Reja: Aniq integralni
Yüklə 59,36 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2.Trapesiyalar formulasi
- 3. Simpson formulasi
|
5.Ma’ruza:Taqribiy integrallsh usullari aniqligi va hisoblash hajmi bo’yicha taqqoslash Reja: Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari To’g’ri to’rtburchak formulasi Simpson formulasi 1. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi Faraz qilaylik, y = f (x) funksiya [a,b]kesmada uzluksiz funksiya bo`lsin. b Ushbu ò f ( x)dx aniq integralni hisoblash talab qilinsin. [a,b] kesmani a a = x0 ,x1,......,xn = b nuqtalar bilan n ta bo`lakka ajratamiz. Har bir bo`lakning uzunligi Dx = b - a ga teng bo`ladi. n f (x) funksiyaning x0 ,x1,x2 ,x3,......,xn nuqtalardagi qiymatini mos ravishda y0 = f ( x0 ), y1 = f ( x1 ), . . . . . yn = f ( xn ) belgilaymiz va quyidagi yig`indini tuzamiz. y0D +x y x1D +......+ yn-1Dx ån-=1 y xiD , i=0 y x1D + y2D +x ......+ yn Dx ån=y xi D . Bu yig`indilarning har biri [a,b] i=1kesmada f (x) funksiyaning integral yig`indisi bo`lishi ravshan va shuning uchun taqriban integralni ifodalaydi: òba f x dx( ) » b-na (y0 + + + +y1 y2 ... yn-1), (1) òba f x dx( ) » b-na (y1 + + +y2 ... yn). (2) (1) formula (ichki) va (2) formula (tashqi) lar o`rinli bo`ladi. Taqribiy hisoblashning absolyut xatoligi R1 = M1 (b - a)2 (3) 4n dan katta emas. Bu yerda M1 = max f ¢(x); h = Dx = b - a bo’lak uzunligi. [a,b]n 2.Trapesiyalar formulasi [a,b] kesmani n ta teng bo`lakka bo`lamiz. Dx = b - a y = f (x) chiziqning har bir yoyini n bu yoyning uchlarini tutushtiruvchi vatar bilan almashtiramiz. Berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini n ta to`g`ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz. òba f x dx( ) » ( y0 +2 y1 D +x y1 +2 y2 D +x .....+ y yn-21 n Dx) ( )4 Bu trapetsiyalar formulasidir. (b-a)3 Trapetsiyalar formulasini absolyut xatoligi R2 = M2 12n2 dan katta emas. Bu yerda M2 = max f ¢¢(x) . [a,b] 3. Simpson formulasi [a,b] kesmani n=2 ta juft miqdordagi teng qismlarga bo`lamiz. Uchta nuqta olamiz va bu (x0; у0) (x1; у1),(х2; у2) nuqtalar orqali У = Ах2 + Вх + С parabolani o`tkazamiz. Bu parabola bilan y = f ( x) funksiya grafigini almashtiramiz. Huddi shunga o`xshash y = f ( x) [a,b] funksiya grafigi [x2;х4],[х4;х6] va boshqa kesmalarga almashtiramiz. Shunday qilib y = f ( x) egri chiziqli trapetsiya yuzini bu kesmadagi parabolalar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiyalar parabolik trapetsiyalar deyiladi. parabola tenglamasining А, В , С koeffisentlari parabolaning berilgan uchta nuqtadan o`tish shartidan aniqlanadi. А, В,С koeffisentlarni parabolaning [- h; у0],(0;у2),(h;у2) nuqtalardan o`tish shartidan to’amiz. h = Dx = b - а = b - а n 2m ìy0 = Аh2 - Вh + C, ï í у1 = С ïî у2 = Аh2 + Вh +C bu tenglamalar sistemasini yechib А = 21h2 (y0 - 2y1 + y2) C =Y1,В =21h (y2 - y0) ni aniqlaymiz. Endi parabolik trapetsiyaning S yuzasini aniq integral yordamida topamiz. S1 = òhh(Ах2 + Вх + С)dx = ççèæ A x33 + В х22 + схö÷÷ø -hh = h3 (2Ah3 + 6C) - А va В ning topilgan qiymatlarini o`rniga qo`yib, quyidagilarni hosil qilamiz: S1 = h( y0 +4y1 + y2 ) 3 S3 = h( y4 +4y5 + y6 ) h 3 S2 = ( y2 +4y3 + y4 ) 3................................................. S2m = h ( y2m-2 +4y2m-1 + y2m ) 3 òab f x dx( ) = h3 (y0 + +y2m 4(y1 + + +y3 ... y2 1m- )+ 2(y2 + + +y4 ... y2 2m- )) (5) bunda h =Dx = b - a 2m Shunday qilib, aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi (parabolik trapetsiyalarni formulasi) bunday ko`rinishni oladi. òba f x dx( ) = b2-ma (y0 + y2m +4(y1 + y3 +...