Matematik tariHİ

1960′lı ve 1970′li yıllarda, Platonculuğa ciddi eleştiriler yöneltilmeye başlanmıştır.

Zaruriyet (Indispensability) tartışması olarak bilinen, ‘Matematik bilim için temel teşkil eder mi?’ sorusu nominalizmi anlamak açısından önem teşkil etmektedir. Quine ve Putnam’ın ilk olarak evet demesi, nominalist Field’in ise karşı çıkıp, hayır demesi ile başlayan tartışma günümüzde hâlâ devam etmektedir.

Chihara, soyut nesnelerin varlığı kabul edilerek kurulan cümlelerin, ifadelerin sadece dilsel varlıklar olarak yeniden inşa edilebileceğini iddia eder.

Field’in kurguculuk (fictionalism) olarak adlandırdığı görüşe göre, edebi kurgu ürünü olan Oliver Twist neyse, sayılar veya kümeler de aynı konumdadır. Field’in kurguculuğu, nominalizm içinde gelenekten en fazla kopan görüştür.

Benacerraf’ın 1973 yılına ait “Matematiksel Hakikat” adlı makalesidir. Benacerraf, bahsi geçen makalede bir ikilem ortaya atar: matematiksel doğruluk hakkındaki en iyi görüşlerimiz matematiksel bilgi hakkındaki bilgilerimiz ile uyuşmamaktadır. Madem matematiksel nesneler, zaman ve mekandan bağımsız görünmektedirler ve bu nesneler ve insan arasında herhangi bir bağ yoktur, o zaman en iyi bilgi kuramımıza göre, matematiksel bilgi imkânsızdır!

Bazı filozoflar, insan bilgisinin şartlarını daha iyi anlatan bilgi kuramları bizden bağımsız matematiksel nesneleri anlamamızı sağlayacaktır, diyerek yeni Fregeciliğin ikilemden etkilenmediğini iddia etmektedirler.

Yapısalcılığın önemli bir filozofu olan Michael resnik, bu konuyla alakalı meşhur bir makalesinin girişinde, “Matematikte, iddia ediyorum ki, yapılar içinde dizili ‘içsel’ birleşimli nesnelere sahip değiliz, sahip olduğumuz şey sadece yapılardır. matematiksel sabit ve değişkenlerin gösterdiği varlıklar yani matematiksel nesneler, yapının içerisinde (herhangi bir) yapıya sahip olmayan nokta ve konumlardır. Yapının içerisindeki konumlar gibi, matematiksel nesnelerin herhangi birkimliği veya özelliği yoktur.” demiştir.

 Genel kanı fikirlerin bazen çok güçlü olduğudur. Bir kavram, felsefi bir kavram olarak bilgisayar hakkında bir kuramdan bahsedeceğim.

Hepimiz biliyoruz ki, bilgisayar gerçek dünyada çok kullanışlı bir nesnedir! Maaşlarımızı öder; öyle değil mi? Fakat insanların çoğu zaman hatırlamadığı şey, -abartmış olacağım, lakin söyleye ceğim- bilgisayarın gerçekte matematiğin temelleri ile ilgili felsefi bir sorunu aydınlatmak için icat edilmiş olduğudur.

Şimdi, bu fikir saçma gibi görünüyor; ancak bunun doğru taraf ları var. Aslında, bilgisayara, bilgisayar teknolojisine yol açan birçok fikir silsilesi vardır. Bu fikirler, matematiksel mantık ile matematiğin sınırları ve gücü hakkındaki felsefi sorunlardan türemiştir.

Bu tür sorunlardan ilham alan, oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir modeli olan Turing makinesini icat etmiş olan bilgisayar öncüsü Turing’dir. Turing bu makineyi Hilbert’in matematik felsefesi ile ilgili bir sorusunu çözmeye çalışırken icat etmiştir. Turing, bunu herhangi gerçek bir bilgisayar henüz icat edilmeden önce yaptı ve sonra da sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu, İngiltere’deki ilk bilgisayarlar Turing tarafından yapıldı.

