Özkan piŞKİn zaman evren insan iÇİndekiler

ÖZKAN PİŞKİN

ZAMAN

EVREN

İNSAN

İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ 4

BÖLÜM I. Önce Biraz Ezberimizi Bozmaya Alışalım 5

Eukleideslik olmayan geometriler 12

Hiperbolik (Lobatchevsky) Geometrisi 12

Diferansiyel Geometri (Riemann geometrisi) 14

Minkowski Geometrisi 21

Boyut Kavramı 27
BÖLÜM II. Zaman Bilmecesi 31

Zamanın Yönü (Zaman Oku)- Nedensellik 34

Zamanın termodinamik oku 36

Zamanın psikolojik oku 36

Zamanın kosmolojik oku 37

Psikolojik (sübjektif) Zaman 38

Biyolojik Zaman 44

Sosyal (kültürel) Zaman 47

Fizikte Zaman Kavramları 49

Özel Görelilik Kuramında Zaman 52

Kuantum (Tanecik) Kuramında Zaman 54

Sanal, Gerçek, Kompleks Zamanlar 54

Kosmolojik Zaman 55
BÖLÜM III. Kuantum Fiziği (Mekaniği) 56

Atom ve atom altı parçacıklar 57

Kuvvetler 65

Çekim kuvveti 65

Elektromanyetik kuvvet 65

Zayıf çekirdek kuvveti 66

Güçlü çekirdek kuvveti 66

Simetri ve simetri kırılması 67

Kuantum takıntısı (entanglement) 71

Belirsizlik ilkesi 71

BÖLÜM IV. Uzay-zaman veya Evren 77

Neden Genel Görelilik Kuramına Gereksinim var? 81

Evren ve Bileşenleri 83

Işıma 83

Fosil Işıma 85

Genişleyen Evren ve Büyük Patlama 88

Maddenin Oluşumu 90

Evrenin Evrimi 92

Kara Delikler 94

Yolun Neresindeyiz? 96

BÖLÜM V. Kendimize Bakış 104

Ortaklık Sistemi 106

Arılar, Karıncalar ve İnsanlar 110

Neden Olmasın? 115

YARARLANILAN KAYNAKLAR 123

ÖNSÖZ
İlk bakışta zaman, evren ve insan kavramlarını aynı başlık altında birleştirmek garip görünebilir. Ben zaman kavramını anlamaya çalışmakla yola çıkmıştım, ama bazı şeyler öğrendikçe zamanın evrenden ayrılamayacağı kendisini kabul ettirdi. Kavramaya çalışan varlığın kendi “işleyişini” tanımadan soruna yaklaşması da mümkün olamazdı. Bu kavramlar arasındaki yakın ilişkiyi ilerleyen sayfalarda göreceğiz. Ama bunun en basit örneği, bulutsuz bir gecede gökyüzüne (evrene) bakmakla ortaya çıkar. Çünkü, şu andaki hali sanılan şey geçmişin bir görüntüsüdür.
Zaman, evren ve diğer gizemli sorunlarla ilk önceleri din adamları (din bilimciler), sonra da filozoflar ilgilenmişlerdir. Az çok doyurucu sonuçlar elde edilmesi ise bilimin bu konulara el atmasıyla ortaya çıkmaya başlar. Bu sonuçlara ulaşılması ise 2000 yıldır sürdürdüğümüz bakış açılarımızı, düşüncelerimizi değiştirmemizi, kısacası “ezberlerimizi bozmamızı” gerektirmiştir. Bu açıdan kitap, bilimin nasıl evrildiğinin de kısa bir hikayesini oluşturur. Birçok dalda bilim son yıllarda gerçekten göz kamaştırıcı, mucize niteliğinde gelişmeler yaşamıştır. Bu bağlamda, evren konusunda bir kısım bilim insanlarının veya bilimin “Tanrı rolüne” soyunduğunu; diğerlerinin “Tanrı’nın yüzünü gördüğü” iddialarını ileri sürdüklerini sıkça okuyoruz.
İster istemez derleme niteliği öne çıkan kitap, insanın düşünmeye başladığından beri merak duyduğu konulardan ikisi hakkındaki bilgileri ve kuramları basite indirgenmiş şekilleriyle okuyucuya sunmayı amaçlıyor. Son bölüm ise okura, kendisinin ve toplumun, son yılların kuramlarının ışığında, işlevsel organizasyonuna yepyeni bir bakışla yaklaşabilme olanaklarının varlığını tanıtmaya çalışıyor.
Metnin yazımı sırasında yardımları için eşim Arlette Pişkin’e; şekilleri dijital ortama aktaran Mehmet Akbulut’a teşekkür ederim.
Özkan Pişkin

Kasım 2011, Cenevre

BÖLÜM I
ÖNCE BİRAZ EZBERİMİZİ BOZMAYA ALIŞALIM

Özellikle başlarında olmak üzere, XX yüzyıl boyunca bilgilerimizin içeriği ve niteliğinde öylesine kökten değişiklikler gerçekleşti ki adeta “güvendiğimiz dağlara kar yağdı” desek hiç de yanlış olmaz. Kesinkes inandığımız birçok fizik kuramı, kavramının yerine yenilerini koymak, daha doğrusu “ezberimizi bozmak” zorunda kaldık. Gözden geçireceğimiz zaman ve evren (uzay) konularında bu tür değişiklikler pek çoktur. Bu Bölüm’de bunların bir kısmını ele alarak kendimizi alıştırmaya çalışalım.

