyрun olaraq µ § olan µ §vYtYrlYri зYkYk. Bu zamanµ § sэnэq xYttini alэrэq. Bu sэnэq xYttin uzunluрu

µ §dьsturu ilY hesablanэr. Pifaqor teoreminY gцrY µ § qцvsьnьn uzunluрu

µ § burada µ §

Laqranjэn sonlu artэm haqqэndakэ teoreminY gцrY µ §. Ona gцrY dY

µ §

Bьtьn µ § sэnэq xYttinin uzuluрu isY



µ §

µ § qцvsьnьn uzunluрu tYrifY YsasYn

µ §

µ § olduqda µ §; µ §



µ § funksiyasэ kYsilmYz olduрundan µ §

HYqiqYtYn dY (3) inteqral cYminin µ § olduqda limiti var:

µ §

BelYliklY


µ §

Tutaq ki, mьstYvidY Yyri µ § vY ya µ § dьsturu ilY verilmiєdir. Џyrinin ьzYrindY koordinatlarэ µ §,µ § olan nцqtYlYr verilmiєdir. µ § nцqtYsindYn µ § nцqtYsinYdYk Yyri qцvsьnьn µ § uzunluрu aєaрэdakэ dьsturdan hesablanэr:

µ §

µ §


ЏgYr Yyri parametrik єYkildY verilmiєdirsY, µ §

µ §


ЏgYr Yyri polyar koordinatlarda verilmiєdirsY, µ §

µ §


Fэrlanma cisimlYrinin hYcmi

µ § YyrixYtli trapesiyasэnэn µ § oxu boyunca fэrlanmasindan alэnan cismin hYcmi; µ § Yyrisinin qцvsьdьr,

µ §

HYcm dYyiєYninin diferensialэ µ §



µ § YyrixYtli trapesiyasэnэn µ § oxu boyunca fэrlanmasindan alэnan cismin hYcmi; µ § Yyrisinin qцvsьdьr,

µ §


MьYyyYn inteqralэn fiziki(mexaniki) tYtbiqlYri

a) µ § sьrYti ilY µ § zamanэnda hYrYkYt edYn cismin getdiyi yol

µ §

dьsturu ilY ifadY olunur.



b) DYyiєYn qьvvYnin iєi. µ § oxu boyunca µ § parзasэnda µ § dьsturu ilY verilmiє dYyiєYn qьvvYnin iєi aєaрэdakэ inteqrala bYrabYrdir:

µ §


c) Paskal qanununa gцrY horizontal lцvhYdYki mayeyY edilYn tYzyiq

yYni µ §-sYrbYst dьєmY tYcili, µ §- mayenin sэxlэрэ ,µ §-lцvhYnin sahYsi, µ §-lцvhYdYki mayenin dYrinliyidir.

µ § vY µ § xYtlYri ilY mYhdudlanmэє єaquli lцvhYyY edilYn tYzyiq aєaрэdakэ dьsturdan tapэlэr (єYk)

µ §


d)Koordinat oxlarэna nYzYrYn statik momentlYr YtalYt momentlYri vY qцvsьn aрэrlэq mYrkYzinin koordinatэ (µ §)

µ §


µ §

µ §- qцvsьn diferensialэdэr.

µ §

( burada µ § vY µ § - aрэrlэq mYrkYzinin koordinatlarэ, µ §- Yyrinin kьtlYsi.)



Misal1.Avtobus 1m/san2 tYcili ilY hYrYkYt etmYyY baєlayэr. HYrYkYt baєlayandan 12san. sonra avtobus nY qYdYr mYsafY yol gedYr.

Avtobusun hYrYkYt sьrYti µ § m/san. (5) dьsturuna YsasYn

µ §m.

Misal2.20N-luq qьvvY yayэ 5sm. uzadэrsa yayэ 10sm.uzatmaq ьзьn hansэ iєi gцrmYk lazэmdэr.



Hьk qanununa gцrY µ §mьtYnasiblik Ymsalэdэr. ЄYrtY gцrY

µ §m. µ §

Axtarэlan iє (6) dьsturuna YsasYn

µ §


Misal. µ § vY µ § xYtlYriilY hьdudlanmэє fiqurun sahYsini hesablayэn.

