Xosmas integrallar

Misollar:

1
dx

1. 
   Ushbu integral tekshirilsin: _ .
   

0


Yechish: x=1 maxsus nuqta.

1 1 1
f ( x )    :
bundan

1  x ³

1

1  x


1
1  x  x <sup>2


1</sup> 1 1 1

(1  x ) ²
f ( x )  , lim (1  x ) ²
f ( x )  lim  ;
   1

1  x  x ²
x  1
x  1
1  x  x ^{2 2}

bo‟lgani uchun integral yaqinlashadi.

2. 
   
   0
   
   1
   Ushbu integral tekshirilsin: ^dx
   

Yechish: x=1 maxsus nuqta

1
f ( x )  



^ 1  x ³
1
_; 1

_{3 2 }1  x _ f ( x )  _,

1  x
(1 
x )(1 
x  x )
1  x  x ²

1 1
lim (1  x ) f ( x )  lim  ;

  1

bo‟lgani uchun integral uzoqlashadi.

x  1
^{x  1} 1  x  x ² 3

Ikkinchi jins xosmas integralni hisoblash.

Aytaylik, f(x) funksiya [a,b) yarim segmentda aniqlangan va uzluksiz bo‟lib, x=b nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo‟lsin. U vaqtda f(x) uchun ana shu yarim segmentda boshlang‟ich funksiya F(x) mavjud bo‟lib, Nyuton- Leybnits formulasiga asosan

b
_ f ( x ) d x 
a


F ( b

  ) 

f ( a )
(21)

tenglikka ega bo‟lamiz. Bundan esa ushbu

integral mavjud bo‟lishi uchun ushbu

b
_ f ( x ) d x
a

ikkinchi jins xosmas

lim F ( b  s ) 
  0
F ( b )
limitning mavjud va chekli bo‟lishi talab etiladi. (21)

tenglikda   0 da limitga o‟tib, ushbu

_b '
_ f ( x ) d x  F ( b )  F ( a )
a
(22)

Nyuton-Leybnits formulasini hosil qilamiz.

Eslatma: (22) formula maxsus nuqta integrallash oralig‟ining ichki nuqtasi bo‟lganda ham o‟rinli bo‟ladi. Shuni esda saqlash mumkinki, boshlang‟ich
funksiya _ a ; b _ segmentda uzluksiz bo‟lishi kerak. Ana shunday boshlang‟ich

funksiyani mavjud bo‟lishi xosmas integralning ham mavjud bo‟lishini ta‟minlaydi. Agar boshlang‟ich funksiya [a;b] segmentning bitta nuqtasida ikkinchi jins uzilishga ega bo‟lsa, u holda xosmas integral mavjud bo‟lmaydi. Shunday qilib chegaralanmagan funksiyadan olingan integralni Nyuton- Leybnits formulasi bo‟yicha hisoblash uchun F(x) funksiya [a,b] segmentda

uzluksiz bo‟lishi kerak, hamda f(x) chekli bo‟lgan nuqtalarda tenglik bajarilishi zarur

1. 
   misol. Ushbu
   

F '( x ) 
f ( x )

27
dx

 1


integral hisoblansin.

Yechish: x=0 maxsus nuqta. Boshlang‟ich funksiya


F ( x )  3 ³ x
integrallash

oraligi [-1,27] da uzluksiz. Shuning uchun (22) formulani qo‟llash mumkin:

 1

27
_ ^dx  3 ³ x
 1


²⁷  3 ( 3  1)  1 2

2. 
   
   1
   misol. Integralning yaqinlashishi tekshirilsin
   

dx _.

Yechish:

^ 1 _x ²
x  0 maxsus nuqta. Boshlang‟ich funksiya

1
^F  ^x  ^{ }
x
x  0

nuqtada ikkinchi jins uzulishga ega. Shuning uchun xosmas integral uzoqlashadi va qiymati cheksizga teng. Agar biz buni e‟tiborga olmay (22) formulani tatbiq qilsak

 1
^dx  (  ¹ ) ¹
  1  1   2
noto‟g‟ri xulosa kelib chiqadi.

x

x
_{ 2}  1
 1

1. 5-§ Absalyut va shartli yaqinlashuvchi xosmas integrallar.