Dar çevremizden çıkmadıkça alışkanlıklarımızdan pek vazgeçemeyiz. Bu dar çerçeve de gereksinmelerimize yeterince karşılık verdiğinden 2000 yıldan fazla zamandır kullandığımız düzlemsel geometri ((Eukleides geometrisi) genlerimize işlemiştir. Öylesine işlemiştir ki bu geometri dışında tasarımlar yapmakta çok zorlanırız.

Orta derecede matematik eğitimi görmüş herkes bir kağıt üzerine (düzlem) çizilmiş bir üçgenin iç açılarının toplamının 180º olduğunu bilir (Şekil I.1).

Şekil I.1. Eukleides geometrisinde bir üçgenin iç açılarının toplamı 180º (α+β+γ=180º) dir.
Bu durum bir düzleme çizilmiş üçgenler için geçerlidir. Ama biz, şekli az çok küre olan Yeryuvarı üzerindeyiz. Acaba yukarıdaki kural bir küre üzerine çizilen üçgenler için de geçerli midir?. Yerküresinden alışık olduğumuz enlem ve boylamlardan yararlanalım (Şekil I.2). Burada haritacıların çözümsüz bir sorununu hemen belirtmekte yarar vardır. Hemen hemen küresel olan Yeryuvarı’nın yüzeyinin planını, belirli bir ölçekte, açılara ve mesafelere (yani yüzeylerin küre üzerindeki şekline) tam sadık kalarak düzlemde çizmek, kağıdı buruşturmadan bir portakalı sarmanın olanaksızlığı ile aynı şeydir. Yeryuvarı modelindeki şekilleri düzlemsel yüzey olan haritaya deformasyonsuz aktarmanın halen bir yöntemi bulunamamıştır. Haritacılar çeşitli projeksiyon sistemleri kullanarak Yeryuvarı’nın yüzeyini (jeoid) amaçlarına uygun az veya çok deformasyonlu düzlemsel haritalar oluştururlar. Hangi projeksiyon sistemi kullanılırsa kullanılsın elde edilen haritaların belirli bölgelerinin önemli deformasyona uğramalarını önlemek olanaksızdır.

Şekil I.2. Bir küre üzerindeki üçgenin (küresel üçgen) iç açılarının toplamı 180º den büyüktür. Meridyenler enlemlere (burada ekvatora-eşleke) dik olduklarından β ve γ açılarının toplamı 180º dir.; dolayısıyla α + β + γ > 180º olur. Olay kürenin pozitif eğriliğinden ileri gelir.
Değineceğimiz konuların daha iyi anlaşılabilmesi için yukarıda sözü geçen eğrilik kavramına en basit şekliyle açıklama getirmemiz gerekmektedir. Eğrilik kavramları matematiğin diferansiyel geometri dalının ana konusudur.
Bir eğride bir noktadaki eğrilik, eğrinin bu nokta yakınındaki kesimine en iyi uyan çember yayının yarıçapının tersi olarak tanımlanır (Şekil I.3).

Şekil I.3. Eğri üzerindeki A noktasındaki eğriliğe en iyi uyan çember yayı ee’dir. Dolayısıyla bu noktadaki eğrilik ee çemberinin yarıçapının tersidir (1/ree).

Bir yüzey için ise her noktada iki ana eğrilik söz konusudur; bunlar verilen noktadaki eğriliğin (yüzeyin o noktadan geçen iki düşey düzlemle-Şekil I.4A’da tek düşey düzlem çizilmiştir-kesilmesiyle elde edilen ergilerin) maksimum ve minimum değerleri olarak tanımlanır. Bu eğrilerin eğriliği de, eğrinin yer aldığı yüzeye teğet olan düzlemin hangi tarafında bulunduklarına göre pozitif ya da negatif işaret alır (Şekil I.4A,B). Bu eğrilik eğer bir noktada pozitif ise o noktanın yakınlarında yüzey (küre veya elipsoid) o noktaya teğet düzlemin bir tarafında bulunur. Negatif ise

(bir eğer şekli) yüzey teğet düzlemini keser (Şekil I.4B). Bu sonuncu şekilde düşey düzlem çizilmemiştir.

(A) (B)

Şekil I.4. Pozitif (A) ve negatif (B) eğrilikli yüzeyler.
Tekrar üçgenlerimize dönecek olursak, küre yerine hiperbolik bir yüzey üzerine (eğrilik negatif) çizilecek üçgenlerin iç açıları toplamı 180º den küçük olurdu (Şekil I.5).

