Laplas almashtirishi



Yüklə 145,1 Kb.
səhifə1/4
tarix13.12.2023
ölçüsü145,1 Kb.
#139964
  1   2   3   4
Laplas almashtirishi


LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.



Laplas almashtirishi


Haqiqiy o’zgaruvchili ƒ(𝑡) funksiyaning Laplas almashtirishi deb

𝐹(𝑝) = ∫ ƒ(𝑡)𝑒𝑝𝑡𝑑𝑝 (1)
0
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili 𝐹(𝑝) funksiyaga aytiladi, bu
yerda 𝑝 = 𝑠 + i𝑟.
Integral kompleks 𝑝 parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi.
ƒ(𝑡) funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 𝐹(𝑝) funksiyani aniqlasin?
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:

    1. ƒ(𝑡) funksiya 𝑡 ≥ 0 da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);

    2. Barcha 𝑡 < 0 larda ƒ(𝑡) = 0;

    3. 𝑡 → +∞ da |ƒ(𝑡)| funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday 𝑀 > 0 va 𝑠 mavjudki, barcha 𝑡 larda

|ƒ(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒𝑠𝑡 (2)

      1. tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 𝑠 qiymatlarning quyi chegarasi 𝑠0

qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha 𝑡𝑘 (𝑘 > 0) darajali funksiyalar qanoatlantiradi.

Original va tasvir


1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ƒ(𝑡) funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 𝐹(𝑝) funksiya esa ƒ(𝑡) funksiyaning tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝), 𝐹(𝑝) → ƒ(𝑡) yoki 𝐿[ƒ(𝑡)] = 𝐹(𝑝)
ko’rinishda belgilaymiz.
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.

  • a) Birlik funksiya va uning tasviri.

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:

1, 𝑡 ≥ 0
𝜃(𝑡) = { 0, 𝑡 < 0
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz (𝑝 = 𝑠 + i𝑟, 𝑠 = Re𝑝)


𝐹(𝑝) = ∫ 𝑒𝑝𝑡𝑑𝑝 = −
0
𝑒−𝑝𝑡

0
𝑝 |
1
= 𝑝.


Yüklə 145,1 Kb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin