O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim, Fan va Innovatsiyalar Vazirligi

4. Eng sodda kvadratur formulalar: to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari.

Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida ko‘rish mumkin. Aytaylik,

Intedralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda f(x) bo‘lsa, u vaqtda
= (b-a) f ) (4.1)
deb olishimiz mumkin. Bu formula to‘g‘ri to‘rtburchak formulasi deyiladi.

4.1-chizma (to‘g‘ri to‘rtburchak formulasining geometrik ma’nosi)

Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo‘lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi b-a ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo‘lgan trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin, u holda
= (4.2)
deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi.

4.2-chizma (terapetsiya formulasining geometrik ma’nosi)

F(x) funksiya [a,b] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo‘lsin, u holda ni taqribiy ravishda Ox o‘qi, x=a va x=b to‘g‘ri chiziqlar hamda y=f(x) funksiya grafigining absissalari x=a, x=(a+b)/2 va x=b bo‘lgan nuqtalaridan o‘tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuza bilan almashtirish mumkin, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
} (4.3)
4.3-chizma (Simpson formulasining geometrik ma’nosi)
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743-yilda taklif etgan edi. Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko‘rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali

Ko‘phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo‘ldik.Simpson formulasi biz kutgandan ko‘ra yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali

ko‘phadlarni ham aniq integrallaydi. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko‘rib chiqdik. Ulardan ikkitasi to‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari – birinchi darajali ko‘phad uchun aniq formula bo‘lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko‘phad uchun aniq formuladir.
To‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Ushbu ifoda kvadratur formulaning qoldiq hadi yoki xatosi deyiladi.To‘g‘ri to‘rtburchak formulasining qoldiq hadi

Bu formulani quyidagicha yozish mumkin:
(4.4)
Trapetsiya formulasining qoldiq hadi:
(4.5)
Simpson formulasining qoldiq hadi:
(4.6)
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko‘rsatadiki, to‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq bo‘lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq formuladir.
Interpolyatsion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur formulaning koeffisentlari va tugunlarini yuqori indekssiz va ko‘rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlari berilgan bo‘lib, maqsad shu qiymatlar bo‘yicha integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori aniqlikda topishdan iborat bo‘lsin. Demak, koeffisentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, (n-1)-darajali ko‘phad bilan interpolyatsiyalaymiz:
(4.7)
Endi bu tenglikni ga ko‘paytirib, a dan b gacha integrallaylik:

Agar bundagi
(4.8)
qoldiq hadni tashlasak,
(4.9)
kvadratur formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula qurilish usuliga ko‘ra interpolyatsion kvadratur formula deyiladi.
Ko‘rib o‘tganimizdek, ya’ni uchta kvadratur formulalar to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya, Simpson kvadratur formulalar aniq integarallarni taqribiy hisoblash uchun qo‘llaniladi. Bulardan to‘g‘ri to‘rtburchak va trpetsiya formulalari birinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq hisoblasa, Simpson formulasi esa, uchinchi darajali ko‘phadni aniq hisoblaydi. Simpson formulasi biz kutgandan ko‘ra yaxshiroq formuladir.
Interpolyatsion kvadratur formulalar bilan tanishdik. Endi bu formulalar ya’ni to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya, Simpson formulalarning dasturlarini Mathcad dasturlash tilida yechimini va qoldiq hadini ya’ni xatosini ko‘ramiz.
5.Splayn funktsiyalar yordamida kvadratur formula qurishga doir misollarning dasturiy natijalari.
Dasturda qatnashgan o‘zgaruvchilar:
– biz tuzgan dasturning chiqargan natijasi;
– Mathcad dasturining chiqargan natijasi;
R – qoldiq hadi.

5.1-rasm



5.2-rasm

5.3-rasm
Xulosa chiqaradigan bo‘lsak, va funksiyalar orqali uchta kvadratur formulaning chiqargan natijasini ko‘rdik. Demak, qoldiq hadlarni hisobga oladigan bo‘lsak, to‘g‘ri to‘rtburchakdan trapetsiya, trapetsiyadan Simpson kvadratur formulasi yaxshi natija berdi.