Bu xYtlYri зYkYk.(єYk2) vY onlarэn kYsiєmY nцqtYsinin koordinatlarэnэ

µ § tYnliyindYn tapaq. Bu tYnliyi hYll edYrYk µ § vY µ § taparэq. Axtarэlan sahY µ § YyrixYtli trapesiyasэnэn sahYsi ilY µ § ьзbucaрэnэn sahYsinin fYrqi kimi tapэla bilYr. Nyuton-Leybnis dьsturuna YsasYn alэrэq:

µ §


µ §

µ §


BelYliklY, єtrixlYnmiє fiqurun sahYsi

µ §


Mцvzu20

MьYyyYn inteqralэn tYqribi hesablama ьsullarэ

1.Dьzbucaqlэlar dьsturu

2.Trapesiyalar dьsturu

3.Simpson dьsturu

Dьzbucaqlэlar dьsturu

Tutaq ki. µ § parзasэnda kYsilmYz µ § funksiyasэ verilmiєdir. ЏyrixYtli trapesiyanэn sahYsini µ § inteqralэnэ hesablamaq tYlYb olunur.Bu trapesiyanэn oturacaрэnэ yYni µ § parзasэnэ µ § nцqtYlYri ilY uzunluqlarэ µ § olan bYrabYr µ § hissYlYrinY(parзalarэna) bцlYk.BelY parзanэn hYr bir nцqtYsindY yYni: µ § -dY µ § ordinatэnэ quraq.

Onda bьtьn n sayda dьzbucaqlэlarэn sahYsi pillYvari fiqurun sahYsidir vY o axtarэlan mьYyyYn inteqralэn tYqribi qiymYtidir:

µ §

(1) dьsturu dьzbucaqlэlar dьsturu adlanэr. (1) tYxmini bYrabYrliyinin mьtlYq xYtasэ aєaрэdakэ dьsturla qiymYtlYndirilir:



µ §, burada µ § -µ §-in µ § parзasэnda Yn bцyuk qiymYtidir.

µ §


Trapesiyalar dьsturu

Trapesiyalar dьsturunu dьzbucaqlэlar dьsturuna analiji olaraq alэrlar.µ § parзasэnэ µ § nцqtYlYri ilY uzunluqlarэ µ § olan bYrabYr µ § hissYlYrinY(parзalarэna) bцlYk.Tutaq ki.

µ § funksiya qrafikinin absislYrY uyрun nцqtYlYridir.

µ §


vY ya

µ §


(2) dьsturu trapesiyalar dьsturu adlanэr.

(2) tYxmini bYrabYrliyinin mьtlYq xYtasэ aєaрэdakэ dьsturla qiymYtlYndirilir:

µ §, burada µ § -µ §-in µ § parзasэnda Yn bцyuk qiymYtidir.

Simpson dьsturu

ЏvvYlcY YyrixYtli trapesiyanэn µ § sahYsini tapaq. Bu YyrixYtli trapesiya yuxarэdan

µ § parabolasэ, yanlardan µ § dьz xYtlYri ilY, aєaрэdan isY µ § parзasэ ilY mYhduddur.Tutaq ki, parabola µ § nцqtYlYrindYn keзir; burada µ §-parabolanэn µ § nцqtYsindYki ordinatэ; µ §-parabolanэn µ § nцqtYsindYki ordinatэ;µ §-parabolanэn µ § nцqtYsindYki ordinatэdэr.

µ §

Bu sahYni µ § ilY ifadY edYk.



µ §

c vY a-nэn qiymYtlYrini (3)-dY yerinY qoyaraq alэrэq:

µ §

µ §


Эndi µ § inteqralэnэ hesablamaq ьзьn Simpson dьsturunu alaq.

Bunun ьзьn µ § parзasэnэ µ § nцqtYlYri ilY uzunluqlarэ µ § olan bYrabYr hissYlYrY bцlYk.

µ § bцlьnmY nцqtYlYrindY inteqralaltэ µ § funksiyasэnэn µ § qiymYtlYrini hesablayaq. HYr bir qonєu YyrixYtli trapesiyalar cьtlьyьnь oturacaрэ µ § olan bir elementar parabolik trapesiya ilY YvYz edYk.µ § parзasэnda parabola ьз nцqtYdYn :µ § keзir.(4)-dYn istifadY edYrYk alэrэq:

µ §


Analoji olaraq

µ §


µ §

Alэnmэє bYrabYrliklYri toplayaraq alэrэq:

µ §

(5)


(5) dьsturu Simpson(parabolalar) dьsturu adlanэr.

(5) dьsturu ilY hesablanmэє mьtlYq xYta aєaрэdakэ dьsturla hesablanэr:

µ §

Misal 1.µ § inteqralэnэ µ § parзasэnэ 4 hissYyY bцlYrYk hesablayэn.



HYlli. µ §olduрundan

µ §


µ §

µ §


dьzbucaqlэlar dьsturuna YsasYn:

µ §


µ §

µ §


yYni,µ §

b)trapesiyalar dьsturuna YsasYn:

µ §

yYni,µ §


c)Simpson dьsturuna YsasYn:

µ §


yYni,µ §

Эnteqralэn dYqiq qiymYti µ §

Dьsturlarэn uyрun mьtlYq xYtalarэ belYdir: a)0,125; b)0,25; c)0.

