Referat Elmi rəhbər: Novruzova Gülnar Tələbə: Həsənəliyeva Şəms baki-2022

Limiti olan funksiyalar üzərində hesab əməlləri

Aşağıdakı teorem doğrudur.
Teorem 1. b ədədinin a nöqtəsində f (x) funksiyasının limiti olması üçün zəruri və kafi şərt a(x) f (x)=b düsturu ilə təyin edilən funksiyanın a nöqtəsində sonsuz kiçilən olmasıdır.
isbatı: Zəruriliyin isbatı. Tutaq ki, lim f (x) =b . f (x)+b (x) işarə edək.

Onda funksiyanın limitinin tərifinə görə yaza bilərik:

=0

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki, a(x) = f (x)b düsturu ilə təyin olunan a(x) funksiyası a nöqtəsində sonsuz kiçiləndir. Onda


şərtini ödəyən bütün qiymətlərində
Teorem isbat olundu.
Bu teoremdən alınır ki, lim f (x) =b olarsa, onda f (x) funksiyasını a-nın
ətrafında
f (x) =b+a(x), lim+(x) = 0
şəklində göstərmək olar.
Bu fakta əsaslanıb aşağıdakı teoremin doğru olduğunu isbat etmək olar. Teorem 2. Əgər f (x) və g(x) funksiyalarının eyni bir a nöqtəsində limitləri
varsa, onda f (x) g(x) , f (x) g(x) və lim g(x) 0 ^{olduqda f (x)} funksiyalarının da a
nöqtəsində limitiləri vardır və aşağıdakı bərabərliklər doğrudurlar:
lim[ f (x) g(x)] lim f (x)=lim g(x),

isbatı. Biz teoremin iki funksiyanın hasili üçün olan isbatını göstərməklə kifayətlənəcəyik.
Fərz edək ki, lim f (x) = A, lim g(x) = B. Onda məlumdur ki, x-in kiçik

ətrafında bu funksiyaları aşağıdakı kimi göstərmək olar:

f (x) A+a(x), lima(x) = 0,

g(x) = B+(x), lim(x)= 0.

Ona görə f (x)g(x) hasilini

f (x) g(x) = (A+a(x))=(B (x))=
=AB + A (x) + B(x) +a(x) (x)
şəklində göstərmək olar. Məlum xassələrə görə
A
funksiyası a nöqtəsində sonsuz kiçiləndir. Onu y(x) ilə işarə etsək, (1)-ə əsasən
f (x) g(x) + AB (x) f (x)g(x)=AB (x),limy(x) =0

Teoremin f (x) g(x) funksiyaları üçün də isbatı oxşar qayda ilə g(x)
aparılır.

4. 
   Bəzi mühüm limitlər
   

1. 
   =1
   

Biz gələcəkdə bu düsturun çox sadə isbatını verəcəyik.

2. 
   =e
   

Biz x = n olan hal üçün (n- natural ədəddir) (2)-nin doğruluğunu isbat etmişik:

=e


5. Mühüm limitlərdən çıxan nəticələr.
A. =e

Isbatı
=e dusturunda =y əvəz edək. Aydindir ki x
şərtində y 0. Onda bu düsturdan alırıq:
=e

(2)-də y əvəzinə x yazsaq, (1) alınır.
isbatı. a^x -1= y əvəz edək. Buradan a^x =1+y alınır. Onda
a^x =1+ y = x log_a (1+ y). Digər tərəfdən x 0 şərtinə a^x -1= y bərabərliyindən y = 0 olduğu alınır. Onda bunları və (3)-ü nəzərə alıb, (4)-ün sol tərəfindəki limiti
belə çevirmək olar:
(4)-dəx=e götürdükdə aşağıdakı limiti alırıq:

D . =1

Nəticə
Funksiyanın nöqtədə limitinin olmasından çıxır ki, həmin funksiyanın bu nöqtədə sağ və sol limitləri vardır və bir-birinə bərabərdir. Lakin nöqtədə sağ və sol limitlərin varlığından həmin nöqtədə bu funksiyanın limitinin varlığı çıxmır. Funksiyanın nöqtədə limitinin varlığı üçün zəruri və kafi şərt bu nöqtədə sağ və sol limitlərin hər ikisinin varlığı və bir-birinə bərabər olmasıdır.

ƏDƏBIYYAT
1. M.Səbzəliyev “Ali riyaziyyatdan mühazirələr” I hissə, Bakı-2014, II fəsil §10 - §12
2. M.M.Səbzəliyev “Ali riyaziyyatdan məsələlər” I hissə, Bakı-2016, II fəsil §3.
3. Stewart, Gilbert (1998). Matrix Algorithms: Basic decompositions. SIAM
4. R.Məmmədov.Ali riyaziyyat kursu III hissə.“Maarif”-1984 il