Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

6-teorema. Agar sohada funksiyalar barcha argumetlari bo‘yicha xususiy hosilalari chegaralangan bo‘lsa, u holda (1) muxtor sistemaning hech qanday trayektoriyasi chekli vaqtda cheksizga ketib qolmaydi, ya’ni ushbu

munosabat bajarilmaydi. Bu yerda .

Isbot. Teorema shartiga ko‘ra,

, , .

Endi, nuqta atrofida funksiya uchun Lagranj formulasini yozamiz:

, (3)

, , .

Avvalo ifodani baholaymiz:

.

Bundan foydalanib, vektor-funksiyaning modulini baholash mumkin. Haqiqatan ham, (3) formulaga ko‘ra

tengsizlikni olamiz. Bu yerda . Bu tengsizlikdan foydalanib, quyidagi

bahoni olamiz. Faraz qilaylik, intervalda aniqlangan va da cheksizlikka intiluvchi yechim mavjud, ya’ni da ( bo‘lganda ham shunga o‘xshash isbotlanadi). U holda shunday topiladiki, intervalda bo‘ladi. Shuning

uchun intervalda quyidagi

bahoni keltirib chiqaramiz. Bundan

differensial tengsizlik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikni ikki tomonini dan gacha integrallab, quyidagini

,

bahoni topamiz. Ammo da ushbu

tengsizlik o‘rinli bo‘lib, uning o‘ng tomonidagi ifoda musbat chekli sondir. Bu esa farazimizga zid. Demak, chekli vaqtda trayektoriya cheksizga keta olmaydi.■

1-izoh. Aslida yechim chekli vaqtda cheksizga intilmasligi uchun munosabatning bajarilishi ham yetarli shartdir.

Endi holda (1) muxtor sistema yopiq trayektoriyaga ega bo‘lmasligining yetarli shartini bayon qilamiz.

7-teorema. Agar (1) sistema tekislikdagi sohada berilgan bo‘lib, vektor maydon holat tezliklari, potensialli bo‘lsa, u holda (1) sistema sohada yopiq trayektoriyaga ega bo‘lmaydi.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik. Aytaylik (1) muxtor sistema sohada yopiq trayektoriyaga ega bo‘lsin. Holat tezliklar maydoni potensiali bo‘lgani uchun ushbu

tenglik o‘rinli bo‘ladi ( da yo‘nalish soat strelkasiga qarshi). Ikkinchi tomondan, bo‘lsa, va (1) tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda (1) sistemaning davrli yechimi bo‘lib, -yopiq trayektoriyani aniqlaydi. Shuning uchun

ziddiyat kelib chiqadi.■

3-ta’rif. Quyidagi

1) akslantirish sohani sohaga o‘zaro bir qiymatli akslantiradi;

2) Ushbu , va , vektor-funksiya mos ravishda va sohalarda uzluksiz differensiallanuvchi;

3) Ushbu munosabat o‘rinli

,

Shartlarni qanoatlantiruvchi akslantirishga sohada silliq teskarilanuvchi akslantirish deyiladi.

8-teorema. Aytaylik (1) sistemadagi vektor-funksiya sohada uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtada bo‘lsin. U holda nuqtaning atrofi va shunday teskarilanuvchi almashtirish mavjud bo‘lib, shu atrofda (1) sistema

ko‘rinishni oladi. Bundan tashqari (1) sistemaning trayektoriyalari atrofda tog‘ri chiziq kesmalariga o‘tadi. Bunda o‘zgarmas sonlar.