α+β+γ<180º
Şekil I.5. Hiperbolik yüzeyde üçgen.
Eukleides geometrisinden kaynaklanan ezberimizi bozmaya bazı topolojik dönüşümlerle devam edebiliriz. Topoloji, katı cisimlerin bükülmelerden, çekilmelerden kaynaklanan deformasyonlarını inceleyen özel bir geometridir.

Aşağıda soldaki cismin çok elastik bir materiyelden yapılmış olduğundan yola çıkalım. Koparmadan sadece çekerek, bükerek iki halkayı birbirinden ayırmaya çalışalım (Şekil I.6).

Şekil I.6. B: 2 nolu halkayı genişletelim. C: 1 nolu halkayı genişletelim. D:1 nolu halkayı 2 nolu halkanın dışından ok yönünde döndürerek serbestleyebilir (E) ve halkaları orijinal boyutlarına getirebiliriz.

Pretzel çörekleri denilen bu cisimlerin daha karmaşık olanları da vardır. Topolojik açıdan, aynı dereceden olmak koşuluyla, basit bir dönüşümle bir cisimden diğerine geçiş sağlanabilir.

Bazen sadece hayal ürünü, bazen gerçek dünyada var olan, çoğunlukla da eğlenceli ve düşündürücü “yaratıklardan” bazılarına göz atalım.
Klein şişesi. Felix Klein tarafından yapılan bu şişe tek yüzlüdür, içine su konamaz yere dökülür. Bu şişeyi yapmak için bir tarafı geniş bir silindirin (Şekil I.7A) bir ucununu tutup silindiri uzunlamasına büküp tuttuğunuz ucu silindirin duvarından içeri sokun (Şekil I.7B). Silindirin içindeki ucu, silindirin geniş kısmını içe bükerek elde edilen şişe tabanına kaynaştırın. Böylece iç ve dış yüzeyler tek bir yüze indirgenmiş olur (borunun iç yüzeyiyle şişe tabanının dış yüzeyi tek bir yüzey olur).


Şekil I.7. Klein şişesi.
Klein şişesine benzer tek yüzlü ve tek kenarlı diğer bir cisim de Möbius şerididir.
Möbius şeridi. August Möbius tarafından 1865’de tanımlanmıştır. Herkesin kolaylıkla gerçekleştirebileceği bir deneydir. Uzun dikdörtgen şeklindeki bir kağıt şeritin dar kenarlarından birini 180º burarak diğer dar kenara yapıştırmakla elde edilir (Şekil I.8).

Şekil I.8. Möbius şeridi.
Şeridin 180º bükülerek yapıştırılmasıyla ilginç özellikler ortaya çıkar. Örneğin bu şeridin bir yüzünü bir renk diğer yüzünü başka bir renge boyayamazsınız; çünkü öbür yüz yoktur. Bir renkle başladığınızda aynı renkle çıkış noktasına varırsınız. Birleştirmeden önceki iki yüzey tek bir yüzey haline dönüşmüştür. Şeridin kenarları için de aynı şey söz konusudur. Elinizi sürerek takip ettiğinizde tek bir kenar üzerinde hareket ettiğinizi görürsünüz. Bu durum, şeridi ortasından boyuna ikiye bölmek istediğinizde çarpıcı biçimde doğrulanır. Kesme işleminin sonunda elinizde öncekinin yarı genişliğinde tek bir şerit kaldığını görürsünüz. Bu garip davranışlar cismin “yapay” olarak üretilmiş olmasına bağlansa da Doğa da Möbius şeridi yapabilmektedir. Bir teli iki halka oluşturacak şekilde kıvırarak sabunlu suya daldırınız. Sudan çıkardığınızda tel iki parça halinde sabun zarıyla kaplıdır. Bir parça telin ortasına, ötekisi kenarları oluşturan iki telin arasına gerilmiştir. Ortadakini patlatırsanız elinizde bir Möbius şeridi kalır. Yukarıda anlatılan yapay ve doğal “ürünleri” dikkate aldığımızda, Möbius bu yüzeyi icat etmiş olurken, en azından potansiyel olarak doğada bulunan bir yüzeyi keşfetmiş oluyor.

İcat edilmiş cisimlerin beklide en ünlüsü psödoküredir (yalancıküre) ; içi dışına çıkmış küre (Şekil I.9).

