Mustaqil ish Mavzu: Chiziqli operatorlarning berilgan bazasida ifodalash. Chiziqli operatorlarning turlari

O’zaro teskari chiziqli operator
maydon ustidagi fazo va uning _{(1) bazis berilgan bo’lsin.}
chiziqli operatorni va uning (1) bazisdagi
Matrisasini olamiz. Bu matrisaning detriminanti A ga mos operatorning ham detriminanti deyiladi.
1-ta’rif. detriminant noldan farqli bo’lganda chiziqli operator xosmas operator, =0 bo’lsa xos operator deb ataladi.
2-ta’rif. chiziqli operator uchun shunday chiziqli operator mavjud bo’lib,
(2) tenglik bajarilsa, ni ga teskari operator deyiladi.
(2) tenglikdan quyidagini topamiz: vektor uchun . Endi bo’lsa, u holda bo’ladi, ya’ni operator ni ga akslantirsa, teskari operator, aksincha, ni ga akslantiradi.
Isboti. Zarurligi. ga teskari operator mavjud bo’lsa, bajariladi. U holda , , larga asosan, . Bunda A,B,E lar kvadrat matrisalar bo’ladi. Matrisalar ko’paytmasining detriminanti bu matrisalar determinantlarning ko’paytmasiga teng bo’lgani uchun tenglikdan , ya’ni xosmas operator ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. xosmas operator, ya’ni bo’lsa, A ga teskari
matrisa mavjud bo’ladi.
_Endi matrisaga mos chiziqli operatorni olsak, ga muvofiq _{, ya’ni ga teskari operator mavjudligi ma’lum bo’ladi.}
ga teskari operator ko’rinishida belgilanadi. operator o’z navbatida ga teskari chunki moslik ga olib boradi.
_{A ga teskari matrisaning yagonaligidan ga teskari operator ham yagona degan xulosaga kelamiz.
va lar o’zaro teskari chiziqli operatorlar deyiladi.
Natija. Xosmas chiziqli operatorlar to’plami operatorlar kompozitsiyasi (ko’paytirish amali)ga nisbatan grupa tashkil qiladi.
Xosmas chiziqlioperatorlar to’plami hosil qilgan gruppa odatda GL(n) ning qism gruppalari quyidagi turlarga bo’linadi:}

1. 
   _{Chekli qism gruppalar;}
   
2. 
   _{Diskret qism gruppalar (elementlari soni sanoqli bo’lgan qism gruppalar).}
   

_{Bunday qism gruppaga tekislikning koordinata boshi atrofida} burchaklarga burishdan hossil bo’lgan gruppa misol bo’ladi (bu yerda burchak burchak bilan o’lchovdosh bo’lmagan burchakdir);

3. 
   _{Uzluksiz qism gruppalar (elementlari soni sanoqli to’plam elementlari sonidan ortiq bo’lgan qism gruppalar).Uch o’lchovli fazoning qo’zg’almas o’q atrofida burushdan hosil qilingan qism gruppa uzluksiz qism gruppa bo’ladi.}
   

Misol. Uch o’lchovli arifmetik fazoning 3 bazisi va operatorlari berilgan. xosmasoperator, chunki,
Demak,
Shunday qilib, ga teskari operator mavjud bo’lgani holda uning (3) bazisdagi matrisasi bo’lib, bu xos matrisadir.