Mavzu: Algebralar gomomorfizmi. Mundarija kirish

Har bir qism gruppa kommutantni о‘zida saqlasa, u da ideal bо‘ladi.
gruppa abel gruppasi bо‘ladi, agar uning kommutanti nolga teng bо‘lsa.
Bu esa hususiy holda barcha lar uchun
Bu yerdan (7)
Demak, -abelgruppasi abel additiv gruppa. Har bir abelgruppa
da ideal bо‘ladi. Chunki .
gruppa faktor gruppasi abelgruppasi bо‘ladi.
Agar A о‘zida gruppa ni о‘zida saqlasa, -Abel gruppasi additiv Abel gruppasini tashkil qiladi. Boshqa tomondan har bir -ar amal hamda barcha lar uchun
(8)
gruppani har bir gruppaosti da ideal bо‘ladi. Chunki
gruppaning faktor gruppasi Abel gruppasi bо‘ladi. Agar A ideal kommutant о‘zida saqlasa, ya’ni (9)

II-bob. ALGEBRA, ALGEBRANING TIPI VA XOSSALARI.

1§ Algebra , algebraning tipi.

to`plam va A to`plamda aniqlangan yoki bajariladigan algebraik amallar to`plami dan tashkil topgan tartiblangan juftlik algebra deyiladi. Masalan, R–to`plami va bu to`plamda aniqlangan qo`shish, ko`paytirish, lar bilan birgalikda to`plam algebradir. Bunda har qanday gruppaid algebra bo`ladi deyish mumkin. Agar algebra berilgan bo`lsa, -to`plamdagi amallarning ranglaridan iborat to`plam algebraning tipi deyiladi. to`plamdagi amallar uchun akslantirish esa avtomorfizm deyiladi. R - haqiqiy sonlar to`plami, - esa musbat haqiqiy sonlar to`plami bo`lsin. algebralar orasida akslantirish birinchi algebrani, ikkinchi algebraga izomorf akslantirishdir. Bunda -bitektiv bo`lib
A-to`plam, unda bajarladigan algebraik amal va ekvivalentlik munosabati berilgan bo`lsin. Agar va elementlar uchun shartdan kelib chiqsa, u holda ekvivalintlik munosabati algebraik amalga nisbatan kongruyensiya deb yuritiladi.
algebralar berilgan bo`lsin. to`plamdagi barcha amllarni saqlaydigan akslantirish algebraning algebraga gomomorfizmi deyiladi. Masalan, va algebralar o`rtasida gomomorfizm mavjud. Bunda ga o`tkazuvchi funksiya bo`lsin, u holda va

1. 
   
2. 
   
3. 
   

akslantirish algebraning algebraga gomomorfizmi bo`lsin. U holda agar -in`yektiv akslantirish bo`lsa, manomorfizm, -syur`ektiv akslantirish bo`lsa, epimrfizm, agar -bir vaqtda ham in`yektiv, ham syur`ektiv ya`ni biyektiv akslantirish bo`lsa, u holda bu akslantirish izomorfizm deyiladi.
Berilgan algebrani o`zini-o`ziga gomomorf akslantirish endomorfizm, o`zini -o`ziga izomorf ushbu sonli ketma-ketlik algebraning tipi bo`ladi. Misol uchun algebraning tipi to`plamdan, algebraning tipi esa to`plamdan, algebraning tipi sonli ketma-ketlikdan iborat. Bizga va algebralar bir xil tipli bo`lib berilgan bolsin, bunda bo`lsin.
Agar algebraik amalga dan mos keladigan algebraik amalni orqali belgilasak, u holda uchun tenglik bajarilsa, algebraik amal algebraik amalning B to`plam bo`yicha cheklangani, algebra esa algebraning qism algebrasi yoki algebraostisi deyiladi. algebra algebraning qisim algebrasi bo`lib, Q-to`plamdagi amallar, R-to`plamdagi amallarni Q-to`plam bo`yicha cheklanganidir. Algebra osti bo`lish munosabati noqat`iy tartib munosabatdir.