Mavzu: ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari

Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko'rinishga keltirishga misollar

Barcha almashtirishlarni

bajarganimizdan so’ng 02x2y2

koordinatalar sistemasida

yotuvchi quyidagi kanonik

ko’rinishga ega ellips

tenglamasini olamiz:

Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko'rinishga keltirishga misollar

Misol 2.

3x2 + 10xy + 3y2 — 2x — 14y — 13 = 0

ikkinchi tartibli tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring.

Ellips va uning tenglamasi

Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalari to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) ellips deyiladi.

Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan tayin nuqtalardan birini , ikkinchisini orqali belgilaymiz.

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:

va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi ( o’qi), kesmaning o’rtasidan o’tuvchi hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb olamiz. (2-chizma)

Ellips va uning tenglamasi

Aytaylik, va nuqtalar orasidagi masofa ga teng bo’lsin. U holda bu nuqtalarning koordinatalari mos ravishda va bo’ladi:

Odatda, va nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.

Odatda, va nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.

Ellipsda ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda ellips ta’rifiga binoan va masofalar yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladi. Bu o’zgarmas sonni deylik .

Demak,

(3)

Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib topamiz:

Unda (3) ga ko’ra

Unda (3) ga ko’ra

bo’ladi.

Bu tenglikni quyidagicha

yozib, uning ikki tomonini kvadratga ko’tarsak, unda