Şekil I.9. Yalancıküre.
İtalyan geometrici Eugenio Beltrami tarafından 1868’de yaratılmıştır. Trompet hunisine benzer. Negatif eğriliği bir noktadan diğerine değişmez. Bu nedenle yalancıkürenin bir yerine çizilen bir şeklin haritası bir başka yerine deformasyonsuz çizilebilir. Fakat aynı şeklin düz düzlem üzerine haritasının çizilmesi aynen normal kürede olduğu gibi olanaksızdır. Buradan Gauss’un değindiği şu sonuç çıkarılabilir: kusursuz bir haritanın çizilebilmesi için aynı eğriliğe sahip bir yüzey gerekir.
Kafamızda tanımlayarak ürettiğimiz bu yüzeylere “soyut yüzey” ya da “iki boyutlu manifold” adı verilir. Bunların gerçek dünyada bir karşılığı olabilir de olmayabilir de. İlk dönemlerin “Pacman” gibi bilgisayar, video oyunlarında bir kenardan çıkan bir piyon anında karşı kenarın aynı noktasından ekrana tekrar girer. Bu tür işlemler, ekranı bir soyut yüzey olarak algılayan algoritmalarla aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir. Bir dikdörtgen şekil düşünüp bunun karşılıklı iki kenarının sanki birbirine yapıştırılmış gibi yeni hayali bir yüzeyin bir ve aynı kenarı olduğunu düşünelim. Bir silindir yüzeyi elde ederiz. Bu durumda başlangıçta dikdörtgenin üst ve alt kenarları olan çizgiler artık silindirin taban ve tavanını çevreleyen çemberler olurlar (Şekil I.10). Bu şekilde elde edilen silindire düz torus adı verilir. Normal eukleideslik geometrinin kuralları bu yüzeydeki üçgenlere ve öteki şekillere uygulanabilir.
Düz torus normal bir yüzey olarak uzayda var olmamasına karşın, Riemann’ın aşırıküresindeki (hipersphere) yaratıklar arasında bulunabilmesi ilginçtir.

Şekil I.10. Düz torus elde edilmesi (Osserman, 2000).

Düz torusu, taban ve tavanını çakıştırabilmek için silindiri çekiştirip uzatmaksızın halka haline getirebilir miyiz?. Matematik olarak kanıtlanabilmesinin dışında bunun mümkün olmadığını sezgimizle bile fark edebiliriz. Simide benzeyen bu özel nesne torus adı altında soyut bir yüzey olarak yaşamını sürdürmektedir. Bu torus üzerinde iki çember bir tek noktada kesişebilirler. Halbuki bu durum bir küre üzerinde gerçekleşemez (Şekil I.11). Kürenin üzerindeki bir çember küreyi iki kısma ayırır, bu çemberi bir kez kesen bir başka çember onu ikinci kez de kesmek zorundadır.

Şekil I.11. Torus ve küre üzerindeki iki çemberin kesişmeleri.
İki boyutlu (ikili) manifoldlardan başka üçlü manifold ve dörtlü manifoldlar yaratılmıştır. Bu sonuncular evrenin şeklini anlayabilmek için kullanılmaktadır. Üçlü manifold için şu örnek verilebilir. Dört duvarı, tavan ve tabanıyla bir oda düşünelim. Yine üç boyutlu şu video oyunu olsun: üç boyutlu uzay gemileri rastgele dolaşıyor, bir duvardan çıkıp aynı anda karşı duvarın çıktıkları noktanın tam karşısındaki noktadan tekrar içeri giriyorlar. Aynı şekilde tavandan (veya tabandan) çıkan uzay gemisi tabanın (veya tavanın) aynı noktasından içeri giriyor. Bu oda-dünyada herkes ve her şey aynı şekilde davranıyor. Bu durumda içinde bulundukları sanal gerçeklik bir “üçlü toru”tur. Yani iki boyuttaki düz torusun tam benzeri ve karşılığı bir üçlü manifolddur. Üçlü manifolda bir başka örnek ileride ele alacağımız Riemann aşırıküresidir ki (hipersphere) buna üçlü küre adı da verilir.

Eukleideslik olmayan bir geometri türü olan küresel geometri, ne gariptir ki eski Yunanlılara kadar geri gitmesine karşın uzun süre unutulmuş daha sonra birçok çeşidiyle birlikte yeniden keşfedilmiştir. Bu tekrar keşfedilmede XIX. yüzyılda (yy) kosmosla ilgili sorunların matematikçileri meşgul etmeye başlamasının rolü büyüktür. Böylece, çok boyutlu geometriler, uzayların, yüzeylerin geometrileri ortaya çıkmıştır. Bunlar çizilebilir şekillerle temsil edilmesi olanaksız, bizim alışık olduğumuz üç boyuttan farklı normlara gereksinme duyarlar.