Mцvzu21


ЗoxdYyiєYnli funksiya anlayэєэ vY onun hYndYsi mYnasэ. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn limiti vY kYsilmYzliyi. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYri

1. ЗoxdYyiєYnli funksiya anlayэєэ vY onun hYndYsi mYnasэ

2. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn limiti vY kYsilmYzliyi.

3. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYri

HYndYsYnin bir зox mYsYlYlYrindY,tYbiYt hadisYlYri vY s.iki,ьз vY s.dYyiєYnlYrdYn asэlэ funksiyalardan istifadY etmYk lazэm gYlir.

Misal1. Ьзbucaрэn sahYsi µ §oturacaq, y-hьndьrlьk 2 dYyэєYndYn asэlэdэr.

Misal 2. Sferanэn tYnliyini µ §Y gцrY hYll edYrYk alэrэq:

Z=µ §;xµ § burada z, x vY y-dYn aslэdэr.

Misal3. KYsik konusun hYcmi µ § 3 dYyiєYndYn asэlэdэr.

Misal 4. Silindrin tam sYthinin sahYsiµ § 2 dYyiєYndYn asэlэdэr.

TYrif 1. ЏgYr D dYyiєmY oblastэndan gцtьrьlmьє bir-birindYn asэlэ olmayan iki x vY y dYyiєYn kYmiyyYtinin hYr bir (x, y) qiymYtlYr cьtьnY z kYmiyyYtin mьYyyYn bir qiymYti uyрun olarsa onda deyirik ki,µ § z kYmiyyYti µ § vY µ § sYrbYst dYyiєYnlYrinin funksiyasэdэr vY D oblastэnda tYyin olunmuєdur.

Эki dYyiєYnin funksiyasэ simvolik olaraq belY iєarY olunur:


µ §, µ § vY s.

ЭkidYyiєYnli funksiya cYdvYl vasitYsi ilY vY ya analitik єYkildY ЁC dьstur vasitYsi ilY verilY bilYr. BirdYyiєYnli funksiyada olduрu kimi, ikidYyiєYnli funksiya da x vY y arqumentlYrinin, ьmumiyyYtlY, bьtьn qiymYtlYrindY tYyin olunmur.

TYrif 2. x vY y dYyiєYnlYrinin µ § funksiyasэnэn tYyin olunduрu µ § qiymYtlYr cьtьnьn зoxluрuna bu funksiyanэn tYyin oblastэ vY ya varlэq oblastэ deyilir.

Funksiyanэn tYyin oblastэ hYndYsi olaraq belY tYsvir edilY bilYr. ЏgYrxvYy dYyiєYnlYrinin hYr bir qiymYtlYr cьtьnь OXY mьstYvisi ьzYrindY M (x, y) nцqtYsi kimi gцstYrsYk, onda funksiyanэn tYyin oblastэ mьstYvi nцqtYlYlrinin mьYyyYn bir зoxluрu YmYlY gYtirYr. HYmin bu nцqtYlYr зoxluрuna funksiyanэn tYyin oblastэ deyYcYyik. HYr hansэ oblastэ hьdudlandэran xYtt hYmin oblastэn sYrhYdi adlanэr. Oblastэn sYrhYdi ьzYrindY yerlYєmYyYn nцqtYlYrinY onun daxili nцqtYlYri deyilir.

ЭkidYyiєYnli funksiyanэn tYrifini ьз vY daha зox dYyiєYnin funk­siyasэ ьзьn dY asanlэqla ьmumilYєdirmYk olar.

TYrif 3. ЏgYr µ § dYyiєYnlYrinin baxэlan hYr bir qiymYtlYr зoxluрuna y dYyiєYninin mьYyyYn bir qiymYti uyрun olarsa, onda y kYmiyyYtinY µ § dYyiєYnlYrinin funksiyasэ deyilir vY µ §, yaxud µ § vY s. kimi iєarY edilir.

ЭkidYyiєYnli funksiyada olduрu kimi, ьз, dцrd vY daha зox dYyi­єYnli funksiyalarэn da tYyin oblastэndan danэєmaq olar. MYsYlYn, ьзdYyiєYnli funksiyanэn tYyin oblastэ µ § YdYdlYr ьзlьyьnьn mьYyyYn зoxluрu olur. Qeyd edYk ki, YdYdlYrin hYr bir ьзlьyь OXYZ fYzasэnэn bir µ § nцqtYsini tYyin edir.

ЭkidYyiєYnli funksiyanэn hYndYsi tYsviri.OXY mьstYvisindY yerlYєYn G oblastэnda tYyin olunmuє

µ § (1)

O

z



y

x

µ §



z

x

y



P

O

z



x

y

G



funksiyasэnэ vY OXYZ dьzbucaqlэ Dekart koordiniat sistemi gцtьrYk. G tYyin oblastэnэn hYr bir (x, y) nцqtYsindY OXY mьstYvisinY qaldэrэlmэє perpendikulyar ьzYrindY f(x, y) YdYdinY bYrabYr parзa ayэraq. Onda biz fYzada koordinatlarэ x, y, µ § olan P nцqtYsini alarэq (єYkil ).

