Mantiqiy, kombinatorik va nostandart masalalar

1-masala. Piyolalarni turli ranglarga bo`yang. Karimning ikkita 
yoqtiradigan piyolalari bor. Bu qaysi piyolalar bo`lishi mumkin? 
Yechish. Masalaning yechimini topish uchun 4 juft piyolalar 
chiziladi va o`quvchilardan ularni masala shartini qanoatlantiradigan 
yechimlarini bo`yash so`raladi. O`quvchilar dastlabki 3 juft 
piyolalarni turli ranglarga bo`yagandan so`ng, to`rtinchi juftni bo`yay 
olmaydilar. O`qituvchi bo`yalgan uchta piyolalar jufti masala 
shartini to`liq qanoatlantirishi hamda 4-juft piyolalar ortiqcha 
ekanligini(yechim emasligini) o`quvchilarga tushuntirishi talab 
etiladi. 

---

79 
2-masala. Uchta har xil rangdagi qog`oz tasmachalar berilgan. 
Bu tasmachalarni bo`yang va ularni yelimlab bitta uch xil 
rangdagi tasmacha tuzing. Rasmda nechta turli tasmachalar paydo 
bo`lishini ko`rsating. 
Yechish. O`quvchilar tuzilgan tasmachalarni bo`yab, bu holda 
ham javoblar ichida bitta tasmacha ortiq ekanligini aniqlashi ular 
tomonidan barcha birlashmalarni to`g`ri topganligi belgisi bo`ladi. 
O`quvchilarda kombinatorik masalalarni yechish bilim va 
ko`nikmalari rivojlanib borgan sari sekin-asta tartibli, izchil 
ravishda barcha imkoniyatlarni tanlab olish uchun asos yaratiladi.
Quyidagi masalani yechish jarayonida buni amalga oshirishni ko`rib 
o`tamiz. 
 3-masala. Piyolalarni turli ranglarga bo`yang. 
Karimning ikkita yoqtiradigan piyolasi bor. Bu qaysi piyolalar 
bo`lishi mumkin? 
Yechish. Bu masalani yechish uchun quyidagi rasm chizilishi 
maqsadga muvofiqdir. 

---

80 
O`quvchilar tomonidan tartib bilan har bir ajratilgan juftlik 
ustunlarining chap tomonidagi piyolalari bir xil rangga bo`yalishi, 
o`ng tomondagi piyolalar turli ranglarga bo`yalishi natijasida barcha 
mumkin bo`lgan imkoniyatlar ko`rib o`tilganligini o`qituvchi 
tomonidan ta’kidlanishi maqsadga muvofiqdir. 
Tanlash jarayonini yengillatish va sistemali amalga oshirish 
uchun kombinatorik masalalarni yechishda jadvallar, graflar hamda 
“graf-daraxt” kabi modellardan keng foydalaniladi. Ularni qo`llash 
yosh maktab o`quvchilarining pedagogic-psixologik xususiyatlari, 
abstract tafakkur qilish qobiliyatlari yetarlicha rivojlanmaganligi bilan 
bog`liqdir. 
Jadvallar tuzib kombinatorik masalalarni yechish o`quvchilarga 
tanlash jarayonini tartibli, izchil amalga oshirishga yordam berish 
bilan bir qatorda ular tomonidan birlashmalarni qaytarilishiga yo`l 
qo`ymaslik uchun sharoit yaratadi. Natijada barcha bo`lishi mumkin 
bo`lgan 
birlashmalarni 
tuzish, 
shuningdek 
masala 
shartini 
qanonatlantirmaydiganlarini chiqarishga erishiladi. 
Masalan, 3-masala yechimini jadval yordamida quyidagicha 
ifodalash mumkin. 
Birliklar 
O`nliklar 
7 
3 
6 
7 
77 
73 
76 
3 
37 
33 
36 
6 
67 
63 
66 

---

81 
7 
3 
6 
Kombinatorik masalalarni graflar yordamida yechishda masala 
shartida berilgan to`plam elementlari nuqtalar bilan belgilanib, ularni 
grafning uchlari deyiladi, bu nuqtalarni tutashtiruvchi yoy va 
strelkalar-qirralari, grafda boshi va uchi ustma-ust tushadigan
strelkalar sirtmoq deyiladi. 
Masalan yuqoridagi 3-masala yechimini graflar yordamida 
quyidagicha ifodalash mumkin: 
Agar to`plam elementlari soni uchta va undan 
ortiq bo`lsa, u holda modellashtirishning graf-
daraxt usulidan foydalanish maqsadga 
muvofiqdir. Bu usulni qo`llab kombinatorik 
masalalarni yechishda har bir qadamda tanlab
olishlar soni oldingi qadamda tanlab olingan 
elementlarga 
bog`liq 
bo`ladi. 
Uni 
qurish 
ketma-ketligi 
quyiudagichadir: dastlab birinchi qadamda bitta nuqtadan barcha 
mumkin bo`lgan tanlashlar soniga teng bo`lgan kesmalar o`tkaziladi; 
so`ngra ikkinchi qadamda bu kesmalar har birining oxiridan boshlab 
mumkin bo`lgan barcha tanlashlar soniga teng kesmalar o`tkaziladi va 
hokazo. Sxemani graf-daraxt deb, nomlanishiga sabab u shoxlari 
pastga qaratilgan daraxtga o`xshashligidadir. 
Masalan 5-masala yechimini graf-daraxt yordamida quyidagicha 
tasvirlanishi mumkin: 
* 
7 
6 
3 
3 
6 
7 
6 
7 
3 
6 
3 
6 
7 
3 
7 
736 763 376 367 673 637 
yuzlar 
o’nlar 
birlar 
sonlar 

---

82 
Xuddi shuningdek, 7-masalani yechimini “ graf-daraxt”ni qo`llab, 
quyidagicha tasvirlash mumkin