Matritsalar bo'yicha ba zovyh harakatlari Teskari matritsa

Ta'rif 2. Eng oddiy matritsa tenglamalarideyiladi shaklning tengliklari


AX=B, XA=B, AXA=B, AX=XB, AX+XB=C

bu erda a,B, C - matritsa ma'lumotlari, x - topilishi kerak bo'lgan matritsa.

Ta'rif 3. Ba'zi matritsalar matritsa tenglamasining yechimi deb ataladi, agar uni almashtirish o'rniga matritsa tenglamasi identifikatsiyaga aylansa.
matritsa tenglamasi yechim
Ax \ u003d b shaklidagi tenglamalar


Ax \ U003d b shaklidagi tenglamani ko'ribchiqing, bu erda A,B ma'lum matritsalardir va a matritsasi kvadrat va degenerativ emas, b matritsasi hama matritsasi kabi PP OK soniga ega.A.
Bunday tenglamani ikki yo'l bilan echish mumkin:
. Teskari matritsa har qanday ma'lum usul bilan hisoblanadi. Keyin matritsa tenglamasining echimi quyidagicha bo'ladi:



2. Blok matritsasi (A|B) qatorlarining elementar o'zgarishlaridan foydalanib , bu erda e - birlik matritsasi. Keyin matritsa tenglamaning echimi bo'ladi.
PRiMER. - qaniydi?
Ax \ u003d b matritsa tenglamasining echimini topamiz,

. А2-tartibli teskari matritsani topish qoidasiga binoan A matritsasiga teskari matritsani topamiz:

. Biz matritsani yozamiz (A / B) va chap tomonda birlik matritsasini olish uchun elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Ikkala holatda ham

Tenglama shaklA ha \ u003d B

Matritsa tenglamasi ha=B shuningdek, ikki yo'l bilan hal qilinishi mumkin:

. Teskari matritsa har qanday ma'lum usul bilan hisoblanadi. Keyin matritsa tenglamasining echimi quyidagicha bo'ladi:
. Tenglamaning chap va o'ng soatlarinitranspozitsiya qilish orqali biz olamiz

Yangi noma'lum matritsa kiritilgandan so'ng , biz shaklning tenglamasini olamiz

blok matritsasini tuzish orqali elementar transformatsiyalar usuli bilan hal qilinishi mumkin .

Misol.
Ha \ u003d b matritsali uraning echimini topamiz qo'shimchalar ХА=В, u shaklga ega

.Teskari matritsa oldingi misolda biz tomonidan topilganligi sababli, biz topamiz.

2. Tenglamaning ikkala tomonini ham ko'chiramiz

Blok matritsasini tuzamiz va elementar transformatsiyalar yordamida chap tomonda bitta matritsani olamiz

Shunday qilib,

bu birinchi spo sobning qaroriga to'g'rikeladi.

Ahv \ U003D C shaklidagi tenglamalar

Ushbu tenglamani echishda tenglamaning ikkala tomonini chapga va o'ngga ko'paytirish kerak. Buni hisobga olgan holda

,

ushbu tenglama formula bo'yicha hal qilinganligini olamiz

Misol.
Ahv \ u003d C shaklidagi tenglamani yeching, bu erda


, va

Tenglama shaklni oladi

X =

Matritsani toping

Shunday qilib,

Naydem formulasi bo'yicha matritsa
:

Bundan tashqari, formulani qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib,

X= .

Ax+XB \ u003d C shaklidagi tenglama

Yuqoridagi usullar ah \ u003d XB, ah+XB \ u003d C shaklidagi tenglamalarni echish uchun mos emas. Ular, shuningdek, noma'lum matritsa x ning kamida bitta omili degenerativ matritsa bo'lgan tenglamalarni yechish uchun mos emasХ .
Bunday hollarda x matritsasi element bo'yicha yoziladi (ya'ni x matritsaning elementlariumuman matritsa emas, balki noma'lum bo'ladi), matritsalar ustida tenglamada ko'rsatilgan harakatlar amalga oshiriladi va tenglamaning ikki qismining tengligi element bo'yicha yoziladi. Natijada, chiziqli tenglamalar tizimi olinadi, uni echish orqali x matritsasi elementlarining mumkin bo'lgan qiymatlari topiladiХ, agar tizim mos kelmasa, u holda asl matriyal tenglama echimlarga ega emas.
Misol.
Matritsa tenglamasini eching ax + XB\u003d C, bu erda


, ,

X matritsasini element bo'yicha yozamiz:

Keyin batafsil yozuvda matritsa tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

Tenglamaning chap tomonidagi mahsulotlarni hisoblab, ushbu mahsulotlarni qo'shib, tenglamaga kelamiz

Ushbumatematik tenglamani elementlar bo'yicha yozib, biz tenglamalar tizimini olamiz:

Ushbu tizimni hal qilib, x \ u003d 2, y \ u003d 3, z \ u003d 3, v \ u003d 4 ni topamiz.
Shuning uchun kerakli matritsa quyidagi shaklga ega:


.

Shakl tenglamasi ah\U003D ha

Ax \ u003d ha shaklidagi tenglamalar oldingi holatda bo'lgani kabi, ya'ni element bo'yicha hal qilinadi. Bu erda echim almashtirish matritsasini topishga to'g'ri keladi. Biz misolni batafsil ko'rib chiqamiz.
Misol.
Berilgan matritsa bilan almashtirilgan barcha matritsalarni toping A:



Yechim.
Bizning maqsadimiz barcha matritsalarni quyidagi matritsalarda topishdir



Ushbu tenglikning chap tomoni mavjud bo'lishi uchun matritsa satrining uzunligi ikkiga teng bo'lishi kerak.Tenglikning oldingi qismi mavjud bo'lishi uchun b matritsasi ustunining balandligi ikkiga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, matritsa ikkinchi darajali kvadrat matritsa bo'lishi kerak:

Endi muammoning sharti tenglik shaklida yoziladi:

yoki boshqacha:

Ammo matritsalarning tengligi bir xil joylarni egallagan elementlarning tengligini anglatadi. Shunday qilib

Ushbu tengliklar bizga to'rtta noma'lum bo'lgan to'rtta tenglama tizimini beradi:

Chiziqli tenglamalar tizimining umumiy echimini oldik. Shunday qilib, b matritsasining umumiy ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:

,

bu erda x2 va x4 harqanday haqiqiy raqamlardir.

Javob.

bu erda x2 va x4 har qanday haqiqiy sonlardir.

Adabiyotlar

1. F. R. Gantmaxer "matritsalar nazariyasi".

2. X. D. Ikramov "matritsa tenglamalarining raqamli yechimi".
3. B. M. Vernikov, A. Y. vsyannikov haqida ma'ruzalarkursi.
4. Oliy matematika (darslik. qo'llanma). Nikulina L. S., Stepanova A. A.