Koordinatlarэ (1) tYnliyini цdYyYn P nцqtYlYrinin hYndYsi yerinY ikidYyiєYnli funksiyanэn qrafiki deyilir. (1) tYnliyi fYzada mьYyyYn bir sYthi tYyin edir. BelYliklY, ikidYyiєYnli funksiyanэn qrafiki sYthdYn ibarYtdir, bu sYthin OXY mьstYvisi ьzYrindYki proeksiyasэ funksiyanэn G tYyin oblastэ olur.

Ьз vY daha зox arqumetli funksiyalarэn fYzada qrafiklYrini Yyani tYsvir etmYk mьmkьn deyil.

ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYri

Tutaq ki, µ §ikidYyiєYnli funksiyasэ verilmiєdir. OXY mьstYvisinY paralel olan µ § mьstYvisinin µ § sYthini kYsdiyi PS xYttinY baxaq (єYkil ). Bu mьstYvi ьzYrindY y qiymYtini sabit saxladэрэ ьзьn, PS xYtti boyunca µ § -in dYyiєmYsi ancaq x-in dYyiєmYsindYn asэlэ olar. x sYrbYst dYyiєYninY ѓґx artэmэ versYk onda µ § uyрun artэm alar. Bu artэma µ § funksiyasэnэn x arqumentinY gцrY xьsusi artэmэ deyilir vY µ § ilY iєarY edilir, belY ki,

µ §. (1)


Analoji olaraq, x-in qiymYti sabit qalmaqla y dYyiєYrsY, onda z funksiyanэn aldэрэ artэma funksiyanэn y arqumentinY gцrY xьsusi artэmэ deyilir. Bu artэmэ µ § simvolu ilY iєarY edirlYr:

µ §. (2)


Funksiya цz µ § xьsusi artэmэnэ µ § sYthi ilY OYZ mьstYvisinY paralel olan x=const mьstYvisinin kYsiєdiyi “xYtt boyunca” alэr.

S„S


ѓґxz

S

P



O

ѓґz


z

y

y



ѓґy

ѓґx


x

x

NYhayYt, x arqumentinY ѓґx artэmэnэ, y arqumentinY isY ѓґy artэmэnэ vermYklY z ьзьn yeni µ § artэmэnэ alarэq. Bu artэm funksiyanэn tam artэmэ adlanэr vY



µ § (3)

bYrabYrliyi ilY tYyin olunur.

ЬmumiyyYtlY, tam artэm xьsusi artэmlarэn cYminY bYrabYr deyil, yYni

µ §


Misal. µ § 2-dYn 2,2-yY qYdYr , y: - 1-dYn 0,9-a qYdYr qiymYt aldэqda

µ § funksiyasэnэn tam artэmэnэ tapэn.

µ §

µ §


µ §

µ §


ЭstYnilYn sayda dYyiєYn kYmiyyYtin funksiyasэnэn xьsusi vY tam artэmlarэ oxєar qayda ilY tYyin olunur.

Зox mьhьm olan kцmYkзi bir anlayэєэ ЁC nцqtYnin Ytrafэ anlayэєэ verYk. MYrkYzi µ § nцqtYsindY olan r radiuslu dairYnin daxilindY yerlYєYn bьtьn nцqtYlYr зoxluрuna µ § nцqtYsinin r radiuslu Ytrafэ deyilir.

TYrif 1. ЏgYr µ § YdYdi ьзьn µ § YdYdi tapmaq olarsa ki, µ §bYrabYrsizliyinin цdYndiyi bьtьn µ § nцqtYlYri ьзьn

µ §


bYrabYrsizliyi doрru olsun, onda µ § YdYdinYµ § nцqtYsi µ § nцqtYsinY yaxэnlaєdэqda µ § funksiyasэnэn limiti deyilir vY belY iєarY edilir:

µ §


TYrif 2. Tutaq ki, µ §nцqtYsi µ §funksiyasэnэn tYyin oblastэna daxildir. ЏgYr µ § nцqtYsi istYnilYn qayda ilY µ §nцqtYsinY yaxэnlaєdэqda

µ §


olarsa, ondaµ § funksiyasэna µ § nцqtYsindY kYsilmYz funksiya deyilir.

Oblastэn bьtьn nцqtYlYrindY kYsilmYz funksiyaya hYmin oblastda kYsilmYz funksiya deyilir.

