Ortiqov ahmadjonning iqtisodchilar uchun matematika fanidan tayyorlagan mustaqil ishi

Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvali
Keltirib chiqarilgan differensiallash qoidalarini va asosiy elementar funksiyalarning hosilalari formulalarini jadval ko‘rinishida yozamiz.
Amalda ko’pincha murakkab funksiyalarning hosilalarini topishga to‘g‘ri keladi. Shu sababli quyida keltiriladigan formulalarda argument oraliq
argumentga almashtiriladi.
Differensiallash qoidalari:
1. differensiallanuvchi funksiyalar;
2. xususan o‘zgarmas son;
3. xususan
4. , agar va ;
5. , agar va .

3.Murakkab funksiyaning hosilasi.
Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar yordamida y=f((x)) murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, x(a,b) da u=(x)(c,d) bo‘lishi talab qilinadi).
Teorema. Agar u=(x) funksiya x(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=(x) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda y=f((x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(f((x)))’=f’(u)’(x) (1)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. u=(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lganligi uchun uning x nuqtadagi orttirmasini (2.1) formuladan foydalanib
u=’(x)x+x (2)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu erda x0 da 0.
Shunga o‘xshash, y=f(u) funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini
y=f’(u)u+u (3)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda u0 da 0.
So‘ngi (3) tenglikdagi u o‘rniga uning (2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo‘yamiz. Natijada
y=f’(u)(’(x)x+x)+(’(x)x+x)= f’(u)’(x)x+(f’(u)+’(x)+)x
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar x0 bo‘lsa, (2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni  bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan = f’(u)’(x)+ va =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi.
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu erda y=u4, u= . Demak, y’=(u4)’ ’= =4u3 =8 .
Amalda (1) tenglikni
yoki yx’=yu’ux’
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan yu’ marta tez, u esa x ga nisbatan ux’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan yu’ux’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni yx’=yu’ux’.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda yx’=yu’ut’tx’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.

2. Teskari funksiyaning hosilasi.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va x(a,b) uchun f’(x)0 bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=, f(b)=. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [;] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=(y) funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti y ga y0 orttirma beramiz. U holda x=(y) funksiya biror x=(y+y)-(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan x0, uzluksizligidan esa y0 da x0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra
, demak xy’=’(y)=1/f’(x) formula o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va y(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(4)
formula bilan ifodalanadi.

4.