+ y2 1m- )+ 2(y2 + y4 +...+ y2m )) (6) (b-a)5 b-a Sim’son formulasining absolyut xatosi R3 = M3 2880n4 h= Dx = 2m dan katta emas. Bu yerda M3 = max f IV (x) . [a,b] 1-misol Ushbu I = ò1 dx integralni taqribiy qiymatini to`g`ri to`rtburchaklar formulasi 1+ x bo`yicha hisoblang. Yechish. Avval integralni aniq qiymatini Nuyuton-Leybnits formulasi bo’yicha hisoblaymiz. dx 1 ò = ln1+a = ln 2 » 0.69315. 1+ x 0 0 [0;1] kesmani Dx = = 0.1 qadam bilan teng 10 bo’lakka ajratamiz va har bir nuqtada f (x) = 1 funktsiyani qiymatini hisoblab quyidagi jadvalni tuzamiz. 1+ x
1. To`g`ri to`rtbrchak formulasi bo’yicha h =10, Dx = = 0.1 bo’yicha (1) formulaga qo’yib hisoblaymiz I » 0.1(1+ 0.9091+...+ 0.5263) = 0.71877 (2) formula bo’yicha I » 0.1(0.9091+ 0.8333+...+ 0.5) = 0.66877; Endi xatoligini hisoblaymiz: f (x) = 1 va f ¢(x) = - 1 (x +1)2 M1(b - a)2 M1 = max f ¢(x) = max - £ 1 demak R1 = 4n = 4×110 = 0.025 dan ortmaydi. 2. Trapetsiya formulasi bo’yicha (4) formulaga asosan I » 0,1( +0,9091++0,5263) = 0,69377 hosil bo`ladi. f ¢( )x = - 1 2 , bo`lganligi uchun f ¢¢( )x = 2 (1+ x) (1+ x)3 [0,1] kesmada f ¢¢(x ) £ 2 . Demak, M 2 =2 M b2( -a)2 2 1 Natijani xatosi 2 = = < 0,02 12n 12 100× 600 Kattalikdan ortiq bo`lmaydi. Integralni absolyut xatosi 0,69315-0,69377 = 0,00062 3. Simpson formulasi bo’yicha n = 2m =10 bo`lsa, Dx b-=a 1 = (6) formulaga asosan 3n 30 I = (1,0000+0,5000+ 4(0,9091+0,7692+0,6667 +0,5882+0,5263)+ +2(0,833+0,7143+0,6250+0,5556)) = 0,693146 Natijaning absolyut xatosi f IV = 24 5 , M 4= max0,1 24 5 £ 24 . (1+ x) [ ] (1+ x) R3 = M3 (b -a)45 = 24 » 0,000008 dan ortmaydi. 2880n 2880 10000× Natijalarni taqqoslab, Simpson formulasi ancha aniq ekaniga ishonch xosil qilamiz. 2-misol. ò2 sin(x dx2 ) integralni trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang. 0 Yechish. n =10, Dx = b - a = 2 - 0 = 0.2 n 10 quyidagi jadvalni to’ldiramiz.
trapetsiya formulasiga asosan 2 òsin( )x dx2 »0.2 (+0.04 0.1593 0.3523 0.5972 0.8415 0.9+ + + + + 915 0.9249 0.5487 0.3427 ) 1.11722+ + + = 0 Endi absolyut xatoligini topamiz: f ¢( )x = (sin(x2 ))¢ = 2xcos(x2 ) f ¢¢( )x = 2cos(x2 )-4x2 sin(x2 ) M 2 = max 2cos(x2 )-4x2 sin(x2) £ 2 R2 = M212(bn-2a)3 = 122**1008 = = 0.013 dan katta emas. 12 3-misol. ò x3 +13 dx integralni parabolalar formulasi yordamida taqribiy hisoblang. 2 Yechish. n =10, h= Dx = 1. f x( )= x3 +13 quyidagi jadvalni to’ldiramiz.
(6) formulaga asosan 12ò2 x3 +13 dx» 13 éë4,5882+ 41,725+ 4 6,324( +11,747 +18,868+ 27,240+36,661)+ +2 8,775( +15,133+22,913+31,828)ù=û 197,808 Mustaqil yechish uchun misollar. Quyidagi integrallarni integrallash oralig`ini 10 bo`lakka bo`lib, to`g`ri to`rtburchak, Trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy hisoblang. Absolyut xatoni aniqlab bo`lmagan holda hisoblashlarni 0,001 aniqlikda bajaring. p 1. 13ò3 x3 +3 dx 2. 10ò0 x + 4 dx 3. 10ò0 x3 +1 dx 4. pò2 sinxxdx 4 5. ò10 2+1 x dx 6. -ò82 x +12 dx 7. ò01 e dx-x2 8. ò20 3+1 x dx 123112 9. ò x3 +8 dx 10.ò dx 11.ò 3-x dx2 12. ò x2 +7 dx 202 13. ò50 x 1-2 dx 14. 11ò1 x +6 dx 15.ppò cosx x dx 16. ò21 x +1 7 dx 2 17. 14ò4 x3 +5 dx 18. ò72 lnx1 dx 19. ò38 x1-1dx 20.11ò1 x3 +9 dx p 21. ò30 cos x dx 22. ò85 x +1 7 dx 23. 15ò5 x3 -1dx 24. ò01 1+ 4x dx3 25.ò30 x +1 7 dx Yüklə 59,36 Kb. Dostları ilə paylaş:
|