TYrif. µ §funksiyasэnэn x-Y gцrY µ § xьsusi artэmэnэn Dx artэmэna nisbYtini tYrtib edYk . Dx sэfra yaxэnlaєdэqda bu nisbYtin limitinY hYmin funksiyanэn x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmYsi deyilir. µ §funksiyanэn x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmYsini

µ §


simvollarэndan biri ilY iєarY etmYk olar. BelYliklY, tYrifY YsasYn

µ §


Oxєar qayda ilY µ § xьsusi artэmэnэn µ §-Y nisbYtinin µ § sэfra yaxэnlaєdэqda limitinY µ §funksiyasэnэn y-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmYsi deyilir vY

µ §


simvollarэndan biri ilY iєarY edilir. BelYliklY,

µ §


µ § artэmэnэ hesablayarkYn y-in, µ § -i hesablayarkYn isY x-in sabit saxlandэрэnэ nYzYrY alaraq, xьsusi tцrYmYlYrin tYrifini belY ver­mYk olar:

µ § funksiyasэnda y-i sabit fYrz edYrYk, x-Y nYzYrYn hesablanmэє tцrYmYyY x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmY deyilir. µ § funk­siyasэnda x-i sabit fYrz edYrYk y-Y nYzYrYn hesablanmэє tцrYmYyY y-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmY deyilir.

Bu qaydadan aydэndэr ki, зoxdYyiєYnli funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYrinin tapэlmasэ birdYyiєYnli funksiyanэn tцrYmYsinin tapэlmasэ qaydasэ kimidir, yalnэz yadda saxlamaq lazэmdэr ki, hansэ dYyiєYnY nYzYrYn tцrYmY alэnэr.

Tutaq ki, ikidYyiєYnli µ § funksiyasэ verilmiєdir. Ьmumiy­yYtlY desYk, µ § vY µ § xьsusi tцrYmYlYri x vY y kYmiyyYtlYrinin funksiyalarэdэr. Ona gцrY dY onlardan yenidYn xьsusi tцrYmYlYr almaq olar. DemYli, ikidYyiєYnli funksiyanэn ikitYrtibli xьsusi tцrYmYlYrinin sayэ dцrddьr, зьnki µ § vY µ §funksiyalarэndan hYr birini hYm x vY hYm dY y arqumetlYrinY nYzYrYn diferensiallamaq olar:µ §;µ §; µ § ЭkitYrtibli tцrYmYlYri dY yenY hYm x, hYm dY y-Y nYzYrYn diferensiallamaq olar. Onda ьзtYrtibli xьsusi tцrYmYlYr alarэq. Bunlarэn sayэ sYkkiz olar: µ § ЭstYnilYn n tYrtibli tцrYmY µ § tYrtibli tцrYmYnin birinci tцrYmYsidir.

Misal 1. µ § funksiyasэnэn xьsusi tцrYmYlYrinin tapэn.

HYlli.


µ §

µ §


µ §

Misal 2. µ §

HYlli. µ §

Mцvzu 22


ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn tam diferensiflэ, ekstremumu. Qradiyent, istiqamYtinY gцrY tцrYmY. Џn kiзik kvadratlar ьsulu

1.Tam diferensial

2.Ekstremum

3.Qradiyent,istiqamYtinY gцrY tцrYmY

4.ЭkidYyiєYnli funksiya ьзьn Teylor dьsturu

5.Џn kiзik kvadratlar ьsulu

Tam diferensial.

Tutaq ki, µ § funksiyasэ verilmiєdir. Bu funksiyanэn tam artэmэ

µ §

Verilmiє funksiyanэn µ §vY µ § nцqtYlYrindYki fYrqidir.



NцqtYlYr arasэndakэ fYrqi

µ §


ilY iєarY edYk.

µ § olduqda µ § vY µ §-dYn asэlэ olmayan µ § vY µ §kYmiyyYtlYrini elY seзYk ki, µ §ifadYsi µ § tam artэmэndan µ §

µ §-da µ § (1)

(1) ifadYsini baєqa єYkildY belY yaza bilYrik:

µ §

µ §


µ §

µ §-da yYni µ § vY µ §

µ §vY µ §

BirdYyiєYnli funksiyanэn diferensialэnэn tYrifini iki dYyiєYnli funksiya ьзьn ьmumilYєdirYrYk aєaрэdakэ tYriflYri alэrэq.

TYrif 1. Asэlэ olmayan dYyiєYnin diferensialэ bu dYyiєYnin artэmэdэr. YYni µ § vY µ §

TYrif 2. µ §funksiyasэnэn diferensialэ bu funksiyanэn tam artэmэnэn YsasxYtti hissYsidir.

Tamdiferensialэ µ §ilY iєarY etsYk alarэq:

µ §


µ § vY µ § vY µ § -dYnasэlэ deyil.

µ §


µ § vY µ § sonsuz kiзik kYmiyyYtlYrdir.

Tam diferensialэ olan funksiyaya diferensiallanan funksiya deyilir.

