Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1-teorema. Aytaylik ushbu

(1)

muxtor sistemadagi vektor-funksiyaning koordinatalari sohada uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Agar yarim trayektoriya chegaralangan bo‘lib, o‘zining atrofi bilan sohada yotsa, u holda 1) 2) -kompakt, 3) -bog‘lamli to‘plam bo‘ladi.

Isbot. Ixtiyoriy ketma-ketlik uchun ketma-ketlik chegaralangan. Shuning uchun uning limit nuqtasi mavjud va u bo‘sh bo‘lmagan to‘plam bo‘ladi. -yarim trayektoriyaning chegaralanganligidan -to‘plamning chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi ning yopiqligini ko‘tsatamiz. Agar bo‘lsa, u holda uchun shunday topilib o‘rinli bo‘ladi. Shu lar uchun shunday ketma-ketlik topilib o‘rinli. Shuning uchun shunday nomer topilib, tengsizlik bajarilganda o‘rinli. U holda . Shuning uchun o‘rinli bo‘ladi. Demak chegaralangan va yopiq to‘plam bo‘lgani uchun u kompakt to‘plamdir. Nihoyat to‘plamning trayektoriyalardan tuzilganligini ko‘rsatamiz, ya’ni har bir nuqtadan trayektoriya o‘tishini va u da joylashishini isbotlaymiz. to‘plam ta’rifidan ketma-ketlik topilib, o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Ushbu vektor-funksiya yechim bo‘lib, o‘rinli. Endi (1) sistemaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini deb, orqali yarim trayektoriyaning atrofini belgilaymiz. Ushbu nuqta yopiq chegaralanmagan to‘plamga qarashli. Yechimni davom qildirish mumkinligi haqidagi teoremaga muvofiq yechimni ikki tomonga yetarli katta lar uchun davom qildirish mumkin bo‘ladi. Faraz qilaylik ushbu nuqtada sohaning chegarasiga chiqsin. U holda , ya’ni to‘plamning chegarasida yotadi. Bundan

(2)

ekanligi kelib chiqadi. Ushbu munosabatdan

(3)

kelib chiqadi. , munosabatni inobatga olsak, u holda (3) munosabat (2) ni inkor etadi. Shuning uchun sohaning chegarasiga chiqmaydi, ya’ni intervalga davom etadi. U holda yuqoridagiday uchun . Bu esa, da , ekanligini ko‘rsatadi.

Endi ning bog‘lamli to‘plam bo‘lishini isbot qilamiz. Faraz qilaylik, kompakt bo‘lib, bog‘lamli to‘plam bo‘lmasin. U holda uni ushbu ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bunda bo‘lib, , . Bundan tashqari to‘plamlarning har biri ikkinchisining limit nuqtasini o‘zida saqlamaydi. Bu to‘plamlar orasidagi masofani orqali belgilaymiz. kompakt bo‘lgani uchun ham kompakt bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Shunday ketma-ketliklar topiladiki, bular uchun va munosabatlar bajariladi. Umumiylikni buzmagan holda deb hisoblaymiz. Endi va orqali mos ravishda va to‘plamlarning atrofini belgilaymiz. Aytaylik bo‘lsin. Bunda va ochiq to‘plamlar. to‘plam ochiq lekin, bog‘lamli emas. Chunki, . Bundan ko‘rinadiki, va larning nuqtalarini da yotadigan chiziq (yo‘l) bilan tutashtirib bo‘lmaydi. Shunday qilib, har bir k uchun shunday topiladiki, uning uchun , o‘rinli bo‘ladi. Aniqroq aytadigan bo‘lsak, to‘plam limit nuqtaga ega bo‘ladi. Bunday bo‘lishi mumkin emas, chunki , . Bu qarama-qarshilik to‘plamning bog‘lamli ekanini bildiradi.■

tekislikda berilgan muxtor sistema limitik to‘plamining boshqa xossalari ham o‘rganilgan.