Xulosa
Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda emas, balki [x_i,x_i+1] (i=0,…,n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi.

Ulanish tugun nuqtalarida funksiya va uning hisoblarining ham uzluksizligi talab qilinadi. Hisoblash matematikasida (funksiyalarni yaqinlashtirish bo’limida) lokal splaynlarning qo’llanilishi tez orada rivojlanib ketdi.
Ayniqsa regulyar, singulyar Fur’e integrallarini taqribiy hisoblashda lokal splaynlarning qo’llanilishi yaxshi natijalar bermoqda lokal splaynlar yordamida kvadratur formulalar ko’rilib, bu kvadratur formulalar yordamida juda ko’p ahamiyatga ega bo’lgan regulyar, singulyar va Fur’e integrallari hisoblanmoqda. Amaliy faoliyatda ko‘pincha jarayon va hodisalarning matеmatik ifodasini topish bilan bog’liq muammolarga duch kеlinadi. Ayniqsa, iqtisodiyot va tеxnikada funksiya va jadval ko‘rinishida bеrilgan funksiya argumеntining turli qiymatlariga mos funksiyaning analitik ko‘rinishini hamda matеmatik ifodasini topish masalasi birmuncha murakkab masala hisoblanadi. Shu bois ushbu kurs ishida tajriba natijalarini qayta ishlashda qo‘llanadigan funksiyani intеrpolyatsiyalash masalasi qaraladi. Ko‘phad bilan intеrpolyatsiyalash, xususan Nyuton va Lagranj intеrpolyasion formulalari misol sifatida tavsiflanadi. Jadvalning qiymatlariga qarab funksiyaning analitik ko‘rinishini topish uchun eng kichik kvadratlar usuli tavsiya qilinadi. Funksiyani qurishga oid intеrpolyasion usullardan eng kichik kvadratlar usuli va uning mohiyati, usulning asosiy ishchi algoritmi va dastur ta`minoti, natijalar tahlili kеltirildi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati

1. 
   Mirziyoyev Sh.M. “Erkin va farovon, demokratik O‘zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz” Toshkent- “O‘zbekiston”-2017.
   
2. 
   Hisoblash usullari: o‘quv qo‘llanma / G.P.Ismalullayev. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus taTim vazirligi. T.: «Tafakkur Bo‘stoni», 2014. —240 b.
   
3. 
   Исроилов. М.И. Ҳисоблаш методлари. Тошкент, Ўқитувчи, 1-қисм, 2003, 2-қисм, 2008
   
4. 
   Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М., Наука. 1989.
   
5. 
   Алоев Р.Д., Худойберганов М.У. Ҳисоблаш усуллари курсидан лаборатория машғулотлари тўплами. УзМУ.Ўқув қўлланма. 2008 й.110б.
   
6. 
   Исматуллаев Т.П., Косбергенова М.С. Ҳисоблаш усуллари. “Тафаккур- бўстони” Тошкент 2014
   
7. 
   Ф.В.Зенков. Численные методы. Учебн. пособ. Екатеринбург. Издательство Уралского университета- 2016 г.
   
8. 
   Исматуллаев Ғ.П., ЖураевГ.У. Ҳисоблаш усулларидан методик қўлланма. Тошкент, Университет. 2007
   
9. 
   AbdirashidovA.BabayarovA.I.Hisoblashusullari1-qism2018 - 2023-11-08T092420.206.pdf
   
10. 
    Д.Кирьянов, Mathcad 15/. Mathcad Prime 1.0. Санк-Петербург «БХВ- Петербург» 2012 г.
    

Internet sayt ro‘yxatlari.

1. 
   www.exponenta.ru
   
2. 
   www.lochelp.ru.
   
3. 
   http://www.mathcad.com MATHCAD мaтемaтик системa сaйтa;