Buna ilâveten, Birleşik Devletler’de bir teknoloji olarak bilgisayarların icadını, (maalesef savaş çalışmalarının ve atom bombası inşa etme çalışmalarının bir parçası olarak) üretilmesini teşvik etmede faydalı olan von Neumann, Turing’in çalışmalarını çok iyi biliyordu. Ben Turing’i, Turing’in çalışmalarının öneminden bahseden von Neumann’ı okuyarak öğrendim.

Demek ki, benim bilgisayarların kökeni hakkında söylediklerim tümüyle bir uydurma değildir. Lâkin bu mevzu entelektüel tarihin unutulmuş bir parçasıdır. Bu konuşmanın bitiş yargısı ile başlayayım: Bunların çoğu bir bakıma Hilbert’in çalışmalarından türemiştir. Bu yüzyılın başlarında çok iyi bilinen bir Alman matematikçi olan Hilbert, matematiğin tümünü, bütün matematiksel akıl yürütmeleri -sonuç çıkarmaları- biçimselleştirmeyi önerdi. Ve Hilbert’in bu önerisi çok büyük, görkemli bir fiyaskodur!

Bir bakıma, bu, büyük bir başarısızlıktır. Çünkü, matematiksel akıl yürütmenin biçimselleştirilemeyeceği açığa çıkmıştır. Bu, benim bugün üzerinde konuşacağım, 1931′de Gödel tarafından yapılan çalışmanın meşhur bir sonucudur.

Fakat bir başka yönden, Hilbert gerçekten haklıydı; çünkü biçimcilik (formalizm) bu yüzyılın en büyük başarısı olmuştur. Akıl yürütme veya mantıksal çıkarım için değil de, programlama ve hesaplamada biçimcilik son derece başardı olmuştur. Eğer bu yüzyılın başındaki mantıkçıların çalışmalarına bakarsanız, onlar akıl yürütme, mantıksal çıkarım ile matematik yapma ve sembolik mantık için biçimsel diller üzerine konuşuyorlardı; bununla beraber onlar aynı zamanda programlama dillerinin ilk versiyonlarından bazılarını da icat etmişlerdi. Dahası, bu programlama dilleri, bizim her zaman birlikte yaşadığımız ve beraber çalıştığımız biçimciliklerdir! Bunlar çok önemli teknolojilerdir.

Böylece, akıl yürütmek için biçimcilik işlemedi. Matematikçiler biçimsel diller içinde akıl yürütmezler. Fakat hesaplama, programlama dilleri için biçimcilik, kökü bu yüzyılın başında Hilbert’e dayanan, matematik ile ilgili epistemolojik, felsefi soruları açıklamaya çalışan biçimci görüş için de bir bakıma doğrudur.

Şimdi size şaşırtıcı bir sonucu olan bu öyküyü anlatıp, entelektüel tarihin bu şaşırtıcı parçasından bahsedeceğim.

Müsaadenizle, yaklaşık bir yüzyıl öncesine gidip, Cantor ile başlayalım…

Georg Cantor: Mesele şudur: Normalde matematiğin statik, değişmeyen, mükemmel, mutlak doğru, mutlak gerçek vs. olduğunu düşünürsünüz; değil mi? Fizik değişken olabilir; fakat matematikte nesneler kesindir! Hâlbuki durumun tam olarak böyle olmadığı açığa çıktı.

Geçen yüzyılda matematiğin temelleri, matematiğin nasıl yapılması gerektiği, neyin doğru olup olmadığı, matematikte geçerli bir ispatin ne olduğu gibi konular üzerine birçok uyuşmazlık yaşandı. Bunun üzerine neredeyse kan akıtılıyordu… İnsanların korkunç kavgaları oldu ve bu öykü akıl hastanesinde son buldu. Bu, oldukça önemli bir uyuşmazlıktı. Bu uyuşmazlık çok iyi bilinmiyor ama bunun entelektüel tarihimizin ilginç bir parçası olduğunu düşünüyorum.