Sanırım bu konuya, büyük matematik dehası Carl Friedrich Gauss ile başlamamak o’na haksızlık olur. Gauss, Eukleides’den beri yapılagelen doğru çizgilerle uzay inşasının zorunluluğuna inanmıyordu. Eğri uzay neden tasarlanmasıydı?. Tek boyutlu bir sistemde bir çizgi eğri olabilir; iki boyutluda ise eğri bir yüzey. Niye, en, boy, derinlik ile belirlenen bir hacim eğri olmasın?. Soyutlaması kolay olan bu düşünceyi çizebilmek mümkün olmamasından olsa gerek bu düşüncesini paylaşmadı. Zaten, “az fakat olgun meyve” ilkesine sahip olan Gauss düşüncelerinin zenginliğlni yayınlarına yansıtmayan bir matematikçiydi. Bu özelliği, kibir ve belki birazda ırkçı eğilimiyle birleşince, günümüzde hiperbolik geometri olarak bilinen geometriyi keşfeden genç Macar Janos Bolyai’nin tamamen matematikten soğumasına neden olmuştur. Bu geometri, kısa bir zaman sonra Rus Nikolai Lobatchevsky tarafından Eukleides geometrisine bir alternatif olarak (bazen Lobatchevsky geometrisi olarak da adlandırılır) geliştirilmiştir. Eukleides geometrisinin birçok önermesi Loatchevsky’nin modelinde de geçerli kalır; buna karşın klasik geometrinin en çok bilinen kimi teoremleri doğru değildir. Örneğin iç açılarının toplamı 180º olmayıp, çalışılan ortam, yalancıküre gibi negatif eğriliğe sahip hiperbolik olduğu için sabit bir sayı değildir, üçgenine göre değişir her durumda 180º den küçüktür.
Lobatchevsky gerçel sayılar yerine sanal sayıları kullandığı için geometrisini sanal geometri olarak adlandırıyodu. Lobatchesky geometrisinin geliştirilmesinde, sorunlarının çözülmesinde, evrenin daha doğru tanımlanmasına yarayan bir “alet” haline gelmesinde birçok matematikçinin katkıları olmuştur. Bunlar arasında Alman Ferdnand Minding, Johann Lambert, İtalyan Eugenio Beltrami, bir matematikçinin bir şairden daha fazla hayal gücüne sahip olması gerektiğini söyleyen Alman David Hilbert, Fransız Henri Poincaré sayılabilir. Böylece, eğer Dünya bir yalancıküre olsaydı, düz Dünya’ya inananların korktuğu gibi, gerçekten kenarından aşağıya düşeceğimiz anlaşıldı. Demek ki Lobatchevsky geometrisinin modelleri için başka yere bakmak gerekiyordu. Fakat Lobatchevsky geometrisi hiperbolik geometri olarak anılmaya devam etti (Osserman, 2000).
Poincaré sabit bir dairenin içinin hiperbolik geometri için bir model oluşturabileceğini buldu. Bu modelde hiperbolik geometrideki bir doğru, sabit daire içinde bir daire yayıdır, uçları sabit daireye diktir. Sabit dairenin çapları da bu şekilde yorumlanır (Şekil I.12). Birbiriyle kesişmeyen yaylar koşut doğrulara karşılıktır.

Şekil I.12. Poincaré modelinde, hiperbolik geometrinin doğrularına karşılık daire yayları.
Poincaré modeli açılara dokunmaz, böylece açılar doğrudan doğruya şekilden ölçülebilir. Birbirini dik açıyla kesen yaylar dik çizgilere (dikeylere) karşılıktır. Fakat uzunluklar aynen korunmamıştır. Sınıra (sabit daireye) yaklaştıkça eşit uzunluklar giderek kısa yaylarla temsil edilir ve sınır (dairenin çevresi) merkezden sonsuz uzaklıkta gibi görünür (Şekil I.13). Bu şekilde hiperbolik düzlem sonsuz sayıda kongruent üçgenden yapılmış gibi gözükür.

Şekil I.13. Lobatchevsky uzayının Escher tarafından resimlenmesi. “Melekler ile Şeytanlar” tablosu (Penrose, 1989’dan).

Hollandalı ressam Mauritus C. Escher bu geometriyi doğru yorumlayarak özenli bir tablo çizmiştir. Siyah şeytanların aynı biçim ve büyüklükte, beyaz meleklerinde aynı biçim ve büyüklükte oldukları düşünülmelidir. Lobatchevsky geometrisi normal Eukleideslik düzlemde tam bir doğrulukla gösterilemez; bu nedenle çember sınırına doğru şekillerin yığılması oluşur. Eukleides düzleminde çizilmiş bu örneğin sınırı Lobatchevsky geometrisinde aslında sonsuzdadır. Escher’in tablosunda dik açıda kesişen bazı çember yayları da görülmektedir, bunlar yukarıda değinildiği gibi geometrinin düz çizgileridir.
Einstein’ın genel görelilik kuramı, Dünya’nın “yakın çevresinin” geometrisinin Eukleides geometrisinden, Lobatchevsky geometrisine oranla daha karmaşık ve düzensiz olarak saptığını söyler. Eukleides geometrisinin görünüşte, dünyamızın “uzayının” yapısını yansıttığına inanmışızdır. Aslında bu ampirik gözlemsel bir gerçekliktir; yine de fiziksel uzayımızın yapısına kesinlikle uymasa bile bu geometrinin yeterli doğrulukla uygun olduğu anlaşılmaktadır.
Diferansiyel Geometri

Gauss 17 yaşında, birçok matematikçi kuşağın asla tartışmadığı Eukleides geometrisinin bazı ilkelerini sorgulama cesaretini göstermiştir. Bu geometrinin kapasitesinin sınırlılığını ise Gauss’un öğrencisi Bernhard Riemann, üç boyutlu yüzeylerin, dört hatta daha fazla boyutlu uzayların varlığını kurgulayarak açık seçik ortaya serdi. Janos Bolyai’nin tersine Alman Bernhard Riemann Gauss tarafından kuvvetli şekilde teşvik gördü ve cesaretlendirildi.

