Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Xətti tənliklər sisteminin Kramer üsulu ilə həlli

Əmsalları P meydanından olan n-məchullu n sayda tənliklərdən ibarət sistem

(1)

şəklindədir. Burada

işarələri qəbul etsək, (1) sistemini

AX=B (2)

Matris tənliyi ilə əvəz etmək olar. Asanlıqla göstərmək olar ki:

Təklif: (1) sistemi birgə sistemdirsə, onda (1) sistemi ilə (2) matris tənliyi eynigüclüdürlər.

Doğrudan da, vektoru (1) sisteminin ixtiyari həllidirsə, onda

(3)

bərabərliklər sistemi doğru bərabərliklər sistemidir. Onda yuxarıdakı işarələrə əsasən (3)-dən alarıq

A =B

bərabərliyi doğrudur, yəni vektoru (2) tənliyinin həllidir.Deməli, (2) tənliyi (1)-un nəticəsidir.Tərsinə, vektoru (2) tənliyinin ixtiyari həllidirsə,

Ab=B

doğru matris bərabərlik olar. Buradan alarıq ki, ixtiyari tənliyi üçün

bərabərliklər sistemi doğrudur.Bu isə o deməkdir ki, (1) sistemi (2) matris tənliyinin nəticəsidir. Bu iki nəticədən alırıq ki, təklif doğrudur.Bu təklif imkan verir ki,(1) sistemi əvəzinə (2) tənliyinin həllini tapmaq kifayətdir.

Fərz edək ki, (2) tənliyində A matrisi qeyri məxsusidir, yəni Onda məlumdur ki, var. (2)-nin hər tərəfini soldan vursaq alarıq:

və ya

Deməli, (2) tənliyini həll etmək üçün -i tapmaq kifayətdir. Bilirik ki,

.

Ona görə də alarıq:

Bu isə o deməkdir ki,

Buradan matrislərin bərabərliyinə əsasən alarıq:



(4)




Determinatının sütun elementlərinə nəzərən ayrılışından bilirik ki, -sərbəst hədlər sütunu i-ci sütunda yerləşərsə, həmin determinantı i-ci sütun elementlərinə nəzərən açsaq alarıq:

yəni (13) düsturları aşağıdakı şəkil alar:

Burada ilə A matrsinin i-ci sütununu sərbəst hədlər sütunu ilə əvəz etdikdən sonra alınan matrisin determinantı işarə edilir. Beləliklə alırıq:

Teorem (Kramer) : n-məchullu n sayda xətti tənliklər sistemində əmsallardan düzəldilmiş matrisin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, onda sistemin yeganə həlli var və həmin həll (4) düturları (və ya qısa olsun deyə (5) düsturları) vasitəsilə tapıla bilər.

Qeyd edək ki, (4) düsturlarına və ya (5) sütunlarına Kramer düsturları deyilir.Onda teoremi aşağıdakı şəkildədə ifadə etmək olar.

Teorem (Kramer) : n-məchullu n sayda xətti tənliklər sistemində əmsallardan düzəldilmiş matris qeyri-məxsusidirsə, sistemin yeganə həlli var və həmin həllər Kramer düsturları vasitəsilə tapıla bilər.