Birçok insan görelilik kuramı hakkındaki uyuşmazlıktan haberdardır. Einstein, başta çok tartışıldı. Ve sonra kuantum mekaniği üzerine olan uyuşmazlık… Bunlar, yüzyıl fiziğinin iki önemli devrimidir. Fakat daha az bilinen şey, pür (katıksız) matematikte de müthiş devrimlerin ve uyuşmazlıkların olduğudur. Bu, gerçekte Cantor ile başladı.

Cantor’un yaptığı şey, bir sonsuz kümeler kuramı icat etmekti.

Cantor bunu yaklaşık yüzyıl önce icat etti; hatta, yüzyıldan biraz daha uzun bir süre öncedir. Bu kuram çok büyük bir devrim niteliğinde olup, aşın derecede maceralı bir iştir. Niçin böyle olduğunu açıklayayım.

Cantor şöyle dedi: 1, 2, 3 ..’u ele alalım.

1, 2, 3. … Hepimiz bu sayıları görmüşüzdür; değil mi? Cantor, bu dizinin ardına sonsuz bir sayı eklemeyi teklif etti.

1, 2, 3, … omega

Cantor, bu sayıyı da Yunan alfabesindeki küçük omega(co) ile gösterdi. Sonra da, niye burada duralım, yolumuza devam edip sayı serisini genişletelim önerisinde bulundu.

1, 2, 3, … omega, omega+1, omega+2, …

Omega artı bir, omega artı iki, sonra sonsuz miktarda bir zaman! bu işleme devam edin. Bundan sonra ne ekleyeceksiniz? Peki, iki omega? (Aslında, teknik sebeplerden ötürü omega çarpı ikidir.)

1, 2, 3,… omega… 2omega

Sonra iki omega artı bir, iki omega artı iki, iki omega arti üç, iki omega artı dört…

1, 2, 3,… 2omega, 2omega+l, 2omega+2,2omega+3,2omega+4,

Sonra, ne gelir? Üç omega, dört omega, beş omega, altı omegf,

1, 2, 3,… 3omega… 4omega… Somega… 6omega…

Peki, bütün bunlardan sonra ne gelecek? Omega’nın karesi! Ve böylece devam edin, Omega kare artı bir, omega kare artı altı omega artı sekiz… Pekâlâ, uzun bir süre bu şekilde devam edin ve omega kareden sonra gelen ilginç şey? Omega’nın küpü! Ve sonra siz ome-ga’nın dördüncü kuvvetini sonra beşinci kuvvetini elde edersiniz ve çok sonra?

1, 2, 3,… omega… omega2… omega3… omega4… omega5

Omega üzeri omega!

l, 2, 3,… omega… omega2… omegaomega

Ve çok sonra, omega üzeri omega üzeri omega sonsuz kere!

1, 2, 3,… omega… omega2… omegaomega.. omegaomegaomeg-

Buna genellikle epsilon-sıfır denildiğini zannediyorum.

Epsüon(0)= omegaomegaomeg-

İnsanı hayrete düşürecek hoş bir sayı! Bu noktadan sonra işler biraz zorlaşıyor…

Bu, Cantor’un asıl hüneri olan sonsuz kümelerin boyutunu ölçmek için yaptığı ısınma turu niteliğinde harikulade hayali ve üretici bir şeydi; dahası bu, çok aşırı tepkiler aldı. Cantor’un yapağı şeyi bazıları sevdi, bazıları ise onun bir akıl hastanesine konulması gerektiğini düşündü! Gerçekten de bu eleştirilerden sonra Cantor’da sinir bozukluğu (nevrasteni) başladı. Cantor’un çalışmaları, çok etkili olup nokta-küme topolojisi ve yirminci yüzyıl matematiğinin diğer soyut alanlarına zemin aça. Fakat çalışmaları, aynı zamanda tartışmalıydı. Bazıları, bunun, gerçek değil hayali bir dünya olduğunu nü, ciddi matematikle bir alâkası olmayıp teoloji olduğunu söyledi! Dahası, Cantor asla iyi bir mevki elde edemedi ve hayatının geri kalanını da ikinci sınıf bir enstitüde harcadı.

