Se cheamă fizica neliniară sau disertaţie pentru „Teoria haosului
Yüklə 152,95 Kb.
|
|
Se cheamă fizica neliniară sau disertaţie pentru „Teoria haosului”
În principal într-un asemenea capitol (care practic s-a născut de nici 50 de ani) se discută despre dinamica neliniară, după care apare un termen folosit curent de noi „haosul”, dar nu oricum, ci ca „teoria haosului”. Cu termeni şi expresii de tipul „sisteme dinamice şi haos”; „spaţiul stărilor şi spaţiul fazelor”; „spaţiul fazelor şi traiectoria”; „sisteme conservative”; „sisteme disipative” (din punct de vedere energetic); „bifurcaţii”; „universalitate” „fractali” şi „geometrie fractală”; „divergenţe” şi „săgeata” timpului ş.a.m.d. vă introducem de fapt în teoria haosului. Dacă e haos evident că e destul de dificil să putem parcurge nu neapărat în mod ordonat, dar strict în mod logic, noutăţile specifice acestei teorii. Noutăţi... şi nu numai, pentru că oricât de greu ni s-ar părea să înţelegem, deşi n-are nici 50 de ani, aspectele acestei teorii apar direct, sau interpretabil - azi de către noi, de peste 200 de ani! Are ea ceva cu teoria relativităţii? Hm!? Poate, dar nu neapărat până nu vom şti mai exact. Are ea ceva comun cu teoria atomo-moleculară!? Hm! Încă se studiază acest aspect. Dar atunci ce are haosul comun cu ce am studiat noi pînă acum la fizică? Eu ştiu? Cu ceva din geometrie, cu ceva din analiză, cu ceva din algebră? Poate mai mult cu ceva din calculul probabilistic, dar acesta nu se studiază strict la matematică, ci mai mult este citat la unele teme din chimie şi prezentat ca suport de temă, la fizică. În schimb, surpriză, are extrem de mult în comun cu domenii nestudiate în programa şcolară sau cu altele la care nici nu ne-am gîndi: meteorologia (în primul rând), istoria (în al doilea rând), sociologia (în al treilea rând), politica (şi nu în ultimul rând) cât şi în extrem de multe alte domenii pe care nici nu bănuim că atunci când practic le aplicăm, dăm dovadă de „cunoştinţe” din teoria haosului. Spuneam că ştiinţa este foarte nouă chiar dacă Pierre Simon, Marquis de Laplace, spunea în 1776 că starea momentană a sistemului „natură” este binenţeles urmarea a ceea ce el a fost în momentul anterior şi, dacă ne imaginăm o inteligenţă care ar putea cunoaşte/înţelege toate relaţiile la momentul respectiv între părţile universului, aceasta ar putea presupune, ar prezice, ar cunoaşte chiar toate posibilele momente şi mişcări ale acestor sisteme... şi eram în 1776. În fizică, pornim astăzi de la ideea că astfel de reguli „neschimbabile” (determinabile) sunt posibile, pe baza cărora unele fenomene naturale sau tehnologice decurg. Noi avem astăzi încredere că astfel de fenomene decurg identic, dacă sunt supuse aceloraşi condiţii. Dacă vorbim de teoria haosului trebuie să amintim permanent, şi-o vom face în acest material, de activitatea ilustrată prin lucrările sale, de Ilya Prigogine. El, ca şi fizicianul Feynman, şi-au pus problema cum evoluează ştiinţa şi dacă va fi necesară reformularea multor legi ale fizicii, în timp ce mulţi alţi fizicieni, au considerat această reformulare sau modificare ca fiind nenecesare. Feynman şi Hawking consideră că actualele legi ale naturii se referă strict la un univers reversibil şi nu fac deosebire între trecut şi viitor. De fapt de la filosofii greci şi până la Feynman şi Hawking fizica a negat în mod paradoxal săgeata timpului şi marea ei influenţă asupra fenomenelor naturii. Altfel zis, influenţa timpului a fost redusă strict sau în cele mai fericite cazuri doar la efecte neglijabile asupra fenomenelor. În ultimul deceniu al secolului 20 s-a impus totuşi un nou concept asupra instabilităţii dinamice a fenomenelor naturale, respectiv asupra rolului haosului. Noţiunea de haos implică dezordine, deci imprevizibilitate. Acest haos poate fi totuşi încorporat în legile naturii doar dacă acestea sunt extinse, permiţând loc şi probabilităţii, ireversibilităţii, instabilităţii şi calculelor statistice. Se mai cere renunţarea la descrierea unor mărimi ca traiectoria sau funcţia ondulatorie în favoarea descrierii noţiunii de simetrie fractală. Între legile tradiţionale ale fizicii clasice (respectiv ale naturii) şi unele descrieri fenomenologice, au apărut adesea discrepanţe care se datorează greşelilor privind neglijenţa factorilor de timp în decursul fenomenelor. Prin introducerea noţiunii