Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

Misal . Koşi məsələsini həll edin?

Həlli. İnteqral hesabından məlumdur ki, şərtini ödəyən bütün funksiyalar

formulu vasitəsilə verilir. Burada x=1 , y=2 yazsaq , 2=1+C alarıq.Buradan C=1

y=x²+1 xüsusi həlli verilmiş Koşi məsələsinin həllidir.
Koşi məsələsinin həllinin varlıq və yeganəlik teoremi.
Fərz edək ki, birinci tərtib diferensial tənlik üçün

(1)

(2)

Koşi məsələsinə baxılır. Aşağıdakı təbii sual ortaya çıxır ; (1) və (2) Koşi məsələsinin həmişə həlli vardırmı ? Əgər bu həll vardırsa , həmin həll yeganədirmi ? Bu suala diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin çox mühüm aşağıdakı teoremi cavab verir.

Teorem. Tutaq ki, ƒ(x,y) funksiyası

düzbucaqlısında kəsilməzdir və bu düzbucaqlı daxilində y dəyişəninə görə məhdud xüsusi törəməsi vardır. Beləki,

(3)

əgər

(4)

olarsa , onda parçası daxilində (1) - (2) Koşi məsələsinin yeganə y(x) həlli vardır. Bu halda ∀x∈σ üçün şərti ödənilir.

Dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənliklər.
Fərz edək ki, M(x,y) və N(x,y) funksiyaları müstəvi üzərində hər hansı D oblastdında təyin edilmiş , kəsilməz funksiyalardır. Yuxarıda qeyd etdik ki, birinci tərtib diferensial tənliyi

(1)

şəklində yazmaq olar.

Tərif . Əgər diferensial tənliyi

(2)

şəklində göstərmək olarsa , onda həmin tənliyə dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənlik deyilir. Burada və funksiyaları təyin oblastlarında kəsilməz funksiyalardır.

2. 
   Tənliyinin hər iki tərəfini inteqrallasaq
   

(3)

alınır.

Bircins diferensial tənliklər.

Fərz edək ki, funksiyası hər hansı D oblastında təyin edilmiş funksiyalardır.

Tərif 1. Əgər istənilən t üçün şərti ödənilərsə, onda funksiyasına n tərtibli bircins funksiya deyilir.

Xüsusi halda n=0 olarsa, sıfır tərtibli bircins funksiya alınır. Bu halda alarıq. Əgər sonuncu bərabərlikdə qəbul etsək, alınar. Yəni, sıfır ölcülü bircinsli funksiya nisbətindən asılı funksiyadır.

Indi (1) diferensial tənliyinə baxaq.

Tərif 2. Əgər (1) diferensial tənlikdə P(x,y) və Q(x,y) funksiyaları eyni tərtibli bircins funksiyalar isə , onda bu tənliyə bircins diferensial tənliklər deyilir. Əgər diferensial tənlik şəklində verilmişsə və ƒ(x,y) sıfır tərtibli bircins funksiya isə , onda həmin tənliyi şəklində yazmaq olar. Ona görədə bəzən bircins diferensial tənlik dedikdə elə şəklində başa düşülür.

Əgər verilmiş tənlik bircinsli isə, onda əvəzləməsinin köməyi ilə həmin tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək mümkündür. Doğrudanda

buradan

bu dəyişənlərinə ayrılmış tənlikdir. Əgər isə, onda hər tərəfi inteqrallasaq , olar. Əgər F(u) ilə sol tərəfdəki inteqralın nəticəsi işarə etsək, və ya alarıq. Bu verilmiş tənliyin ümumi həllidir. Burada əvəzləməsini yerinə yazmaq lazımdır.

Tam diferensiallı tənliklər.
Fərz edək ki, birtərtibli aşağıdakı diferensial tənliklər verilmişdir ;

(1)

Tərif. Əgər (1) diferensial tənliyinin sol tərəfi x və y –dən asılı hər hansı u(x,y) funksiyasıının tam diferensialı olarsa , yəni onda (1) tənliyinə tam diferensiallı tənlik deyilir.

Bu halda (1) tənliyini

(2)

şəklində yazmaq olar. Bu tənliyin ümumi inteqralı

(3)

olar. Əgər (1) tənliyinin sol tərəfinə daxil olan M(x,y) və N(x,y) funksiyaları

(4)

şərtini ödəyirsə , onda (1) tənliyi tam diferensiallı tənlik olar.

