Mustaqil ish Mavzu: Chiziqli operatorlarning berilgan bazasida ifodalash. Chiziqli operatorlarning turlari

Unitar fazolarda chiziqli operatorlar va o’z-o’ziga qo’shma operatorlar.
L- unitar fazo va , chiziqli operatorlar bo’lsin.
Ta’rif. Agar har qanday uchun (1) tenglik bajarilsa, g operator ga qo’shma deb ataladi.
Agar operator uchun qo’shma operator mavjud bo’lsa, u yagona. Haqiqatan, agar g va h operatorlar ga qo’shma bo’lsa, u holda (1) bilan birga har qanday uchun tenglik ham o’rinli. Bu tengliklardan har qanday uchun tenglikni olamiz.
1. Darhaqiqat .
2. . Darahaqiqad,
3. Har qanday uchun . Darhaqiqat
4. . Darhaqiqad
5. Agar chiziqli operatorning teskarisi mavjud bo’lsa, u holda operatorning ham teskarisi mavjud va , darhaqiqat , chunki . Shunga o’xshash .
Teorema. Chekli o’lchamli unitar fazoda har qanday chiziqli f operator uchun qo’shmasi mavjud.
Agar va lar f va operatorlarning ortonormal bazisdagi matrisalari bo’lsa, u holda bo’ladi.
Isbot. A-chiziqli f operatorning ortonormal bazisidagi matrisasi bo’lsin:

Bu bazisda matrisaga ega bo’lgan chiziqli operatorni g orqali belgilatmiz:

Bichiziqli va formulalarni olamiz. Har bir va uchun

Tengliklardan , ya’ni barcha uchun tenglikni olamiz. Demak, .
Evklid fazosidagi o`z-o`ziga qo`shma chiziqli operatorlar.
1-ta`rif. L(V,V ) dagi A* operator A chiziqli operatorga qo`shma deyiladi, agarda V dagi ixtiyoriy x va y lar uchun (1) munosabat bajarilsa. Ko`rish qiyin emaski, А chiziqli operatorga qo`shma operator ham chiziqli operator bo`ladi.
1- teorema. Har qanday А chiziqli operator yagona qo`shma operatorga ega. Qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

2-ta’rif. L(V,V ) dagi A chiziqli operator o`z- o`ziga qo`shma operator deyiladi, agarda A*= A bo`lsa.
Teorema. A -V evklid fazosidagi chiziqli operator bo`lsin, u holda ifodalanish o`rinli, bunda va lar o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan operatorlar, ular mos ravishda A operatorning haqiqiy va mavhum qismi deyiladi. A va B operatorlar kommutasiyalanadigan operatorlar deyiladi, agarda AB= BA bo`lsa.
Teorema. A va B o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan operatorlarning AB ko`paytmasi o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lishi uchun A va B operatorlar kommutasiyalanadigan bo`lishi zarur va etarli.
Teorema. Agar А o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda ixtiyoriy uchun (Ax, x)- skalyar ko`paytma haqiqiy son bo`ladi.
Teorema. O`z-o`ziga qo`shma operatorning xos qiymatlari haqiqiy sonlar bo`ladi.
Teorema. Agar А-operator o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda har xil xos qiymatlariga mos xos vektorlari o`zari ortogonal bo`ladi.
Teorema.Chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli f peratorning o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlari haqiqiy bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Chiziqli f operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lsin. U holda , ya’ni normal. Normalligi sababli L da uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazisi bor. Bu bazisda va operatorlarning matrisalari

Ko’rinishga ega. Ushbu munosabatni ya’ni , tenglik kelib chiqadi. Demak lar haqiqiy. Aksincha, ning normalligi va barcha larning haqiqiyligidan va demak kelib chiqadi.
Teorema. Unitar L fazoda har qanday chiziqli operator ko’rinishda ifodalanishi mumkin, bu yerda g, h o’-o’ziga qo’shma opeatorlar.
Isbot. Ushbu , belgilashlar kiritib, , , munosabatlarni olamiz.
Chiziqli operatorning o’z-o’ziga qo’shmaligi bichiziqli formaning ermitligiga teng kuchli: agar bo’lsa, u holda , aksincha, dan ya’ni kelib chiqadi.
Agar chiziqli operator uchun - uning xos vektorlaridan iborat basis bo’lsa, u holda
Shunday qilib, bu bazis uchun kanonik. Ikkinchi tomondan chekli o’lchamli unitar L fazosidagi har qanday bichiziqli forma ko’rinishida ifodalanishi mumkin, bu yerda chiziqli operatorning matrisasi formaning matrisasiga transportirlangan. Bu mulohozalar bilan quyidagi tasdiq isbotlandi.
Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazoda har qanday ermit bichiziqli forma uchun ortonormal kanonik basis mavjud.
Natija. Agar chekli o’lchamli kompleks L fazoda ikkita ermit va formalar berilgan va ularning biri musbat bo’lsa, u holda ular L da umumiy kanonik bazisga ega.
Isbot. Aniqlik uchun musbat bo’lsin. Bu holda L da tenglik yordamida skalyar ko’paytma kiritamiz. Yuqoridagi teoremaga ko’ra L da uchun ortonormal kanonik basis mavjud. Bu basis uchun ham kanonik, chunki