.Bertrand Russell:Matematikçi olarak başlayan Bertrand Russell sonraları filozof olarak kendine bir yön çizmiştir. Bertrand Russell, önce Cantor kuramında, sonra mantığın kendisinde rahatsız edici bir paradoks demeti keşfetmiştir. Bunlar öyle durumlardır ki, orada akıl yürütmeler doğru gözükürken aynı zamanda çelişki doğurmuştur.

Herneyse, bu paradokslardan en çok bilineni bugünlerde Russell paradoksu olarak anılanıdır. Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini düşünün. Ve sonra şunu sorun: “Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir! Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır, ve tersi! Bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden bir berberin durumuna benzer. Paradoks, “Berber kendi kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor. Berber, kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş etmez. Böylece berber, bu kuralı kendine uygulayamaz!

Şöyle diyebilirsiniz: “Bu berberden kime ne!” Bu, her halükarda aptalca bir kuraldır ve her kuralın istisnası vardır! Fakat bir küme ile, matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız, bu sorunu halletmek o kadar da kolay değildir. O halde, doğru görünen akıl yürütmeler sizi zora sokuyorsa öyle kolay omuz silkemezsiniz!

Cantor’un sonsuz kümeler kuramının ateşlendirdiği krize tepkilerden biri biçimciliğe sığınmak olmuştur. Eğer kusursuz görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntıya düşüyorsak, o halde çözüm sebmolik mantığı kullanmaktır.

Yapay bir dil oluşturarak o dilin içinde çok dikkatli olup, oyunun kuralları neyse onu söyleyerek çelişkilere düşmediğimizden emin olabiliriz. Çünkü, burada kusursuz görünen bir parça akıl yürütme var ki, bu çelişkilere yol açmaktadır. İşte biz bu sorunun üstesinden gelmek istiyoruz. Fakat, doğal dil muğlaktır -bir zamirin kime işaret ettiğini asla bilemezsiniz-.

Bundan dolayı, gelin bir yapay dil oluşturalım ve her şeyi çok net kılalım ve bütün çelişkilerinden kurtulduğumuza emin olalım! Bu biçimcilik düşüncesiydi.

Şimdi ben, Hilbert’in matematikçilerin böyle mükemmel bir yapay dil içinde çalışmak zorunda olduklarını kastettiğini zannetmiyorum. Bu yapay dil daha çok bir programlama diline benzeyecektir; fakat amaç hesap yapmak değil, akıl yürüterek, matematik yapmak ve çıkarım yapmaktır. Bu, Hilbert’in düşüncesidir. Fakat Hilbet, düşüncesini hiçbir zaman bu şekilde ifade etmedi. Çünkü, o zaman programlama dilleri yoktu.

Peki, buradaki düşünceler nelerdir? Her şeyden önce, Hilbert aksiyomatik yöntemin önemini vurguladı.

Bu şekilde matematik yapma fikri, antik Yunanlılara kadar ve özellikle güzel ve açık bir matematiksel sistem olan Öklit geometrisine kadar dayanır. Lâkin, bu yeterli değildir; Hilbert aynı zamanda sembolik mantığı kullanmamız gerektiğini söylüyordu.