Gözde canlandırılması güç olan Riemann’ın bu yeni geometrisi soyut olarak daha kolay anlaşılır. Örneğin tek boyutlu çizgiden iki boyutlu düzleme (genişlik, uzunluk) (iki boyutlu uzay); sonra üç boyutlu katı cisimlere (genişlik, uzunluk, yükseklik) ve daha sonra da çok boyutlu sistemlere (genişlik, uzunluk, yükseklik ve zaman veya başka bir birim) derece derece geçilebilir. Çok boyutlu (n boyutlu) geometrisini geliştirmek için, uzaya uygulamak amacıyla eğrilerin ve yüzeylerin bazı özellikleri genelleştirilmiştir. Bu genellemelerden birisi de daha önce değindiğimiz eğrilik kavramıdır. Çok karmaşık sorunları çözmek için Riemann bu kavramdan yararlandı. Ayrıca Riemann, referans bir eksenler sisteminin sağladığı olanakların ayrıntılı analizine önem verdi. Kartezyen sistemde bu eksenler bir düzlem içinde birbirine dik iki doğrudur. Bir küre üzerinde referans çizgileri enlemler ve boylamlardır; bir elipsoid üzerinde çemberler ve elipsler; bir trompetin içi için paraboller ve çemberler olabilir. Riemann, eğri bir yüzeyin referans eğrileri topluluklarıyla belirlenebileceğini anlamıştı (Şekil I.14). Bu referans sistemlerinin kullanılması, klasik sistemin referans eksenleriyle tanımlanan bir yüzeyin denklemlerini büyük ölçüde basitleştirmeye olanak sağlamıştır.

Şekil I.14. Riemann’ın eğri yüzeyleri. 1, 2, 3 , küreninkiyle aynı tür eğriliğe (pozitif) sahip yüzeyler. 4 nolu silindirde eksene dik yönde bir eğrilik varken eksen boyunca eğrilik sıfır olduğundan bir düzlem söz konusudur. 5 ve 6 numaralarda negatif eğrilik şekilleri gösterilmiştir.
Farklı eğrilerden jeodezik olanlar özellikle kullanışlı bir referans sistemi oluştururlar. Jeodezik çizgi iki nokta arasındaki en kısa yoldur. Bir düzlem üzerinde bir doğru parçası; bir küre üzerinde bir çember yayıdır. Yeryuvarı az çok küresel olduğundan, kıtalararası uçuşlarda uçaklar bu jeodezikleri takip ederler. Riemann, mesafelerin minimum olmasını sağlayacak şekilde oluşturulmuş çok karmaşık denklemleri çözdüğünde, jeodezik çizgiler örüntüsünün tanımlanabileceğini ve üç veya daha fazla boyutlu herhangi bir yüzeyin ya da uzayın eğriliğinin takip edilebileceğini ortaya çıkardı (Şekil I.15). Eukleideslik düzlemde iki nokta arasındaki en kısa yol bir doğrudur; üçgenin iç açıları toplamı 180º dir., bu üçgen bir yerden bir yere deformasyona uğramadan taşınabilir. Gauss’a göre bu düzlem n boyutlu eğri düzlemlere uygulanabilen geometrinin özel halidir (Şekil I.15A). Eğri uzayda iki nokta arasındaki en kısa yol bir eğridir; böyle bir yüzeyde yer değiştiren bir üçgen deformasyona uğrar, iç açıları toplamı yer değiştirmeye bağlı olup 180º den farklı olabilir (Şekil I.15B).
Ossermann (2000), Riemann geometrisini daha iyi anlayabilmemiz için, Einstei’ın pek sevdiği bir “düşünce deneyi” yapmamızı önerir. Dünya’nın yakın çevresindeki uzay kesiminin şeklini incelemek istiyoruz. Kuzey kutbundan yukarı (düşey) bir yön seçip bu doğrultuya dik düzlemdeki uzayın şeklini araştıralım.

(A) (B)
Şekil I.15. Eukleideslik uzay (A) ve Riemann’ın eğri uzayı (B).