ЏgYr µ § funksiyasэ diferensiallanandэrsa bu funksiya kYsilmYzdir. HYqiqYtYn dY (2) dьsturunda µ § vY µ § limitY keзsYk

µ §


YYni µ § funksiyasэ kYsilmYzdir.

Misal.µ § funksiyasэnэn tam diferensialэnэ tapэn.

µ § funksiyasэna tYrYflYri µ § vY µ § olan dьzbucaqlэnэn sahYsi kimi baxa bilYrik.

µ § vY µ § tYrYflYrinY µ § vY µ § artэmlarэnэ verYk. onda

µ §

Bu artэmэn baє hissYsi tYrYflYri µ § vY µ § olan iki dьzbucaqlэdan ilbarYtdir. Onda



µ §

Teorem 1. Funksiyanэn tam diferensialэ onun bьtьn xьsusi tцrYmYlYrinin uyрun dYyiєYnlYrin diferensiallarэ hasilinin cYminY bYrabYrdir.

Isbatэ.Tutaq ki, µ § funksiyasэ diferensiallanandэr,

µ §


µ § vY µ § Ymsallarэnэ tYyin etmYk ьзьn funksiyanэn tam artэmэnэ yazaq:

µ §


Burada µ § vY µ § µ § vY µ § sonsuz kiзik kYmiyyYtdir.

(4) ЁCdY µ § qYbul etsYk

µ § xьsusi artэmэnэ alarэq.

µ §


µ § alarэq: µ §

Analoji olaraq (4) ЁCdY µ § qYbul etsYk,


µ §

BelYliklY, µ §

Bu qiymYtlYri (3) dьsturuna yazaraq vY µ §, µ § olduрunu nYzYrY alsaq:

µ §


Funksiyanэn diferensiallanmasэnэn kafi єYrti:

YgYr µ § funksiyasэnэn µ § vY µ §

kYsilmYz tцrYmYlYri varsa onda bu funksiya diferensiallanandэr vY onun tam diferensialэ (5) dьsturu ifadY olunur.

IstiqamYtinY gцrY tцrYmY vY funksiyanэn qradiyenti.

1°.Funksiyanэn istiqamYtinY gцrY tцrYmYsi. µ § funksiyasэnэn
µ §

istiqamYtindY tцrYmYsi.


µ §

burada µ § vY µ §

µ §funksiyasэnэnµ § vY µ § nцqtYlYrindYki qiymYtidir.

YgYr µ § funksiyasэ diferensiallanandэrsa, onda

µ §

µ § vektorunun µ § oxu ilY YmYlY gYtirdiyi bucaqdэr.



Analoji olaraq ьз arqumentli µ § funksiyasэ ьзьn

µ §


Buradaµ §, µ § vY µ § µ § vektoru ilY uyрun koordinat oxlarэ arasэndakэ bucaqdэr. IstiqamYtinY gцrY tцrYmY funksiyanэn bu istiqamYtdY dYyiєmY sьrYtini xarakterizY edir.

Misal 1.µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY µ § oxu ilY 120°-li bucaq YmYlY gYtirYn istiqamYti ьzrY tцrYmYsini tapэn.

HYlli: verilmiє funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYrini vY onlarэn µ § nцqtYsindY qiymYtini tapaq:

µ §


µ §

µ §


µ §

µ §


MYnfi iєarYsi onu gцstYrir ki, verilmiє nцqtYdY vY verilmiє istiqamYtdY funksiya azalэr.

µ §nэn hansэ qiymYtindY µ § Yn bцyьk qiymYt alэr?

Bu istiqamYti funksiyanэn qradiyenti adlanan vektor mьYyyYn edir.

Qradiyent latэnca “qradiyentis” sцzьndYn gцtьrьlьb addэmlayan, artan demYkdir. Qradiyent terminini ilk dYfY elmY 1873-cь ildY Maksvel daxil etmiєdir.

µ §

Koordinat oxlarэ ilY proyeksiyalarэ verilmiє funksiyanэn uyрun xьsusi tцrYmYlYri olan vektor µ § funksiyasэnэn qradiyenti adlanэr:



µ §

IstiqamYtinY gцrY tцrYmY funksiyanэn qradiyentinin diferensiallama istiqamYtinY gцrY proyeksiyasэna bYrabYrdir.

µ §

Analoji olaraq ьз dYyiєYnli µ § funksiyasэ ьзьn



µ §

Misal 2. µ § funksiyasэnэn µ § nцрqtYsindY qradiyentini tapэn vY qurun.

HYlli: µ §

µ §


µ §

Misal 3.µ § funksiyasэnin µ § nцqtYsindY µ § oxu ilY µ § bucaq YmYlY gYtirYn istiqamYtdY tцrYmYsini tapэn. Verilmiє funksiyanэn verilmiє nцqtYdY maksimal artma sьrYtini tapэn.

