Xosmas integrallar

2.3-§ Beta va Gamma funksiyalar orasidagi bog’lanish

Biz quyida _{B } a , b _ va Г(a) funksiyalar orasidagi bog‟lanishni ifodalaydigan

formulani keltiramiz. Ma‟lumki, Г(a) funksiya ( 0 ;  ) da fazodagi
B _ a , b _ funksiya esa R ²

to‟plamda berilgan.

Teorema:  ( a : b )  M
M  _( a , b )  R ² : a  ( 0 ;   ), b  ( 0 ;   )
uchun

formula o‟rinli.
Isbot: Ushbu


B ( a , b ) 
à ( a )  à ( b )


à ( a  b )



à ( a  b ) 
0
x ^{a  b 1}  e ^{ x} d x ( a  0 , b  0 )

gamma funksiyada o‟zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz.

x (1  t )  y

Natijada quyidagiga ega bo‟lamiz:

( t  0 ) .

à ( a  b )  _
   


(1  t ) ^{a  b 1}  y ^{a  b 1}  e ^{ (1 t ) y}  (1  t ) d y  (1  t ) ^{a  b}
0 0
_y a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{d y .}

Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:

à ( a  b )

(1  t ) ^{a  b}




_y a  b  1 _e  (1  t ) y _{d y .}
0


Bu tenglikning har ikki tomonini bo‟yicha integrallaymiz:
_t a  1
ga ko‟paytirib , natijani ( 0 ; ) oraliq


 
à ( a  b )
_t a  1


d t 
  _
^{ } _y a  b  1
_{ e}  (1  t ) y _{d y }
^{ t} a  1 ^{d t} .

⁰ (1  t ) ^{a  b}
Agar (2) formulaga ko‟ra






0
_t a  1

_ ^0 _

0
ekanini e‟tiborga olsak, unda

(1  t ) ^{a  b}
d t  B ( a , b )

à ( a  b )  B ( a , b ) 
_   _{ }  
_y a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{  t} a  1 _{d t}
(8)

0 _ 0 _

bo‟ladi. Endi (8) tenglikning o‟ng tomonidagi integral
à ( a )  à ( b )
ga teng

bo‟lishini isbotlaymiz. Uning uchun, avvalo bu integrallarda integrallash tartibini almashtirish mumkinligini ko‟rsatamiz. Buning uchun dastlab teorema shartlari bajarilishini ko‟rish kerak. Dastlab a>1, b>1 bo‟lgan holni ko‟raylik. a>1, b>1 da, ya‟ni

_( a , b )  R ² : a  (1;   ), b  (1;   )_
to‟plamda integral ostidagi

funksiya
f ( t , y ) 
_y a  b  1 _t a  1 _e  (1  t ) y

da uzluksiz bo‟lib,
 (t , y )  _(t , y )  R ² : t  _ 0 ;   _ , y  _ 0 ;   _

bo‟ladi. Ushbu
f ( t , y ) 
_y a  b  1 _{ t} a  1 _{ e}  (1  t ) y _{ 0}

   

_ f ( t , y ) d t  _
t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{d y}

0 0

integral t o‟zgaruvchining [ 0 ;  ) oraliqda uzluksiz funksiyasi bo‟ladi, chunki

Ushbu




_t a  1 _y a  b  1 _e  (1  t ) y _{d y }
0


à ( a  b ) 
_t a  1
.
(1  t ) ^{a  b}




   
f ( t , y ) d t 
0 0
_t a  1 _y a  b  1 _e  (1  t ) y _{d t}

integral y o‟zgaruvchining [ 0 ;  ) oraliqdagi uzluksiz funksiyasi bo‟ladi, chunki



_t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{d t }
0
à ( a )  y ^{b 1}  e ^{ y}

va nihoyat yuqoridagi (8) munosabatga ko‟ra

_   _{ }  
_t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{d y  d t}

0 _ 0 _
integral yaqinlashuvchi. U holda teoremaga asosan

_   _{ }  
_t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{d t  d t}

0 _ 0 _

integral ham yaqinlashuvchi bo‟lib,



0
       







0

0
 _
t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t )  y _{dy  d t }
_ 0
 _
t a 1 _{ y} a  b 1 _{ e}  (1  t ) y _{d t  dy}
_

bo‟ladi. O‟ng tomondagi integralni hisoblaylik:





0
       










  ₁
0 _ 0
_t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{dy  d t }
_ 0
 _
t a  1 _{ y} a  b  1 _{ e}  (1  t ) y _{d t  dy }
_


 
_{ y} a  b  1 _{ e}  y

 


_t a  1
 e ^{ ty} d t ^ d y 
_y a  b  1 _{ e}  y _{ }


 


( ty ) ^{a 1}  e ^{ ty} d (ty ) d y 

0 _ ^0
_ 0
_y ^a _ ^0 _



 y ^{b 1}  e ^{ y}  Ã ( a ) d y 
0


à ( a )  à ( b )
(9)

Natijada, (8) va (9) munosabatlardan

^Ã  ^{a  b}  ^{ B ( a , b )  Ã ( a )  Ã (b ) ,}

ya‟ni


B ( a , b ) 
à ( a )  à ( b )
à ( a  b )
(10)

bo‟lishi kelib chiqadi. Biz bu formulani a>1, b>1 bo‟lgan hol uchun isbotladik. Endi umumiy holni ko‟raylik. Aytaylik, a>0, b>0 bo‟lsin. U holda isbot etilgan

(10) formulaga ko‟ra

B ( a  1 , b + 1 ) =

à ( a  1) à ( b  1)
à ( a  b  2 )
) (11)

bo‟ladi. B(a,b) va Г(a) funksiyalarning xossalaridan foydalanib quyidagini topamiz:

B ( a  1 , b + 1 ) =

a


a  b  1

 B ( a , b  1) 

a

a  b  1
b
a  b
 B ( a , b ) ,

à ( a  1)  a  à ( a ),
à ( b  1)  b  à ( b ),
à ( a  b  2 ) 

 ( a  b  1)  Ã ( a  b  1)  ( a  b  1)( a  b )  Ã ( a  b ) .

Natijada (11) formula quyidagi
a b a  à ( a )  b à ( b )
 B ( a , b ) 
( a  b )( a  b  1) ( a  b )( a  b  1)  Ã ( a  b )

ko‟rinishga keladi. Bu esa (10) formula bildiradi.
a  0 ,
b  0
da ham o‟rinli ekanligini