Ekvatorda (eşlekde) eşit aralıklarla yerleştirilmiş roketler olsun. Bunlar aynı anda fırlatılıyor; her roket belirli yüksekliğe erişince parlak bir ışık saçıyor. Böylece, belli bir uzaklıkta Yerküre’yi çevreleyen ışıktan dev bir halka oluşacaktır. Bu halkanın çevresini ölçebildiğimizi kabul edelim. Uzay gerçekten eukleideslik ise bu halkanın uzunluğu 2¶r dir (r=Dünya yarıçapı). Fakat Riemann’a göre halkanın değerini önceden bilmemiz mümkün değildir, zira uzay gerçekte eukleideslik midir bilmiyoruz. Şayet uzay lobachevskylik (hiperbolik geometri) olsaydı halkanın boyu 2¶r den uzayın eğriliğinin ölçüsünü veren bir değer kadar büyük olurdu. Işıktan halkanın uzunluğu eukleideslik değerden daha küçük çıkardı şayet Riemann geometrisi (eliptik, küresel) geçerli idiyse. Üç geometriden hangisinin geçerli olduğunu varsaymak için hiçbir neden yoktur. Her üç geometride de (Eukleides, Lobatchevsky, Riemann) çapı verilen bir dairenin çevresi, daire uzayda nerede olursa olsun hep aynı kabul ediliyordu. Riemann bunun böyle olduğunu varsaymanın hiçbir dayanağı olmadığını ileri sürdü. Dünya’nın yakınlarında uzayın eğriliği, galaksinin başka bir yerinde veya başka bir galaksideki bir yıldızın çevresindekinden çok farklı olabilirdi. Burada, Einstein’ın daha sonra geliştirdiği Görelilik Kuramında Riemann’ın görüşlerinden büyük ölçüde yararlandığı ortaya çıkıyor. Sıfır eğrilik, yarıçapı r olan dairenin çevresinin 2¶r olduğu anlamına gelir; pozitif eğrilik 2¶r’den küçük (eğrilik ne kadar fazlaysa çevrenin uzunluğu o kadar küçük), negatif eğrilik 2¶r’den büyük (eğrilik ne kadar fazlaysa uzunlukta o kadar büyük) değerlere karşılık gelir. Yukarıdaki irdelemelerden şu önemli sonuçlar çıkarılabilir: i) Riemann’ın uzayın eğriliği kavramı, ölçümlerin sonuçlarının şayet uzay eukleideslik olsaydı bulunacak değerlerden nasıl saptığının (sapacağının) açıklanması olarak anlaşılmalıdır. Yoksa eğrilik, “düzlüğe” veya “doğruluğa” karşılık nitel bir özellik değildir. Eğrilik, net ve kesin nicel bir kavramdır; kesin bir sayı ile tanımlanır; ii) Çoğunlukla yapıldığı gibi, eğri uzayın anlaşılması için, herhangi bir şekilde dördüncü boyutun içine doğru “kıvrılmış” olarak düşünülmesi şart değildir (Osserman, 2000).
Bulutsuz bir gecede gökyüzüne baktığımızda geçmişe bakmış oluruz. Zamanda “geriye” bakmakla uzayda “dışarı” bakmak bir ve aynı şeydir. Bir yıldız Dünya’dan ne kadar uzaktaysa, ona bakarken zamanda da o kadar geride bir anı görürüz. Gördüğümüz yıldızlar, galaksiler ters-evreni (retroverse) oluşturur. Ters-evren için daha çok kullanılan terimlerden birisi “geri yönelik ışık konisi”dir. Işık konisi kavramı sıksık geçeceği için önce onu tanımlayalım, sonra tekrar ters-evren konusuna döneriz.

Bir olay, uzayda tek bir noktada ve zaman içinde bir anda gerçekleşen bir şeydir. Bu nedenle dört koordinat gerekir. Dört boyutu çizemediğimiz için biz üç boyutla yetineceğiz (iki uzay, bir zaman boyutu). Bir olaydan yayılan ışık, dört boyutlu uzay-zamanda üç boyutlu bir koni oluşturur. Suya atılan bir taşın yarattığı dalgaların yayılmasının üçüncü boyutta bir koni oluşturması gibi (Şekil I.16).

Şekil I.16. Suda dalgalarının zamanla koni oluşturması.
Bu koni o olayın gelecekteki ışık konisidir. Aynı şekilde geriye dönük (geçmişteki) ışık konisi denilen öteki koniyi de çizebiliriz (Şekil I.17). Bu koni ise o olaya ışığı erişebilen geçmişteki olayları tanımlar.


Şekil I.17. Işık konileri.
Yukarıdaki şekilde biz, şimdide, P noktasındayız. Gökyüzüne baktığımızda alt taraftaki koni söz konusudur. Konilerin dışındaki iki alana öteyer denir. Buralardaki olaylar konilerin içindeki olayları etkilemezler. Gelecekteki ışık konisi, P’deki olaydan etkilenmesi olanaklı olayları içerir. Örneğin Güneş şu anda sönse ancak 8 dakika sonra farkına varırız. Zira aşağıda görüldüğü üzere (Şekil I.18) 8 dakika sonra Güneş’in sönme olayının gelecekteki ışık konisine gireriz.

