Xosmas integrallar

1-natija:  a  ( 0 ;1)
uchun
à ( a ) à (1  a ) 

s in 
(12)

bo‟ladi. Haqiqatan ham (10) formulada


b  1  a ( 0  a  1)
deyilsa, unda,

B ( a , 1  a ) 
à ( a )  à (1  a )


à (1)

bo‟lib, (3) va
à (1)  1
munosabatlarga muvofiq

à ( a )  à (1  a ) 

s in a
 ( 0  a  1) .

Odatda (12) formula keltirish formulasi deb ataladi. Xususan, (12) da a  ¹
2
olsak, unda
deb

2- Natija; Ushbu
1
1
à ( )
2
 bo‟lishini topamiz.

à ( a )  à ( a 
)   Ã ( 2 a )( a  0 ) _{2 2} 2 a  1

10. 
    formula o‟rinlidir. Shuni isbotlaymiz (10)
    

munosabatda a=b deb
bo‟lishini topamiz. So‟ngra
B ( a , a ) 


à ( a )  à ( a )


à ( a )

 
^{1 a  1 1}  ^{1 1} ₂ 
B ( a , a )  _ x (1  x ) dx  _  (  x )
a  1
¹  ^{1 1} 
dx  2 _ ²  (  x ) ²
a  1
dx

_{0 0}  _{4 2}  ₀  _{4 4} 

integralda ¹  x  ¹
   
t almashtirishni bajarib

2 2


B ( a , a )  2


¹  ¹ 
(1  t )


a  1 ₁
1 ^ 1
  t ² d t 

1
₁ 

t 2 (1  t ) ^{a 1} d t 

1 1
B ( ; a )

^₀  ₄  _{4 2} ^{2 a  1 }_0
2 2 a  1 ₂

 
ga ega bo‟lamiz. Natijada
à ² ( a ) 1 1


à ( 2 a ) 2 ^{2 a 1}
bo‟ladi. Yana (10) formulaga ko‟ra
1
B ( , a ) 2

B ( , a )   

1
 ( )   ( a ) 2
 ( a )
(**) bo‟lib , (**)

₂ 1
 ( a  )
1
 ( a  )

2 2
munosabatdan

 ( a )

 ( 2 a )
ekanligi kelib chiqadi. Demak,
1

₂ 2 a 1
1

1
 ( a  )
2

1
 ( a )   ( a  ) 


( 2 a )


2 a  1
(13)

2 2
Odatda (13) formula Lejandr formulasi deb ataladi.

2.4-§ Puasson integrali. Frenel integrali.

Ushbu integral


J  _ e ^{ x} 2 dx
0

(1)

Puasson integrali deyiladi. Integralni hisoblaymiz qilamiz. (1) ga asosan
x  ut ; dx
 udt ;
almashtirish


J  _ e ^{ u} 2 t 2 udt
0

(2)

(2)-tenglikning har ikkala tomonini

_e  u ²

ga ko‟paytiramiz.

J  e ^{ u} 2

_{  e}  (1  t ² ) u ² _udt
0

(3)

3. 
   tenglikdan U bo‟yicha integral olamiz.
   

   

J ² 
_{ d u  e}  (1  t ² ) u ²
 u d t 
_ d t 
_{ e}  (1  t ² ) u ²
 u d u 

0 0 0 0


_ ¹ _{ e}  (1  t ² ) u ²



^ d t  ¹


dt 1

0

0






a rctg
_{ } 

^ 2 (  (1  t ² )) 0 2 ^ 1  t ² 2 0 4
Demak,

Demak,


_ dt

0
_ ^ _e  (1  t ² ) u ²


0


 udu 

4

J ²  ^
4

yoki ^{J }

2

Shunday qilib Puasson integralining qiymati
2
ga teng,



• 
  
  
  
  
  
  ;
  x ²
  

2
e dx
0

Frenel integrali.

Ushbu


_ sin
0


x ² dx ,


_ cos

0


x ² dx

Frenel integrallari deyiladi. Bu integrallarning tatbiqi fizikaning optika bo‟limida

uchraydi. Biz shu integrallarni hisoblaymiz.

almashtirish qilamiz.

^x 2 ^{ t ,} x 
dx  dt


_ sin


x ² dx

1 sin t

2
 _ dt


_ cos

x ² dx


1 cos t

2
 _


dt ,

^{0 0} 0 0

Birinchi integralni hisoblaymiz.

bo‟lganligi uchun


1 2
 _ e ^{ t} 2 ^ du
0

2
  

sin t
_ dt 
_ dt _ e ^{ tu} 2 sin
tdu
_e  kt

0 0 0


yaqinlashish ko‟paytuvchini kiritamiz.


