Mavzu: ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (3)

Shunday a burchak mavjudki, (3) tenglamani o’q atrofida a burchakka burish formulasini quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:

Atx2 + C^y2 + D1x1 + E1y1 + = 0 (4~)

Bunda

Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko'rinishga keltirish

A— A cos2 a + С sin2 a + 2В sin a cos a,

Ci — A sin a + С cos2 a — 2В sin a cos a,

D-[ — D cos a + E sin a, (5)

= - D sin a + I? cos a,

Fi = F.

Mos a burchakni quyidagi tenglikdan topish mumkin:

(C — A) sin a cos ct + B{cos2 a — sin2 o:) = 0. (6)

(4) tenglama parallel ko’chirish yordamida kanonik ko’rinishga olib kelinadi.

Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko'rinishga keltirishga misollar

Shuni ham ta’kidlab o’tish joizki, kanonik ko’rinishga olib kelingan tenglamaning ohirgi ko’rinishi geometrik tasvirga ega bo’lmasligi ham mumkin, masalan,

x2 + y2 + 1 = 0

tenglamasi.

Misol 1.

8x2 + 4xy + 5y2 — 56x — 32y + 80 = 0 ikkinchi tartibli tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring.

Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko'rinishga keltirishga misollar

Yechish.

Ushbu misolni batafsil ishlab chiqamiz.

Koordinata o’qlarini birinchi formulalar yordamida a burchakka buramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:

8(xi cos a — уi sin a) + 4(xi cos a — y\ sin a) (a + y\ cos a)+ + 5(.T| sin a + г/i cosa) — 56(xi cos a — y-[ sin a) —

o2\x\ sin a + y\ cos a) + 80 = 8-T]^ cos a — lQxi cos cty\ sin ol+