Laplas almashtirishi

Teorema. Har qanday ƒ⁽𝑡⁾ original funksiya uchun, Re𝑝 > 𝑠₀ yarim tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi 𝐹(𝑝) tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda 𝐹(𝑝) analitik funksiyadan iborat, bu yerda 𝑠₀ − original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.

• 
  Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra ^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠0𝑡. Agar
  

𝑝 = 𝑠 + i𝑟 bo’lsa ^|𝑒^−𝑝𝑡| = 𝑒^−𝑠𝑡, shuning uchun
_{|ƒ(𝑡)𝑒}−𝑝𝑡_{| ≤ 𝑀𝑒}𝑠₀𝑡_𝑒−𝑠𝑡 _{= 𝑀𝑒}−⁽𝑠−𝑠₀⁾𝑡

𝐹⁽𝑝⁾ = 0.◄

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.

2. 
   Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar ƒ₁(𝑡) va ƒ₂(𝑡) funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha 𝑡 > 0 nuqtalarda ustma ust tushadi.
   
3. 
   Teorema. (Chiziqlilik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy 𝜆 va 𝜇 kompleks sonlari uchun
   

𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ ➛ 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾ (4)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ funksiyaning originalini integralning chiziqliligidan foydalanib topamiz
  

∞
𝐿^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)] = ∫ ^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)]𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
0
∞ ∞
= 𝜆∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 + 𝜇∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾. ◄
0 0
Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida sin 𝜔𝑡 funksiyaning tasvirini topamiz.
sin 𝜔𝑡 = ¹ (𝑒^i𝜔𝑡 − 𝑒^−i𝜔𝑡) ➛ ¹ ( ¹ − ¹ ) = ^𝜔

2i 2i 𝑝 − i𝜔 𝑝 + i𝜔 𝑝² + 𝜔²

4.