Nazariy fizika kursi

5S = - J *
-
^AiSdx*
-
-c SAidx^J =
0 . 
(3.2б1
Aidx1
I = 0
(3.251

---

gu yerda 
dxi/d s
=
щ j с, щ
- 4-tezlik. Yuqoridagi ifodaning birinchi 
va ikkinchi hadlarini b o‘laklab integrallaymiz va 
6хг(а)
=
6xl(b)
= 0, 
<5Л‘ (а) =
$Ax(b)
= 0 ekanligin hisobga olib quyidagini hosil qilamiz:
— 
J (jn dui 6xl
+ ^
dAiSx1 — - SAidx1^
= 0 . 
(3.27)
Аг
ning variatsiyasini va difFerensialini
5 A — 
8xk 
dA — 
dxk
' ~ Э х к
’ 
d A l ~ d x k
ko'rinishda yozib olamiz. Bunga asosan (3.27) ni qayta yozamiz:
- j (m, dui 6xl +
dxk8x
1 -
-J ^ ^ 5 x kdx1'^
= 0 . 
(3.28)
Birinchi 
hadda 
dui
= (
dui/dr)dT
, ukkinchi va uchinchi 
dx
kW 
= uk^ d r
deb yozamiz, 
bundan tashqari uchinchi hadda 
i
va 
к
larning o'rnini 
almashtiramiz:
I 
[ b
L
_ 
£ d i ) J
с Ja
L
 
dr 
с
V 
д х г 
д х к J
ds5xl —
0 , 
(3.29)
bu 
yerda 
ds = cdr.
Integral chegaralari “a” va “ 6” ixtiyoriy va bu dunyo 
nuqtalarida 
6xk
= 0 bo‘lganligi uchun (3.29) da integral ostidagi ifoda 
nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni
dui 
e ( d A k 
dAi\ k 
.
m *
= c ( a ? - 9 ? ) u • 
(3'30)
^elgilash kiritamiz:
_
d A k 
dAi
Ikkinchi rangli antisimmetrik 4-tenzor 
Fik elektromagnit maydon
4- 
enzori
 
deyiladi. Bu tenzor orqali zaryadning harakat tenglamasi quyi- 
agi 
ko'rinishda yoziladi:
Вц
dui 
l.
m — =
Fikuk .
 
(3.32)
2aryadning harakat tenglamasining to‘rt o'lchovli ko‘rinishidir.
71

---

Tenzor 
Fik
ning alohida elementlarining qanday fizik kattaliklarga 
t o ‘g‘ri kelishini aniqlash uchun 
A 1
=
(

dan va elektr vs 
magnit maydon kuchlanganliklarining ta’riflari (3.19)-(3.20) dan foy
dalanamiz. Misol uchun 
Fik
ning bir necha elementlarini hisoblaymiz:]
Foi =
F
21
=
dA\ 
dAo
dx°
d A x
d x
1 
d A 2
1 
dAx
с dt
_
p
ГЧ 
----
OX
F
02
=
E y,
F
03
— 
E z \
dAx 
dA
dx
2
dx
1
dy 
dx
+ ^ p . = H z, 
F\3 = Hy , 
F32 = Hx.
Elektromagnit maydon tenzorining antisimmetrikligidan foydalanilj 
uning qolgan elementlarini aniqlash mumkin. Endi tenzorni г-indekl 
qatorning, ifc-indeks esa ustunning tartib raqamini ko‘rsatuvchi matritsa 
ko'rinishida yozamiz:
Fik =
' X
Ey
V 
- E z
E x
Ey
E z
\
0
- H z
Hy
Hz
0
- H x
- H y
Hx
0
)
(3.331
F lk
ni yozishda indekslarni ko‘tarish va tushirish qoidasidan foy dan 
landik. Bu tenzorni shartli ravishda ikki vektorning to ‘plami sifatida 
yozish mumkin:
Fik = { E ,H ) , 
F ik = { - E , H ) .
(3.341
Shunday qilib, elektr va magnit maydon kuchlanganliklari bitta 41 
tenzorning komponentalari ekan. Bu tenzorga elektr va magnit maydon 
kuchlanganliklari teng huquqli asosda kiradi.
Uch o ‘lchovli belgilashlarda (3.32) ning uchta fazoviy (г = 1,2, Я
tashkil etuvchilari (
3
.
2 1
) tenglamaga aynan o ‘tishiga oson ishonch h o si 
qilish mumkin. Uning г = 0 tashkil etuvchisi bajarilgan ish tenglama»
(3.22) bilan aynandir. Bu tenglama zaryadning harakat tenglamasidail 
keltirib chiqarish mumkin. (3.32) tenglamaning har ikkala tomonini 
и
. 
ko'paytirib to ‘rtta tenglamadan uchtasi o ‘ zaro bog‘liq emasligini ko'risl 
mumkin. Bu masala 69 - betda ko'rilgan. Haqiqatan ham,

---

tenglamaning har ikkala tomoni nolga teng. Chap tomonining nolga 
tengligi 4-tezlikni 4-tezlanishga ko'paytmasi nolga tengligidan, o ‘ng to- 
lll0ni esa F,* antisimmetrik tenzorni 
uluk
simmetrik tenzorga ko'payt- 
inasi nolga tengligidan kelib chiqadi.
3.4 
Maydon kattaliklari uchun 
Lorentz almashtirishlari
Bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o ‘tganda maydon kat­
taliklari - elektromagnit maydon potensiallari va kuchlanganliklari qan­
day almashishini ko'rib chiqamiz.
Avvalgidek, 
К
va 
K '
sanoq sistemalardagi dekart koordinata o'qlari 
mos ravishda bir-biriga parallel va 
K '
sistema 
К
ga nisbatan x o ‘qi 
bo'ylab 
V
tezlik bilan harakatlanayotgan b o ‘lsin. Bu holda elektro­
magnit maydon potensiallari 
Ai = (

4-vektorni tashkil qilganligi 
sabali ular uchun Lorentz almashtirishlari (1.49) ga asosan quyidagicha 
yoziladi:
, 
V Л! 
л'
_L 
v
,n
_ ^ +
CA X 
A 
A x
+ c
ip
—
. 
_
_
p2
’ 
_
_
p2
’ 
y ~ V
 
~
z '
^
Elektromagnit maydon kuchlanganliklari uchun almashtirish for- 
mulalarini 4-masala natijasidan foydalanib yozamiz. Elektr maydon
uchun:
P 1