Şekil I.18. Güneş’in sönmesinin gelecekteki ışık konisi (Hawking’den).
Ters-evrene tekrar dönecek olursak özetle şunu söyleyebiliriz. Ters-evren, belli bir yerden (Dünya’dan) belli bir anda dışarıya, başka bir deyişle geriye doğru baktığımızda gördüğümüz evren parçasıdır. Düz Dünya’ya koşullanmış olan düşünceyi artık yenip aşmış olmakla birlikte, düz evren kavramıyla düşünme eğilimimizi henüz yenebilmiş değiliz.
Riemann eğri uzay fikrinin yanında onun eğriliğinin nasıl hesaplanacağını açıklarken şekli hakkında eukleideslik modelden tamamen farklı bir model de önerdi. Şayet uzay sabit eğriliğe sahip küresel idiyse aşağıdaki gibi bir şeyler olacaktı (Osserman, 2000).

Dünya’nın merkezde bulunduğu küresel bir evren olsun. Teleskoplarımız bu kürenin dışına ulaşamıyor. Çok uzaklarda, başka bir küresel evrenin merkezinde de başka bir uygarlık var, onlarda kürelerinin dışına erişemiyorlar. Bu durumda çeşitli seçenekler akla gelebilir.

-İki küre birbirinden çok uzaklarda olup aralarında göremedikleri birçok evren parçası olabilir (Şekil I.19).

Şekil I.19. Örtüşmeyen evrenler.
-Her iki uygarlıktan gözlemlenebilecek bazı galaksiler bulunacak şekilde iki evren az çok örtüşebilir (Şekil I.20).

Şekil ı.20. Az çok örtüşen evrenler.
-Üçüncü olarak Riemann, hem örtüşmeyebilir hem de birlikte tüm evreni oluşturabilirler diye önermiştir. Diğer bir deyişle, teleskoplarımızla ulaşabildiğimiz evren bölümü büyük bir kürenin içinde yer alır; bu kürenin dış sınırı, içinde başka bir uygarlığın bulunduğu öteki taraftaki kürenin de dış sınırı olabilir. Bu dış sınır, evreni iki kısma ayıran ekvatoryal (eşleksel) küre olacaktır (Şekil I.21). Yerküre’yi kuzey ve güney yarımkürelere bölünmüş olarak düşünürsek ikisinin sınır çemberleri kürenin üzerinde, kuzey yarımkürelilerin bir taraftan, güney yarımkürelilerin de öbür taraftan seyrettikleri aynı büyük daire, yani eşlek olur.

Şekil I.21. Örtüşmeyen iki evrenin oluşturduğu evren.

“Biz” noktasından baktığımızda görebileceğimiz en uzak noktalar AA çemberini oluşturan ufuk çizgisi üzerindedir. Noktamızda biraz “yükselirsek” BB çemberi ufuk çizgimiz olur. Biraz daha yükselince CC (ekvator) ufuk çizgisine dönüşür. Bundan sonra ne kadar yükselirsek yükselelim, küresellik nedeniyle, daha uzağı göremeyiz. Aynı durum “Onlar” noktasındaki yaratıklar için de geçerlidir.

Alışkın olduğumuz düzlemsel geometriden yararlanarak Riemann’ın önerisini anlamaya çalışalım. Biliyoruzki çepeçevre ufka baktığımızda en uzaktakilere kadar birçok yıldız, galaksi halkası görürüz. Bu halkaları üçer milyar ışık yılı (ışık yılı= ışığın bir yılda katettiği mesafe, yaklaşık 10 trilyon kilometre) mesafelerle bir düzleme haritalayalım (Şekil I.22).

Şekil I.22. Benmerkezli düzlemsel haritada galaksiler halkaları.
Big Bang’ın (Büyük Patlama) yaklaşık 14 milyar yıl önce gerçekleştiğini, galaksilerin artan hızlarla birbirinden uzaklaştığını biliyoruz. Diğer bir deyişle hepsi 14 milyar yıl önce aynı bir noktadaydı. Şeklimizde en dış halka üzerindeki herhangi bir şey bizden 14 milyar ışık yılı uzaklıktadır (Escher’in tablosundaki sınır çemberi anımsayınız). Oradan gelen ışınlar kaynaklarından 14 milyar yıl önce yayılmışlardır. İyi ama, 14 milyar yıl önce bütün gözlemlenebilir nesneler aynı bir noktada değimliydi? (Big Bang öncesi). Öyleyse en dış halka gerçek evrende tek bir noktayı temsil ediyor olmalıdır. Bir paradoksla karşı karşıyayız. Şeklimizdeki galaksi halkaları uzaklaştıkça büyür görünüyorlar ama en son halka gerçekte bir nokta halinde olmalıydı. Şeklimiz, Dünya yüzeyinin “benmerkezli” haritasını çizerken ortaya çıkan durumla aynıdır. O haritada dış çemberin yeryüzünde bir noktayı (haritanın merkezinin çapucu noktasını) temsil ettiği gibi galaksi haritamızda da dış çember bir tek noktayı (14 milyar yıl önce her şeyin yığılmış olduğu noktayı) temsil ediyor. Gözlemlediğimiz evrenin şekli küresel olsaydı ve bunu o şekilde kağıda aktarabilseydik bu paradoks çözülürdü (Şekil I.23).

Şekil I.23. Küresel evrende galaksiler halkaları.