Xosmas integrallar
-§ Gamma funksiya va uning xossalari
Yüklə 445,62 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Isbot
2.2-§ Gamma funksiya va uning xossalari x a 1 e x d x 0 (6) xosmas integralni qaradik. Bu chegaralanmagan funksiyaning (a<1 da x=0 maxsus nuqta) cheksiz oraliq bo‟yicha olingan xosmas integrali bo‟lishi bilan birga a ga (parametrga) ham bog‟liqdur. O‟sha yerda (6) xosmas integralning a>0 da, ( 0 ; ) bo‟lishi ko‟rsatildi. yaqinlashuvchi, a 0 da, ya‟ni ;0 da uzoqlashuvchi 2-ta’rif: (6) integral gamma funksiya yoki ikkinchi tur Eyler integrali deb ataladi va Г(a) kabi belgilanadi. Demak, à ( a ) 0 x a 1 e x d x . Shunday qilib, Г(a) funksiya ( 0 ; ) da berilgandir. Endi Г(a) funksiyaning xossalarini o‟rganaylik. 1-xossa. (6) integral à ( a ) 0 x a 1 e x d x 0 0 0 0 ixtiyoriy a , b ( 0 a b ) oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo‟ladi. Isbot: (6) integralni quyidagi 2-qismga ajratib, 1 x a 1 e x d x x a 1 e x d x x a 1 e x d x 0 0 1 ularning har birini alohida-alohida tekis yaqinlashuvchilikka tekshiramiz. Agar 0 0 a ( a 0 ) sonni olib, parametr a ning a a qiymatlari qaralsa, unda barcha 0 x ( 0 ;1 uchun x a 1 e x 1 x 1 a 0 bo‟lib, ushbu Veyrshtrass alomatiga ko‟ra 1 x a 1 e x d x 0 ning a b qiymatlari qaraladigan bo‟lsa, unda barcha x 1 uchun 0 x a 1 e x x b0 1 e x ( b0 1 ) b0 1 1 bo‟lib, e x 2 1 dx 1 x 2 integralning yaqinlashuvchiligidan, yana Veyrshtrass alomatiga ko‟ra x a 1 e x d x 1 integralning tekis yaqinlashuvchi bo‟lishini topamiz. Shunday qilib, à ( a ) 0 x a 1 e x d x 0 integral a , b ( 0 a b ) da tekis yaqinlashuvchi bo‟ladi. 0 0 Eslatma: à ( a ) ning ( 0 ; ) da notekis yaqinlashuvchiligini ko‟ramiz. xossa.à ( a ) funksiya ( 0 ; ) da uzluksiz hamda barcha tartibdagi uzluksiz xosilalarga ega va à ( n ) ( a ) b x a 1 e x ( ln x ) n d x ( n 1, 2 , ..) . Isbot: a ( 0 ; nuqtani olaylik. Unda shunday a ; b ( 0 a b ) 0 0 0 0 oraliq topiladiki, a a 0 ; b0 bo‟ladi. Ravshanki, à ( a ) 0 x a 1 e x d x M ( x , a ) R 2 : x ( 0 ; ), a ( 0 ; ) 0 0 to‟plamda uzluksiz funksiyadir. (6) integral esa a ; b da tekis 0 0 yaqinlashuvchi. U holda teoremaga asosan Г(a) funksiya a ; b da binobarin, a nuqtada uzluksiz bo‟ladi. (6) integral ostidagi a f '( x , a ) x a 1 e x ln x f ( x ; a ) x a 1e x funksiya hosilasining M to‟plamda uzluksiz funksiya ekanligini payqash qiyin emas. Endi a 1 x f a '( x , a ) d x x e ln xd x 0 0 integralni a ; b 0 0 da tekis yaqinlashuvchi bo‟lishini ko‟rsatamiz. Ushbu 1 x a 1 e x ln xd x 0 integral ostidagi x a 1 e x ln x funksiya uchun 0 x 1 da x a 1 e x lnx x a 0 1 lnx o‟rinlidir a 0 1 ( x ) x 2 ln x funksiya 0 x 1 da chegaralanganligidan va a 1 1 x 2 d x 0 integralning yaqinlashuvchiligidan 1 x a 1 ln x d x 0 ning ham yaqinlashuvchi bo‟lishini va Veyrshtrass alomatiga ko‟ra qaralayotgan 1 x a 1e x ln xd x 0 integralning tekis yaqinlashuvchiligini topamiz. integralda, integral ostidagi 1 x a 1 e x lnx funksiya uchun barcha x 1 da x a 1 e x ln x x b0 1 e x ln x x b0 e x ( b0 2 ) b0 2 1 bo‟lib,