µ §

µ § HYqiqYtYn dY verilmiє istiqamYti µ § ilY iєarY etsYk



µ § Verilmiє nцqtYdY funksiyanэn qradiyenti belYdir:

µ §


Bu vektor funksiyanэn baєqa istiqamYtlYrY gцrY daha зox artma sьrYtini gцstYrir(єYk). µ § nцqtYsindY tцrYmYnin Yn bцyьk qiymYt almasэ qradiyentin modulina bYrabYrdir:

µ §


Eyler teoremi. ЏgYr µ § vurugu ьзьn µ § bYrabYrliyi цdYnilYrsY, µ § funksiyasэna µ § tYrtiblэ bircins funksiya deyilir. µ §tYrtibli bircins funksiyalar ьзьn aєaрэdakэ mьnasibYt ( Eyler teoremi) doрrudur:

µ §


ЭkidYyiєYnli funksiya ьзьn Teylor dьsturu

Tutaq ki, µ § funksiyasэ µ §-ci tYrtib daxil olmaqla µ § nцqtYsinin Ytrafэnda kYsilmYzdir. Onda bu Ytrafэn µ §nцqtYlYri ьзьn aєaрэdakэ bYrabYrlik цdYnilir:

µ §

µ §


Bu dьstura Teylor dьsturu deyilir. BYrabYrliyin saр tYrYfindYki ifadY isY µ § tYrtibli Teylor зoxhYdlisi adlanэr.

IkidYyiєYnli funksiyanэn ekstremumu.

1°. TYrif 1.µ § nцqtYsinY kifayYt qYdYr yaxэn vY ondan fYrqli olan bьtьn (x,y) nцqtYlYri ьзьn µ § olduqda biz µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY maksimumu var.

TYrif 2. µ § nцqtYsinY kifayYt qYdYr yaxэn vY ondan fYrqli olan bьtьn µ § nцqtYlYrindY µ § olarsa, onda, µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY minimumu var.

Funksiyanэn maksimum vY minimumuna onun ekstremumu deyilir.

Analoji olaraq ьз vY daha зox dYyiєYnlYr ьзьn funksiyanэn eksremumu tYtin olunur.

2°. Funksiyanэn ekstremumunun zYruri єYrti. Diferensiallanan µ § funksiyasэnэn ekstremumu olduрu nцqtYlYr

µ §


sistemindYn tapэlэr. HYmin nцqtYlYr funksiyanэn bцhran nцqtYlYri adlanэr.

3°. Funksiyanэn ektremumunun kafi єYrti. Tutaq ki, µ § nцqtYsi µ § funksiyasэnэn stasionar nцqtYsidir.µ §.

µ §iєarY edirik.

ЭkitYrtibli determinant tYrtib edirik:

µ §

Axtarэlan µ § bцhran nцqtYsindY µ § olduqda µ § funksiyasэnэn bu nцqtYdY maksimumu var; µ § olduqda µ § funksiyasэnэn bu nцqtYdY minimumu var; µ § olduqda ekstremumu yoxdur; µ § olduqda baєqa ьsullardan istifadY olunur.



Џn kiзik kvadratlar ьsulu

Џn kiзik kvadratlar ьsulu ilk dYfY 1806-cэ ildY Lejandr tYrYfindYn astronomik mьєahidYlYr Ysasэnda fYza mexanikasэnэn mYsYlYlYrindY istifadY olunub. 1809-cu ildY Haus bu ьsulu daha da mьkYmmYllYєdirmiєdir.

Эndi Yn kiзik kvadratlar ьsulu riyazi statistikanэn Yn mьhьm qollarэndan biridir vY elm vY texnikanэn mьxtYlif sahYlYrindY statistik nYticY зэxarma ьзьn istifadY olunur.

Tutaq ki, tYcrьbY nYticYsindY µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэq aєaрэdakэ cYdvYl єYklindY verilmiєdir:

µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ § koordinat sistemindY µ § nцqtYlYrini quraq (єYk).

FYrz edYk ki, gцstYrilmiє nцqtYlYr hYr hansэ (µ §) dьz xYttinY kafi qYdYr yaxэnlэqda yerlYєmiєdir vY hYmin dьz xYttin tYnliyi µ § єYklindYdir. Dьz xYttin µ § vY µ § parametrlYrini cYdvYldYn istifadY edYrYk necY tapmaq olar?

(µ §) dьz xYtti ьzYrindY yerlYєmYyYn µ §

nцqtYsinY vY (µ §) dьz xYtti ьzYrindY yerlYєYn µ § nцqtYsinY baxaq. Ordinatlarэn

µ § fYrqi µ § nцqtYsinin

µ §) dьz xYttindYn meylini gцstYrir.

