Xosmas integrallar

Mavzu: BIRINCHI VA IKKINCHI XOSMAS INTEGRALLAR.

Reja.

1. 
   §Birinchi jins xosmas integrallar.
   
2. 
   §Birinchi jins xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari.
   
3. 
   §Ikkinchi jins xosmas integrallar.
   
4. 
   §Ikkinchi jins xosmas integrallarni hisoblash.
   

XULOSA
Foydalangan adabiyotlar

XOSMAS INTEGRALLAR

Aniq integralning ta‟rifida integralning chegaralari chekli, integral ostidagi funksiya esa [a,b] kesmada chegaralangan bo‟lishi talab etiladi. Agar bu shartlardan birontasi bajarilmasa ta‟rif ma‟nosini yo‟qotadi. Bunday hollarda aniq integral ta‟rifini umumlashtirish mumkin, natijada xosmas integrallar tushunchasiga kelamiz.

Birinchi jins xosmas integrallar.

Ta’rif:

A
Aytaylik f(x) funksiya [a,∞) oraliqda berilgan bo‟lib, _
a


f ( x ) dx
integral mavjud

bo‟sin, bunda A>0. U vaqtda, agar ushbu chekli limit mavjud bo‟lsa, ya‟ni

A

^lim 

A    _a


f ( x ) d x 
^J , (1)

bunda J-chekli son, u holda buni birinchi jins xosmas integral yoki f(x) funksiyaning [a,∞) oraliqda xosmas integrali deyiladi va


J  _
a


f ( x ) dx

(2)

simvol bilan belgilanadi. Bu holda (2) xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar (1) limit mavjud bo‟lmasa yoki limit cheksizga teng bo‟lsa, u holda (2) xosmas integral uzoqlashuvchi yoki mavjud emas deb ataladi. Xuddi shuningdek quyidagi integrallar qaraladi:

a a

_ f ( x ) dx  _{lim 
} A    _A
f ( x ) dx
(3)

  a
_ f ( x ) dx  _
 
f ( x ) dx  _


f ( x ) dx

(4)

    a

bularda a- ixtiyoriy son.

Xosmas integral aniq integralning limiti sifatida aniqlanganligi uchun aniq integralning ko‟p xossalari xosmas integral uchun ham bajariladi. O‟rta qiymat haqidagi teorema o‟z kuchini yo‟qotadi. Birinchi jins xosmas integralni

,
hisoblash ta‟rifga asosan amalga oshiriladi. Haqiqatan ham, agar F(x)-funksiya f(x) funksiya uchun boshlang‟ich funksiya bo‟lsa, u holda

a
bunda

_ f ( x ) d x 
a
A
^lim 
A    _a


f ( x ) d x 
lim
A   

[ F ( A )  F ( a )]  F (   )  F ( a )  F ( x ) ^

F (   )  _lim
A   
F ( A ) _.

Shunday qilib, (2) xosmas integralni hisoblash uchun ushbu umumlashgan Nyuton-Leybnits formulasini hosil qilamiz:

Xuddi shuningdek,


_ f ( x )d x 
a


F (   )  F ( a )
(5).

a
_ f ( x ) d x 
F ( a )  F (   ) ,

bunda
F (   )  _lim F ( A ) .

A   

_ f ( x ) dx 



F (   )  F (   ) _,

Misollar:


1. _{ e}
0

• 
  ax
  

d x ( a

• 
  0 )
  

xosmas integral hisoblansin.

Yechish: Ta‟rifga asosan


  x
 ^e
0


A

 ^e

.0
d x  _lim
A   


  x
1


d x  _lim [ 
A   

• 
   x _A
  

]


e ^

1


 _lim [ 
A   


  A
( _e


  0

• 
  _e
  

1
)]  

lim ⁽ e
A   


  A
1
 1) 


Javob: Xosmas integral yaqinlashadi.


