MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 31. Göstərməli ki,

burada .

Həlli. Tutaq ki, yuxarıdan məhdud çoxluqdur və işarə edək. Onda aşağıdakı iki şərt ödənir:

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alınır ki,

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq aşağı sərhəddidir, yəni

İndi isə tutaq ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və . Onda, istənilən üçün və ixtiyari ixtiyari üçün elə var ki, . Sonuncu bərabərsizlikdən tapırıq ki, və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə onu göstərir ki, çoxluğu yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni

Misal 32. Tutaq ki, . Göstərməli ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlar olarsa



Həlli. Fərz edək ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlardır və . Onda,

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni

Misal 29-a əsasən buradan nəticə olaraq alırıq ki,

,

Misal 33. Tutaq ki, . aşağıdan məhdud çoxluqlar və olarsa, göstərməli ki,



Həlli. işarə edək. Onda

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, .

Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da aşağıdan məhduddur və onun dəqiq aşağı sərhəddi ədədidir, yəni

.

Nəticə olaraq qeyd edək ki, olduqda və olduğundan,

MÜHAZİRƏ 4
Ədədi ardıcıllıq, onun verilməsi üsulları. Məhdud və qeyri-məhdud

ardıcıllıqlar.
Tərif 1. Əgər hər bir natural ədədinə müəyyən qayda ilə hər hansı həqiqi ədədi qarşı qoyularsa, onda nömrələnmiş

həqiqi ədədlər çoxluğuna ədədi ardıcıllıq və ya sadəcə olaraq ardıcıllıq deyilir.

Ardıcıllıq müxtəlif üsullarla verilə bilər. Onlardan biri analitik üsuldur. Bu zaman ardıcıllığın ümumi həddi düstur şəklində verilir.

Misal 1.

1)

2)

3)

Ardıcıllığın verilməsinin digər üsulu rekurrent (qayıtma) üsuludur. Bu zaman müəyyən həddən başlayaraq ardıcıllığın hər bir həddi özündən əvvəlki bir və ya bir neçə hədlə müəyyən olunur.

Misal 2.

1)

olduqda ,

olduqda ,

olduqda və s.

2)

Bu münasibətə əsasən yaza bilərik:

nəhayət,

3) Fibonaççi ardıcıllığı (və ya ədədləri)

Burada üçüncüdən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki iki həddin cəminə bərabərdir. Bu ardıcıllığı aşağıdakı rekurrent münasibət şəklində vermək olar:

Qeyd edək ki, bəzi hallarda rekurrent münasibət verilmiş ardıcıllığın ümumi həddini tapmaq olur. Məsələn, riyazi induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 1) bəndində verilən ardıcıllığın ümumi həddi şəklindədir.

Ardıcıllığı müəyyən əlamətə əsasən sözlərlə təsvir etməklə də vermək olar.

Misal 3.

1) Sadə natural ədədlər ardıcıllığı: ;

2) Vahid radiuslu çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların tərəflərinin uzunluqları ardıcıllığı;

3) ədədinin təqribi qiymətləri ardıcıllığı:

.

Burada 2) ardıcıllığının ümumi həddinin düsturunu yazmaq mümkün olduğu halda, 1) və 3) ardıcıllıqlarında bu mümkün deyil.

Tərif 2. Əgər elə M ədədi varsa ki, ardıcıllığının hər bir həddi bərabərsizliyini ödəyir, onda bu ardıcıllığa yuxarıdan məhdud ardıcıllıq deyilir.

Elə həqiqi ədədi varsa ki, ardıcıllığının bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir, onda həmin ardıcıllığa aşağıdan məhdud ardıcıllıq deyilir.

Tərif 3. Həm aşağıdan həm də yuxarıdan məhdud ardıcıllığı məhdud ardıcıllıq adlanır, yəni elə və M ədədləri var ki, bərabərsizliyi istənilən üçün ödənir.

Qeyd edək ki, məhdud ardıcıllığa aşağıdakı kimi də tərif vermək olar: elə ədədi varsa ki, ardıcıllığının bütün hədləri

(1)

bərabərsizliyini ödəyir, onda həmin ardıcıllığa məhdud ardıcıllıq deyilir.

Tərif 4. Məhdud olmayan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıq adlanır, başqa sözlə, istənilən müsbət M ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki,

(2)

bərabərsizliyi ödənir, onda ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.