Quyidagi birinchi jins xosmas integralni qaraymiz:


_ f ( x )d x
a
(1)

Ma‟lumki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‟lishi uchun
A
F ( A )  _
a


f ( x ) d x

funksiya A   da chekli limitga ega bo‟lishi kerar.F(A) funksiya A   da chekli limitga ega bo‟lishi uchun quyidagi Koshi shartining bajarilishi zarur va

yetarlidir:    0
uchun shunday
 B  
bo‟lsaki, B dan katta bo‟lgan ixtiyoriy

A₁ va A₂ sonlar uchun

2 1
F ( A )  F ( A ) 
A_2
 f ( x ) d x  
A₁

tengsizlik bajariladi. Xosmas integral yaqinlashishi uchun Koshi kriteriysi (1)

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‟lishi uchun


   0
uchun shunday

 B  

bo‟lsaki, B dan katta bo‟lgan ixtiyoriy A₁ va A₂ sonlar uchun
A _2
 f ( x ) d x  
A₁
(2)

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Aytaylik f(x) funksiya [a,A] kesmada integrallanuvchi bo‟lsin.

1. 
   tarif. Agar
   


_  ^{f ( x )}  ^{d x}
a

3. 
   integral yaqinlashuvchi bo‟lsa (1) xosmas integral
   

absalyut yaqinlashuvchi deyiladi.

2. 
   tarif. Agar (1) integral yaqinlashuvchi bo‟lib, (3) integral uzoqlashuvchi bo‟lsa, u holda (1) xosmas integral shartli yaqinlashadi deyiladi.
   

1-teorema. Aytaylik [ a ,  )
oraliqda


f ( x )
 g ( x )

(4)

tengsizlik o‟rinli bo‟lsin U vaqtda



g ( x ) d x
a
(5)

integralning yaqinlashishidan (1) integralning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Isbot. Aytaylik (5) integral yaqinlashuvchi bo‟lsin. U vaqtda Koshi- kriteriysiga asosan

A _2
 g ( x ) d x  
A₁

tengsizlik bajariladi. (4) ga asosan

(6)

A ₂




A ₂
f ( x ) d x 
A 1
A₁


f ( x ) d x
A ₂
 _ g ( x ) d x 
A₁


A 2


g ( x ) d x  
A 1

kelib chiqadi va Koshi-kriteriysiga asosan (1) integral yaqinlashadi.

Eslatma. 1-teoremada


g ( x ) 


f ( x )
deb olinsa xosmas integralning absalyut

yaqinlashishidan integralning o‟zini yaqinlashishi kelib chiqadi. Xosmas integralning shartli yaqinlashuvchi bo‟lishi haqidagi teoremani keltiramiz.

2. 
   teorema (Dirixle-Abel belgisi). Aytaylik, quyidagi shartlar bajarilgan bo‟lsin:
   

1. 
   f(x) funksiya [ a ;  )
   

funksiyaga ega bo‟lsin;
oraliqda uzluksiz va chegaralangan F(x) boshlang‟ich

2. 
   g(x) funksiya [ a ,  ) oraliqda aniqlangan bo‟lib, monoton o‟suvchi
   

bo‟lmasin, hamda ^lim
x   
g ( x )  0
bo‟lsin;

3) g ^' ( x )
^funksiya  ^{a , } 
da uzluksiz bo‟lsin. U vaqtda

xosmas integral yaqinlashadi.


_ g ( x ) f ( x ) d x
a

(7)

1 2
Isbot: Ixtiyoriy [ A , A ] kesmada, bunda A₂ > A_1,

 ^A ₁ ^{, A} ₂  ^  ^{a , }  ^,
ushbu
A₂


f ( x )g ( x ) dx
A₁
integralni bo‟laklab integrallaymiz:

A
² _ u 
g ( x ) , d u 
g '( x ) d x _ ²

A
f ( x ) g ( x ) d x 
  ^
F ( x ) g ( x )
A _{2 }
F ( x ) g '( x ) d x


^ d v 
A₁
f ( x ) d x , v 
F ( x ) _
A_{1 } (8)
A₁

Teorema shartiga ko‟ra boshlang‟ich funksiya F(x) chegaralangan, ya‟ni

F ( x )
 K .
g ( x )
^{funksiya esa o‟suvchi bo‟lmasdan} x   ^{da nolga}

yaqinlashganligidan
^g  ^x  ^{ 0 , g '( x )  0}
kelib chiqadi, (8) ni baholaymiz:

A_2
 f ( x ) g ( x ) d x
A₁

 K [ g ( A )  g ( A

)]  K

A2 (  g ^' ( x )) d x 


A₁

1 2

1
 K [ g ( A ) 
g ( A )] 
K [  g ( A ) 
g ( A )] 
2 K g ( A₁ )

2

2

1
kelib chiqadi. Demak,

A_2
 f ( x ) g ( x ) d x
A₁

 2 kg ( A )

(9)