     

0 0 0 0 0 0
_{e  k t} s in t _{d t } 2
d t e ^{ ( k  u} 2 ^{) t} s in td u  ²
du e ^{ ( k  u ) t}  s in td t  ^{2 du}

      _{1  ( k  u} ² ₎ ²

Bunda ^{k  0} da limitga o‟tsak,

  

sin 
2 du 2 du

_ dt
^{ } 1  u ²
 _ 

0 ^ 0 ^ 0




²  ^{A U  B C U  D} 

 _{ } 
₀ 
dU  _.

Shunday qilib,

_ sin
0


x ² dx 

_ cos
0


x ² dx 

2.5-§ Chiziqli chegarada buziladaigan parabolik tipdagi chiziqli tenglama uchun birinchi chegaraviy masala

Hosmas integrallarning tatbiqi sifatida cheksiz sohada chegarada buziladigan chiziqli parabolik tipdagi tenglama uchun birinchi chegaraviy masala yechimining mavjudligini isbotlaymiz.
Chegarada buziladigan parabalik tipdagi

 u  _  u
 ( x )
(1)

tenglama uchun

 t  x d x

^{D } ^{(t , x ) : 0  t  T , 0  x  } 
sohada

U ( 0 , x )   ( x ), 0  x    , (2)

U (t , 0 )  0 , lim U ( t , x )  0
x   
(3)

shartlarda birinchi chegaraviy masalani qaraymiz.

Ta’rif: D sohada
 u 
va
 t  x
_a  u
( x )
 x
hosilalari bilan chegaralangan


U ( t , x )

funksiyani (1), (2), (3) , birinchi chegaraviy masalaning yechimi deyiladi, agar:

1. 
   U ( t , x )
   

funksiya yarim polosa D sohada uzluksiz bo‟lsa,
 u 
va
 t  x
_a  u
( x )
 x

funksiyalar esa t  0 bo‟lganda uzluksiz bo‟lsa;


 u 3   u

2. 
   x  0 da
   

_x  _
d x
A₁ ,
x  0
d a x ⁴  A
 x 2
munosabatlar o‟rinli bo‟lsa, bunda

A₁ va A ₂
lar o‟zgarmas sonlar;

3. 
   (1) tenglamani
   

sohada qanoatlantirsa;
^{D } ^{(t , x ) : 0  t  T , 0  x  } 

4. 
   berilgan (2) va (3) shartlarni oddiy ma‟noda qanoatlantirsa. Fure usuliga asosan (1) tenglamaning (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini
   

U ( t , x ) 
X ( x )Ó (t )

3. 
   

ko‟rinishda izlaymiz. (4) ni (1) ga qo‟yib X(x) va У(t) funksiyalarni topish uchun quyidagi oddiy differensial tenglamalarni hosil qilamiz.

( x ^ X ^' ( x )) ^'   ² X ( x )  0


Ó ^' ( t )   ²Ó ( t )  0

Bunda  parametr. (4) va (3) lardan

(5),
(6).

X ( 0 )  0 , lim
x   


X ( x )  0
(7)

chegaraviy shartlar kelib chiqadi.

Shturm –Liuvill tipidagi (5),(7) singulyar masalaning spektiri uzluksiz va musbat yarim o‟q bilan ustma-ust tushadi.

Ko‟rsatish osonki, (5) tenglama Bessel tenglamasiga keltiriladi va uning umumiy yechimi

X ( x ,  )  x
1  

1 2
2


J _ (
2 
2  
2  


x ² ) C

• 
  C J _{ }
  

2 
(
2  
2  
_x 2
1  

) x ² 

1  
 x ²

 ^C 1 ^J 

2 
(
2  
2  
_x 2

)  C J _{ }

2 
(
2  
2  
_x 2
) ^ ,






2
1  

bunda
J _ ( z )  
tartibli birinchi jins Bessel funksiyasi,  
, C , C
lar

2   1 2
ixtiyoriy o‟zgarmas sonlar. (7) shartlarni e‟tiborga olib qulaylik uchun

1
Ñ  1
deb, ushbuni


X ( x ,  )  x
1  
2


J _ (
2 
2  
2  


x ² )
(8)

hosil qilamiz. (6) tenglamani umumiy yechimi

3
Ó (t )  C e ^{ } 2 t



3
bo‟ladi, bunda Ñ o‟zgarmas son.