Misal 4. Ardıcıllıqların yuxarıdan məhdud olduğunu göstərin.

1) ;

Deməli, ardıcıllıq yuxarıdan ədədi ilə məhduddur.

2)

olduğundan ardıcıllıq yuxarıdan məhdud ardıcıllıqdır.

3)

. Deməli, ardıcıllıq ədədi ilə yuxarıdan məhduddur.

Misal 5. Ardıcıllıqların aşağıdan məhdud olduğunu göstərin.

1)

Deməli, ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.

2)

. Ona görə də

Baxılan ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.

3)

olduğundan, . Ona görə də .

Deməli, ardıcıllıq aşağıdan ədədi ilə məhduddur.

Misal 6. Ardıcıllıqların məhdud olduğunu göstərin.

1) ;

bərabərsizliyində götürsək, olduğundan, və .

Deməli, , yəni ardıcıllıq məhduddur.

2) ;

.

Digər tərəfdən, olduğunu nəzərə alsaq,

.

Beləliklə, , yəni baxılan ardıcıllıq məhdud ardıcıllıqdır.

3) .

Aldıq ki, . Bu isə onu göstərir ki, verilmiş ardıcıllıq məhdud ardıcıllıqdır.

4)

Bütün toplananlar müsbət olduğundan aydındır ki,

Digər tərəfdən, . Ona görə də,

Beləliklə, , yəni ardıcıllıq məhdud ardıcıllıqdır.

Misal 7. Ardıcıllığın qeyri-məhdud olduğunu göstərin.

1) ;

Göstərək ki, istənilən ədədi üçün elə nömrəsi var ki, (2) bərabərsizliyi ödənir. Doğrudan da,

Deməli, nömrəli hədlər (2) bərabərsizliyini ödəyir. Yəni baxılan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.

2) ;

İstənilən ədədi götürək.

Buradan . Deməli, bərabərsizliyini ödəyən nömrəli hədlər üçün (2) bərabərsizliyi doğrudur. Yəni baxılan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.

3) ;

Riyazi induksiya üsulu ilə göstərək ki,

.

olduqda bərabərsizlik doğrudur:

.

olduqda bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edək. olduqda yaza bilərik:

İxtiyari ədədi götürək. Alınmış nəticəyə əsasən yaza bilərik:

Deməli, bərabərsizliyini ödəyən nömrəyə malik olan bütün hədlər (2) bərabərsizliyini ödəyir. Yəni baxılan ardıcıllıq qeyri-məhdud ardıcıllıqdır.

MÜHAZİRƏ 5
Monoton ardıcıllıqlar.
Tərif 5. Əgər ardıcıllığının hər bir həddi özündən əvvəlki, həddən kiçik (böyük) deyilsə, yəni istənilən n nömrəsi üçün

(3)

bərabərsizliyi doğru olarsa, bu ardıcıllığa azalmayan (artmayan) ardıcıllıq deyilir.

Azalmayan və artmayan ardıcıllıqlar, ümumiyyətlə, monoton ardıcıllıqlar adlanır.

Əgər (3) bərabərsizliyi ciddi ödənərsə, yəni olarsa ardıcıllığı artan (azalan) ardıcıllıq adlanır.

Ola bilər ki, (3) bərabərsizliyi müəyyən nömrəsindən sonra ödənsin. Onda deyilir ki, ardıcıllıq n₀ nömrəsindən başlayaraq monotondur.

ardıcıllığının hədlər çoxluğunun dəqiq yuxarı (aşağı) sərhədinə bu ardıcıllığın dəqiq yuxarı (aşağı) sərhədi deyilir və kimi işarə olunur.

İstənilən üçün bərabərsizliyi ödənərsə, onda -a ardıcıllığının maksimal (minimal) həddi deyilir və kimi işarə olunur. Aydındır ki, əgər ardıcıllığın maksimal (minimal) həddi varsa

Sonlu varlığından varlığı çıxmır. Yəni ardıcıllıq yuxarıdan (aşağıdan) məhdud olduqda belə maksimal (minimal) həddə malik olmaya bilər.

Misal 8. Ardıcıllıqların monoton artan ardıcıllığını göstərin.

1) ;

olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

.

olduğundan, buradan alırıq ki, istənilən n üçün . Yəni baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

2) ;

Göründüyü kimi,

. Onda, .

olduğundan, və deməli, , yaxud . Yəni ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.