ЭkidYyiєYnli funksiyanэn Yn kiзik qiymYtini mьYyyYn edYk:

µ §


µ §

Funksiyanэn ekstremumunun kafi єYrtindYn istifadY edYrYk alэrэq:µ § vY µ §

µ §

µ §


µ §

µ §


SadY зevirmYlYrdYn sonra µ § vY µ § dYyiєYnlYrinY nYzYrYn tYnliklYr sistemini alэrэq:

µ §


VY ya cYm simvolundan istifadY edYrYk alэrэq:

µ §


(2) sistemini µ § ,µ § vY µ §in orta qiymYtlYrindYn istifadY edYrYk baєqa formada yaza bilYrik.Tutaq ki,

µ §


(2) sisteminin bьtьn hYdlYrini n-Y bцlYrYk vY µ §orta qiymYtlYrini yerinY qoyaraq alэrэq:

µ §


(3) sistemini hYll edYrYk µ § vY µ § parametrlYrinin elY qiymYtlYrini alэrэq ki,

µ § tYnliyi µ § ,µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэрэ mьYyyYn edir.

MYsYlY1. TYcrьbY nYticYsindY alэnmэє µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэq aєaрэdakэ cYdvYl єYklindY verilmiєdir:

x246810y5,58,513,617,320,1ЏgYr µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэqµ § dьsturu ilY verilmiєdirsY Yn kiзik kvadratlar ьsulundan istifadY edYrYk µ § vY µ § parametrlYrini tapэn.

HYlli. (3) sisteminY daxil olan µ § kYmiyyYtlYrini hesablamaq ьзьn aєaрэdakэ cYdvYli tYrtib edYk:

xyµ §µ §25,541148,51634613,63681,6817,364138,41020,1100201µ §65220466µ §

µ §

BelYliklY µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэqµ § dьsturu ilY ifadY olunur.



Џn kiзik kvadratlar ьsulunu µ § nцqtYlYri µ § kafi qYdYr yaxэnlэрэnda yerlYєdikdY dY tYtbiq etmYk olur. Bu zaman nYzYrY alэrlar ki, µ § vY µ § dYyiєYnlYri bir-biri ilY µ §

kvadrat funksiyasэ ilY YlaqYlidirlYr. Tutaq ki, µ § cYdvYldY verilYnlYrY gцrY alэnan nцqtYdir, µ §- parabolanэn ьzYrindY yerlYєYn nцqtYdir.µ § fYrqi µ §nцqtYsinin paraboladan meylini gцstYrir.µ § vY µ § parametrlYrinin elY qiymYtlYrini seзYk ki, bu fYrqlYrin kvadratlarэ cYmi Yn kiзik olsun. Gцrьndьyь kimi mYsYlY ьз dYyiєYnli funksiyanэn Yn kiзik qiymYtinin tapэlmasэna yцnYldilib.

µ §+µ § (4)

Ekstremumun varlэрэnэn kafi єYrtindYn istifadY edYrYk alэrэq:

µ §

(4)-ь diferensiallayaraq µ § vY µ § dYyiєYnlYrinY nYzYrYn xьsusi tцrYmYlYr alэrэq:



µ §

µ §


µ §

Xьsusi tцrYmYlYri sэfra bYrabYr edYrYk µ § vY µ § dYyiєYnlYrindYn asэlэ ьз tYnlik sistemini alэrэq:

µ §

ЏgYr µ § kYmiyyYtlYrinin orta qiymYtlYrini daxil etsYk, alarэq:



µ §

MYsYlY 2.TYcrьbY nYticYsindY alэnmэє µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэq aєaрэdakэ cYdvYl єYklindY verilmiєdir:

x01234y57-475µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэq µ § dьsturu ilY ifadY olunur,Yn kiзik kvadratlar ьsulundan istifadY edYrYk µ § parametrlYrini tapэn.

HYlli.Aєaрэdakэ cYdvYli tYrtib edYk:

µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §050000017111772-44816-8-16379278121634516642562080µ §203010035440134µ § olduрundan

µ §


Bu qiymYtlYri (6) sisteminY qoyaraq alэrэq:

µ §


Bu tYnliklYr sistemini hYll etmYk ьзьn ьзьncь tYnliyi 2-yY vuraq vY sonra alэnmэє Ymsallarэ hYdbYhYd ikinci tYnlikdYn зэxaq.NYticYdY alэrэq:

µ §


Ьзьncь tYnlikdY b-ni -4a ilY YvYz edYrYk alэrэq:µ §Birinci tYnliyY µ § ilY ifadY olunmuє µ § vY µ § dYyiєYnlYri qoyaraq alэrэq:

µ §


µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэndakэ asэlэlэq µ § dьsturu ilY ifadY olunur.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6
Orklarla döyüş:

Google Play'də əldə edin


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə