Teskarisi ga bо‘linsin. U holda . U holda . Misol 7. Agar gruppa elementi tartibga ega bо‘lsa, u holda tartibga ega. Bunda ekanini isbotlang.
Abel Nilpotent gruppalar.
gruppada A va V gruppalar olingan. Shu gruppalarning о‘zaro kommutativ deb quyidagi tipdagi elementlardan hosil qilingan -gruppalar idealiga aytiladi. Bu elementlar a va v elementlar kommutatori deyiladi va (2) Bunda dan olingan -ar amal. multioperatorsiz gruppalar bо‘lsa, gruppaostilari о‘zaro kommutant lar mumkin bо‘lgan. kommutator bilan gruppada hosil qilingan normal bо‘luvchilar bо‘lishadi. Bunda a€A, v€V. Agar halqani qarasak, hamma vaqt nolga teng. (2) element esa Bu holatda halqaostilari о‘zaro kommutant ideal bо‘ladi. Bu ideal halqa ostida mumkin bо‘lgan barcha av va va kо‘paytmalar bilan hosil qilinadi. Bunda . Ideal ta’rifidan kelib chiqadiki, agar gruppadan olingan qismgruppa idealda saqlanadi va bu ideal dagi markali hosil qilinadi. Bu yerdan esa, agar gruppadan qism gruppalar. berilgan bо‘lsa, u holda
Multioperatorsiz gruppalarda о‘zaro kommutant komutatorlar bilan hosil qilingan qism gruppalar bilan ustma-ust tushadi. Bunda . gruppani A va V qism gruppalar uchun (3)tenglik о‘rinli. Haqiqatdan ixtiyoriy v a uchun
Chunki qо‘shish bо‘yicha - ning onrmal bо‘luvchisi bо‘ladi. Boshqa tomondan ixtiyoriy -ar amal uchun va ixtiyoriy lar uchun shunga kо‘ra (4)dan
Navbatda
(4)ga kо‘ra esa va ning ideali bо‘ladi.
Bu yerda natijada ni hosil qilamiz. (4) va (5) dan. kelib chiqadi. Ta’rifdan kо‘rinadiki о‘zaro komutant (ixtiyoriy gruppa bilan) G da ideal bо‘ladi. Bu esa, hususan uchun ham. Bu ideal gruppa kommutant bо‘ladi. gruppaning gruppaning -qism gruppa (6) faqat shu shartdagina da ideal bо‘ladi. Haqiqatda, agar A-ideal da bо‘lsa, u holda barcha da saqlanadi.