1
^{  ixtiyoriy musbat son bo‟lsin.} x   ^da
g ( x )  0
bo‟lgani uchun ^

1
bo‟yicha B sonni shunday tanlaymizki, natijada

tengsizlik bajariladi. Bunga asosan (9) dan

A  B
bo‟lsa,


1
g ( A ) 
2 K

A _2
 f ( x ) g ( x ) d x  
A₁

kelib chiqadi va Koshi-Kriteriysiga asosan (7) integralning yaqinlashishi ta‟minlanadi. Teorema isbot bo‟ldi. (Peter Gustav Lejen-Dirixle-nimis matematigi, 1805- 1859; Nilrs Genrix-Abelr-Norveg matematigi, 1802-1829) 1-misol. Ushbu


s in x

x
 ^
1


dx ,

  0

integralni tekshiramiz.
1
f ( x )  s in x , g ( x ) 
_x 
desak, 2-teorema shartlari

bajariladi. Shuning uchun integral yaqinlashadi. 2-misol. Frenel integralini qaraymiz:


_ s in x ² d x
0

  

x
_ s in x ² dx  _ x  s in x ^{2 1} dx
integralda

1 1
f ( x )  x  s in x ² ;

1
g ( x ) 

x

desak, 2-teorema shartlari bajariladi. Shuning uchun Frenel integrali yaqinlashadi.

2. 
   misol
   


_ ño sx ² d x
0
ham yaqinlashadi. Frenel integrallari fizikaning yorug‟lik

hodisalari va uning qonunlarini tekshiriladigan bo‟lim-optikada tatbiq qilinadi. (Ogusten Jan-Frenel-Fransuz fizigi,1788-1827)

2. 
   misol
   


s in x
dx

integralning absalyut yaqinlashishi tekshirilsin. Ixtiyoriy

x  [1,  )
^ 1  x ²

1
uchun

bo‟ladi. Aniqki,


1  x ²

1

1  x ²



1
dx

integral yaqinlashadi. Bundan
^ 1  x ²




1
^ 1  x ² dx
integralning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, berilgan integral absalyut yaqinlashadi.

2. 
   misol. Ushbu
   


ño sx

x
_{ 2} dx
1

integral absalyut yaqinlashadi. Haqiqatdan ham ixtiyoriy


x  [1;  ]
uchun

tengsizlik o‟rinli va
1
 
_x 2 _x 2


dx

x
 ²
1

integral yaqinlashadi. Demak, berilgan integral absalyut yaqinlashadi. Umuman,


_ f ( x ) d x
a

integral yaqinlashishidan


_ f ( x ) d x

a

integralning yaqinlashishi kelib chiqmaydi. 6-misol. Ushbu


s in x

x
_ dx
0

integral tekshirilsin. Berilgan integralni quyidagi ko‟rinishda yozamiz:


s in x
 _x


a
d x  _
s in x x

d x  _
s in x x


d x ;


a  0

0 0 a

s in x
f ( x ) 
x
funksiya [0,a] oralig‟da uzluksiz va chegaralangan bo‟lganligi

uchun birinchi integral mavjud.
^f  ^x  ^{ s in x , g ( x )  1}
x
desak, Dirixle-Abel

teoremasiga asosan ikkinchi integral ham yaqinlashadi. Demak, berilgan integral yaqinlashadi. Barcha x lar uchun
s in ² x 1  c o s 2 x 1 1  c o s 2 x
   
x x 2 x 2 x 2 x


tegsizlik o‟rinli. ^dx


uzoqlashadi;
^ co s ² x
-yaqinlashadi. Shunday qilib,

x

x
_  _ dx
a a



x
_ dx
a
integral uzoqlashadi. Berilgan integral shartli yaqinlashadi.

Amaliyotda tadbiq qilinadigan teoremani keltiramiz.

3. 
   teorema. Aytaylik f(x) va  ( x )
   

Agar
funksiyalar [ a ,  )
oraliqda musbat bo‟lsin.

lim
f ( x )

,
 K

bunda 0  K

x    _{ ( x )}

  bo‟lsa, u holda


_ f ( x ) d x
a

va _  ( x ) d x
a

integrallar bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. 7-misol

a
^ _x 2

integral tekshirilsin.
^ x ⁴  5 x  1 dx
_{x 2 1}

u holda
f ( x ) 
;
x ⁴  5 x  1
f ( x )
 ( x ) 
_x 2


_x 4
desak,

lim
^{x  }  ( x )
 lim  1
^{x  } x ⁴  5 x  1


bo‟ladi. ^dx

yaqinlashuvchi integral bo‟lganligi uchun berilgan integral ham

x
 ²
1

yaqinlashadi.

3.