Sembolik mantığın da uzun bir geçmişi vardır: Leibniz, Boole, Frege, Peano… Bu matematikçiler akıl yürütmeyi cebire benzetmek istediler. İşte Leibniz: Kimin haklı olduğunu tartışma yerine hesaplama ile münakaşadan kaçınmayı önerdi -ve münakaşadan kasu muhtemelen siyasi ve dini münakaşalardı! Kavga yerine masaya oturabilmeli ve “Beyler, buyurun hesaplayalım..” demelisiniz diyordu. Ne güzel bir düş!…

Matematiğin makul bir felsefi beyanı olduğu iddiasını taşıyan her felsefi ekol, bu soruların her birine tatmin edici cevaplar verebilmelidir:

1- Matematiği diğer beşeri bilgilerinden farklı kılan şeyler nelerdir,

2- Matematik ne hakkındadır veya matematiğin konusu nedir,

3- Matematik hakkında evrensele-yakın bir uzlaşım niçin vardır,

4- Matematiksel bilgiyi nasıl elde ederiz,

5- Matematikçinin sosyal olaylardan etkilenmesine rağmen, matematik niçin zaman, mekân, ırk gibi değişik unsurlardan bağımsızdır,

6- Sonsuz var mıdır,

7- Pür matematik, ‘gerçek’ dünyada nasıl bu kadar karşılık bulabilmekte ve kullanışlı olabilmektedir,

Bu soruların tümü, ne mantıkçılık ne sezgicilik ne de hümanizm veya başka bir felsefi ekol tarafından yetkin ve doyurucu bir şekilde cevaplanamamıştır. Bu yaklaşımların kimi bazılarını açıklamada ötekilerden daha iyi olsa da, her biri kendi eksikliklerinden mahfuz değildir. Dolayısıyla, matematik felsefesindeki mevcut yaklaşımların her biri sadece sınırlı bir alanda tatmin edicidirler.

Eğer matematiksel nesneler bizden bağımsız olarak zaman ve mekân dışında var iseler, biz bunlar hakkında nasıl bilgi sahibi olabiliyoruz? Böyle bir âlem niye var, nasıl var? Hersh, “Matematik felsefesindeki, yakın zamanlarda karşılaşılan sorunlar, nihai olarak dinin bilimden sürgün edilmesinin bir sonucudur.” demektedir. Tanrı’nın varlığı ve ilmi kabul edildiğinde matematik felsefesini meşgul eden ‘Sayılar nasıl vardır?’, “Matematiksel doğrular, niçin zamandan ve mekandan bağımsız görünmekteler?’, Matematik “gerçek dünya”da niçin çalışır?” türü soruların tamamı olacaktır. Çünkü, Tanrı için bunlar sorun olamaz.

Aslında, matematiğin ontolojisi ile ilgili sorunlar çok çetindir. Öyle ki, dinin tamamen bilimsel düşünceden silinmesi ile bazı matematikçiler için mistik inançlar devreye girmiştir. Burada, Macar Yahudilerden Amerika’ya göç etmiş, 20. yüzyılın en üretken matematikçilerinden olan, Paul Erdös’e değinmek yerinde olur.

Erdös, bir toplanda matematiğin biz keşfetmeden önce var olup olmadığı sorununu hatırlattıktan sonra, bir kitaptan bahseder. Ona göre, transfinit bir kitapta bütün güzel matematiksel ispatlar mevcuttur; Tanrı bazen matematikçi kullarına lütufta bulunup o kitabın yapraklarını göstermektedir. Erdös, meslektaşlarının güzel bir ispat yapması karşısında iltifat için, ‘doğrudan kitaptan’ tabirini kullanırdı. Erdös’ün tanıtıldığı ve onun “kitap” hakkındaki fikirlerinden bahsedildiği bir toplantıda, Erdös araya girmiş ve “Tanrı’ya inanmak zorunda değilsiniz ama Kitab’a inanmalısınız.” demiştir.

Matematikçiler matematiksel hakikatin bizim dışımızda var olduğu inancını sürdürmektedirler. Tanrı hâlâ sevgili matematikçi kullarına ‘kitap’tan ispat yaprakları göstermeye devam etmektedir. İşin ironik tarafı da vardır: Son yıllarda, birçok filozof-matematikçi tarafından, matematikçinin pratiğine daha çok dikkat çekildiği hâlde, matematikçinin pratiğinde bu ‘mistik’ inanışın sürdürüldüğüne, metafizikten kaçınma tavrından dolayı az dikkat çekiliyor.