1 x 2 e x 2 integralning yaqinlashuvchiligidan, ya‟na Veyrshtrass alomatiga ko‟ra x a 1e x ln x d x ning tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Demak, 1 a 0 ; b0 da 0 x a 1e n ln x d x integral tekis yaqinlashuvchi. Unda teoremaga asosan f '( a ) ( x a 1 e x d x )1 ( x a 1 e x ) ' d x 0 b 0 x a 1 e x ln x d x 0 0 bo‟ladi va à '( a ) a , b ' da binobarin, a nuqtadan uzluksizdir. Xuddi shu yo‟l bilan à ( a ) funksiyaning ikkinchi, uchinchi va hokazo tartibdagi hosilalarining mavjudligi, uzluksizligi, hamda ko‟rsatiladi. à ( n ) ( a ) 0 x a 1 e x ( l n x )n d x ( n 1 , 2 , . . . . bo‟lishi xossa:à ( a ) funksiya uchun ushbu à ( a 1) a à ( a )( a 0 ) formula o‟rinli. Haqiqatan ham, à ( a ) x a 1 e x d x 0 0 x a e x d ( ) integralni bo‟laklab integrallasak, x a 1 à ( a 1) a à ( a ) (7) bo‟lishi kelib chiqadi. Bu formula yordamida Darhaqiqat, (7) formulani takror qo‟llab à ( a n ) ni topish mumkin. à ( a 2 ) à ( a 3 ) à ( a 1) ( a 1) à ( a 2 ) ( a 2 ) ............................................ bo‟lishini, ulardan esa à ( a n ) à ( a n 1) ( a n 1) à ( a n ) ( a n 1)( a n 2 ) ( a 2 )( a 1) a à ( a ) ekanligini topamiz. Xususan, a=1 bo‟lganda à ( n 1) n ( n 1) 2 1 à (1) bo‟ladi. Agar à (1) 0 x e dx 1 bo‟lishini e‟tiborga olsak, unda à ( n 1) n ! ekanligi kelib chiqadi. Yana, (7) formuladan foydalanib à ( 2 ) à (1) 1 bo‟lishini topamiz. xossa. Г(a) funksiyaning o‟zgarish xarakteri Г(a) funksiya 0; oraliqda berilgan bo‟lib, shu oraliqda istalgan tartibli hosilaga ega. Bu funksiyaning a=1 va a=2 nuqtalardagi qiymatlari bir-biriga teng: Г(1)= Г(2)=1. Г(a) funksiyaga Roll teoremasini tatbiq qila olamiz, chunki yuqorida keltirilgan faktlar Roll teoremasi shartlarining bajarilishini ta‟minlaydi. Demak, Roll à ''( a ) 0 x a 1e x ln 2 xd x 0 bo‟lishi sababli, à ' a funksiya ( 0 ; ) oraliqda qat‟iy o‟suvchi bo‟ladi. Demak, à '( a ) funksiya ( 0 ; ) da a * nuqtadan boshqa nuqtalarda nolga aylanmaydi, ya‟ni à ' ( a ) 0 x a 1 e x ln xd x 0 tenglama ( 0 ; ) oraliqda a * dan boshqa yechimga ega emas. U holda 0 a a * da à ' ( a ) 0 , a * a da à ' ( a ) 0 bo‟ladi. Demak, Г(a) funksiya a * nuqtada minumimga ega. Uning minimumi qiymati à ( a * ) ga teng. Taqribiy hisoblash usuli bilan a * 1, 4 6 1 6 .... à ( a * ) m in à ( a ) 0 , 8 8 5 6 - a n 1( n N ) bo‟lganda à ( a ) à ( n 1) n : bo‟lib, undan lim à ( a ) a bo‟lishini topamiz. Ikkinchi tomondan, a 0 da à a 1 à (1) 1 hamda à ( a ) à ( a 1) a ekanligidan lim a à ( a ) kelib chiqadi Г(a) funksiyaning |