Bu halda ifadəsinin tam diferensial olduğu u(x,y) funksiyası

(5)

kimi tapılır. Tənliyin ümumi inteqralı isə

və ya (6)

kimi tapılır.

Misal .

Burada (4) şərti ödənilir.

Tənliyin ümumi inteqralını almaq üçün qəbul edərək (6) formulasından istifadə edirik.



Birtərtibli xətti diferensial tənliklər.
(1)

şəklində tənliklərə xətti diferensial tənliklər deyilir. Göründüyü kimi axtarılan funksiya y və onun y^ı törəməsi bu tənliyə birinci dərəcədən daxildir. Burada p(x) və q(x) funksiyaları müəyyən (a, b) intervalında kəsilməz funksiyalardır. Əgər (1) tənliyində q(x)=0 olarsa ,

(2)

tənliyinə bircins xətti tənlik deyilir.

(2) Tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənlikdir.

Burada hər tərəfi inteqrallasaq , alarıq ;

(3)

Bu (2) xətti bircins tənliyinin ümumi həllidir.

Misal . 1.

Bu tənliyin ümumi həllidir.

Misal .2.



Bircins olmayan xətti tənliyin həllinin quruluşu.
Bircins olmayan

(1)

tənliyinə baxaq . Fərz edək ki, bu tənliyin hər hansı xüsusi y₁ həlli məlumdur. (2)

y=y₁+z qəbul etməklə yeni z dəyişəni daxil edək .

Onda alarıq . Əgər (2) eyniliyini nəzərə alsaq

(3)

tənliyini alarıq . Göründüyü kimi bu tənlik (1) tənliyinə uyğun bircins tənlikdir. Onun ümumi həllinin tapılması üsulunu yuxarıdan göstərmişik . Həmin ümumi həlli

(4)

kimidir. Burada C - ∀ sabitdir. Bunu nəzərə alsaq

(5)

alarıq. (5) düsturu ilə təyin edilən y funksiyası (1) qeyri-bircins tənliyinin ümumi həllidir.

Bernulli tənliyi.
(1)

şəklində tənliyə Bernulli tənliyi deyilir. Burada m istənilən həqiqi ədəddir. Əgər m=0

olarsa , tənlik qeyri-bircins xətti tənliyə , m=1 olarsa , xətti bircins tənliyə çevrilir.

Bernulli tənliyini aşağıdakı qayda ilə xətti tənliyə gətirmək və ümumi həllini yazmaq olar

(1) -in hər tərəfini ə bölək ;
(2)
əvəz edək. Onda və olar.Bunları (2) tənliyində nəzərə alsaq
(3)
göründüyü kimi (3) qeyri-bircins xətti tənlikdir. Onun ümumi həllini yaza bilərik ;
(4)
Əgər yenidən y dəyişəninə qayıtsaq , Bernulli tənliyinin ümumi həllini alarıq ;
(5).


Misal .1.
tənliyini həll edin . Tənliyin hər tərəfini y³-ə bölək ;

Bu tənlik z dəyişəninə nəzərən xətti tənlikdir. Onun ümumi həllini (4) düsturuna əsasən

tapa bilərik. ; P(x)=-2x , q(x)=-2x olduğunu nəzərə alaraq (4) ifadəsinə daxil olan

inteqralları hesablayaq. ;

Onda

Buradan

Ədəbiyyat .

<sub>R. Məmmədov Ali Riyaziyyat kursu ” I ,II ,III , h. B-1984.

N. S. Piskunov “ Diferensial və inteqral hesabı ” I ,II , 1971

K. N . Berman “ Riyazi analizdən məsələlər ” B-1966.

Б. П. Демидович . « Задача и упражнения по математическому анализу ». М. Наука, 1978.

Н. Ш. Кремер . « Высшая математика для экономистов. Учебник М.2010.

Н.Ш.Кремер. Высшая математика для экономистов. Практикум М.2010.

П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова - Высшая математика в упражнениях и задачах 1, II ч. М., «Высшая школа » , 1999.

Л. Кудрявичев. Математический анализ. Т. I, II, М., «Высшая школа » 1973.

Q. Əhmədov , Adi diferensial tənliklər kursu . Bakı, Maarif, 1978.

V. Y. Qmurman . Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika məsələlərinin həllinə dair rəhbərlik. Bakı , Maarif, 1980.

Ə.Ə. Şahbazov. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika . Bakı, 1973.</sub>