Shunday qilib (5) tenglamaning (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi


U (t , x )  a (  ) X ( x ,  ) e ^{ } 2 t
funksiyalardan iborat bo‟ladi. Quyidagi funksiyani tuzamiz:

U ( t , x ) 

U ( t , x ) d  

a (  ) X
( x ,  ) e ^{ } 2 ^t d 

_ ^ _ (9)
0 0

Agar (1) tenglamaga kiruvchi xosilalarni (9) integral orqali hisoblash mumkin

bo‟lsa, u holda (9) funksiya (1) tenglamani qanoatlantiradi. (9) dagi  (  ) ni

shunday aniqlaymizki, natijada (9) funksiya (1) tenglamani, (2) boshlang‟ich shartni va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. (2) va (9) lardan

kelib chiqadi.



 ( x ) 
0


a (  ) X ( x ,  ) d 
(10)

Boshlang‟ich funksiyani qanday shartlarda Fure-Xonkel itegrali orqali ifodalashni ta‟minlaydigan lemmani isbotlaymiz.

1. 
   Lemma. Agar boshlang‟ich funksiya  ( x ) :
   

1) barcha x  0 lar uchun ikkinchi tartibli uzluksiz xosilaga ega bo‟lsa;
2)  ( 0 )  0 ,  ^' ( 0 )  0 ,



3. 
   lim x ⁴  ( x )  0 , lim
   

3 


x ⁴  ' ( x )  0 ,

x   x   

  
 

3. 
   x
   

⁴  ( x ) , x ⁴  ^' ( x ) , x ⁴ ( x ^  ^' ( x )) ^' 
L ( 0 ,  )
bo‟lsa, u holda xosmas integral.

bunda
a (  ) X ( x ,  ) d  ,




0

a (  ) 
2 
2  




X ( x ,  ) ( x ) d x ,
0

barcha


x  0
uchun absalyut va tekis yaqinlashadi va demak (10) tenglik

o‟rinlidir.
Isbot: Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:



2
2   


_x 2
2  
 y ,
x ² d x  d y ,

2  
^ 2   2 ^


a (  )

 ( y )  (
2
y ) ^{ }  _ (
_ 2
_{y )} 2   _{ ,}

B (  )  .


U vaqtda (8)ni etiborga olib, (10) dan quyidagini olamiz:



 ( y ) 
0
 b (  ) J _ (  y ) d  , 0 


y   
(11)

(11) dan Xankel teoremasiga asosan:



b (  ) 
0
y  ( y ) J _ (  y ) d y , 0      .

Oxirgi integralda
2
y 
2  
2  
_x 2
almashtirish qilib, ushbuni

a (  ) 
2 
2  




X ( x ,  ) ( x ) d x ,
0
(12)

topamiz. (12) da X ( x ,  ) ni  ¹ ( x ^ X ^' ( x ,  )) ^'
ga almashtirib, ikki marta bo‟laklab

_ 2 ^x
integrallab quyidagini olamiz:

a (  )  ^{2 }
 ₂


X ( x ,  ) ( x ) d x  


( x ^ X

^' ( x ,  )) ^'

 ( x ) d x 

2   ⁰
 ( 2   ) ^0 x

2 x^
 
^ X ^' ( x ,  ) ( x )   ' ( x ) X ( x ,  ) ^{ }  ²

( x ^  ' ( x )) X ( x ,  ) dx .
(13)

 ( 2   ) ^ x
^ 0  ( 2   ) ^0

^{Bessel funksiyalari uchun quyidagi assimptotik formula o‟rinli.}  ^{ning yetarli} katta qiymatlari uchun:

J (  ) 
 ^{ }


co s(  
 ^ )  O ( ¹ ) ^{ ,}

^ 2 4  ^
 

J ^' (  ) 
 ^{ }


s in (  
 ^ )  O ( ¹ ) ^{ ;}

^ 2 4  ^
 
  0 da esa J (  )  O (  ^ ), J ^' (  )  O (  ^{ 1} )
 


Assimptotik formulalarga va lemmaning 2), 3) shartlarga ko‟ra (13) ning o‟ng tomonidagi birinchi qo‟shiluvchi nolga teng bo‟ladi. U vaqtda (13) dan

a (  )

hosil bo‟ladi. Aniqki,

2

 ( 2   )

 ( x ^  ' ( x )) ^' 0

X ( x ,  ) d x
(14)

Shuning uchun


X ( x ,  )  M




 co n s t ,
0 _


d   M



1
 co n s t .




  _{2 M}


 




 ' '
2 M M ₁ K

a (  ) X ( x ,  ) d   M a (  ) d  
^{0 0} 2  
( x  ( x ) d x
0 0
d  
2  

bunda




 ( x ^  ' ( x ) ^' d x  K
0
 c o n s t .

Bulardan (10) tenglikning o‟ng tomonidagi integralni barcha
x  0
uchun

absalyut va tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, (10) tenglik o‟rinlidir, lemma isbotlandi.
Biz (1), (2), (3) masala yechimining mavjudligi to‟risidagi teoremani isbotlaymiz.