2. _
xd x
2

integral tekshirilsin

₁ 1  _x

Yechish:

Ta‟rifga asosan
A
^lim 
xd x

2
1
_lim [ ln (1  _x


)] 
1
_lim [ ln (1 


_A )  ln 2 ]   

A    ₁ 1  _x
Javob:Integral uzoqlashadi.
² A   
² A   

3.  ning qanday qiymatlarida tekshirilsin.
Yechish: Ta‟rifga asosan

dx
_{ } ( a
a _x

• 
  0 )
  

xosmas integralning mavjudligi

A

d x d x 1
1   A ¹
1  
1  
_{ a} 1  
 ^,


 _x ^
lim
A    _x ^

1  
lim ( x
A   
) 

a
1  
lim ( A
A   
 a )  _{   1}
a g a r  1


^{a a }   ,
agar  1

Javob:   1 bo‟lsa, integral yaqinlashadi,

  1

bo‟lsa, integral uzoqlashadi. Bu misoldan

birinchi jins xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‟lishi belgilarini keltirib chiqarishda foydalanamiz.

Birinchi jins xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari.

Ba‟zi hollarda funksiyaning boshlang‟ich funkiyasini topib bo‟lmaydi. Bunday vaqtda xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‟lishini aniqlash uchun boshlang‟ich funksiyani axtarmasdan ma‟lum bir belgilarga murojat qilishga to‟gri keladi. Birinchi jins xosmas integralni yaqinlashishini yoki uzoqlashishini tekshirish uchun yetarli shartni ifodalovchi quyidagi belgini keltiramiz.
Teorema: (Yaqinlashish belgisi) Aytaylik f(x) funksiya

[ a ,  )
oraliqda uzluksiz va musbat bo‟lsin, ya‟ni

f ( x )  0 . U vaqtda, agar [ a ,  ) oraliqda


M
f ( x )  ₍₆₎
x_

tengsizlik bajarilib,   1 bo‟lsa, u holda



a

xosmas integral yaqinlashadi; agar

f ( x ) d x

(7)

M
f ( x ) 
_x 
(8)

tengsizlik bajarilib,
  1
bo‟lsa, u holda (7) xosmas integral uzoqlashadi, bunda

a  0 , M-qandaydir o‟zgarmas son.

Isbot:

f(x) funksiya musbat bo‟lganligi uchun yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan quyidagi aniq integral

A
Ô ( A )  _
a


f ( x ) d x
(9)

yuqori chegara A ga bog‟liq bo‟lgan o‟suvchi funksiyani ifodalaydi. (6) tengsizlikka asosan quyidagi kelib chiqadi:

Ô ( À ) 
A A



M
_ f ( x ) dx  _{ x }


dx  M

dx
 _x ^
M

  1
 ^{1  } ,   1

a a a

Demak, (9) funksiya yuqoridan chegaralangan. Ma‟lumki agar funksiya o‟suvchi va yuqoridan chegaralangan bo‟lsa, u holda

A   chekli limitga ega bo‟ladi, ya‟ni

A


lim
A  


f ( x ) dx 

_ f ( x ) dx

a a

integral mavjud bo‟ladi. Demak, (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar (8) tengsizlik bajarilsa, u holda

a A A
M d x

Ô ( A )  _
f ( x ) d x  _{ x } d x  M
 _x ^

A a a

bo‟ladi

Bu esa


a  1
A


bo‟lganda esa ^lim
A   
a
dx
  
_x 

dir.

lim Ô ( A ) 

A  



lim
A   



f ( x ) d x   

ekanligini anglatadi. Demak, (7) xosmas integral uzoqlashadi. Teorema ibotlanadi. Bu isbotlangan teoremadan amaliyotda tatbiq qilinadigan xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‟lishini ta‟minlovchi quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi.
Yaqinlashish uchun yetarli belgi. Aytaylik [a,∞) oraliqda f(x) funksiya musbat

va uzluksiz bo‟lsin . Agar

  1

bo‟lib, ushbu

lim x ^
x   
f ( x )  J
(10)

chekli limit mavjud bo‟lsa, u holda (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar bo‟lib, ushbu
  1

lim x^
x   
f ( x )  J  0
(11)

chekli yoki cheksiz limit mavjud bo‟lsa, u holda (7) xosmas integral uzoqlashadi.