de haos se ajunge la o coerenţă între legi şi fenomene naturale deoarece nu se mai neagă abaterile de la legi privind timpul ci se permite lărgirea acestora (prin cuprinderea de termeni suplimentari). În acest sens în natură se cunosc multe sisteme instabile ca transformări geometrice sau cristalizările (pe timpi discreţi) ori sistemele cuantic-dinamice în care timpul acţionează continuu. Se impune astfel azi ideea că fizica şi legile ei trebuie să descrie şi evoluţia acestor sisteme instabile. Se aruncă o minge, de exemplu, de două ori cu aceeaşi viteză în aceeaşi direcţie. E de aşteptat să se oprească, să ajungă în acelaşi punct. Ce nu s-a luat în considerare e că în timpul celor două experimente mingea e influenţată, în timpul rostogolirii, de factori externi. Şi aşa, de la o mică modificare în traiectoria iniţială se ajunge la o diferenţă mare în punctul de oprire. În acest exemplu dat, chiar şi aşa se aşteaptă ca la următoarele experimente repetate în aceleaşi condiţii mingea să se oprească tot mai aproape de primul punct de oprire. În astfel de cazuri ajungem să vorbim despre o cauzalitate puternică. Astfel de exemple de fenomene ce decurg după o cauzalitate puternică se desfăşoară în general după un grafic liniar, şi noi, clasic, în fizică, le acordăm legi ale dinamicii şi le definim după sistemul clasic. Fizica clasică a reuşit cu succes să traducă legile ei în formule matematice. Acest lucru se poate şi acum realiza deşi aceasta îngreunează puţin faptul că exemplele se adresează unui public larg, nu numai fizicienilor teoretici iar formulele matematice trebuie corectate cu factorul „săgeată timp”. Este deci necesară o mai mare rigurozitate matematică care să fundamenteze şi analizeze sensul ecuaţiilor ce includ pe lângă descrierea sistemelor şi schimbările de perspectivă (variabil la timp). Dacă ce-am prezentat până acum v-a generat măcar curiozitatea (dacă nu chiar şi atenţia) să continuăm amintind că din 1880 Henry Poincaré spunea că cea mai mică diferenţă în condiţiile de pornire duce la mari (enorme câteodată) diferenţe în starea finală a sistemului; o mică eroare în proiectarea unui experiment poate duce la abateri nemăsurabile. În astfel de cazuri predicţia ar fi imposibilă. Într-un fel sau altul ar trebui să vorbim, ca o paranteză, despre bifurcaţii. Latinescul ramificaţie se regăseşte aici ca o modificare a valorilor unui sistem care trece din faza primară – un punct fix, în perioadă 2, apoi în perioadă 4, ş.a.m.d, ca în final să dezvolte o mişcare aperiodică, şi asta strict datorită unei minimale modificări a unui paramentru de continuitate al mişcării. Rolul deosebit al diagramei logice pe care un astfel de sistem ar prezenta-o, este ceea ce diagrama Poincaré pentru sisteme dinamice multiple prezenta ca o structură similară şi urmărea aceste bifurcaţii. Se spune despre astfel de sisteme că ating o mişcare haotică într-un scenariu al arborelui stufos. Se constată astfel în natură la o serie de manifestări haotice (de ex. la turbulenţele observate în cazul lichidelor), apariţii care sunt consecinţe ale unei instabilităţi a sistemelor. Un alt exemplu ar fi al pendului fără frecare, care este considerat un sistem stabil, cu timpul însă putem observa apariţia unor perturbări ce duc inevitabil la instabilitatea sistemului şi de aici la oprirea lui. Dar şi la alte sisteme mecanice considerate de asemenea stabile putem observa în timp apariţia unor perturbări ce se pot amplifica producând acele stări de instabilitate generic numite de noi în acest material haos. Chiar dacă fizica clasică le consideră încă modificări neglijabile, într-o serie de capitole de bază ale obiectului fizică studiat în clasele gimnaziale şi liceale folosind curent expresiile cunoscute: „considerăm că ....”, „sistem fără frecare...”, „sistem ideal...” etc., pe noi, în această prezentare ne interesează influenţa instabilităţii asupra conceptului de determinism, universalitate, ordine, sistem. În civilizaţia modernă ştiinţa ocupă un rol de bază dar alături avem cultura umanistă, sociologia, politica, mai nou managementul şi economia finanţelor. În timp ce prima, ştiinţa, se explică prin formule matematice, celelalte, apreciind mai puţin frumuseţea acestor formule, redau mai mult aspectele vieţii prin „expresii artistice” (nu neapărat formule) – muzică, pictură, literatură, etc. şi se constată uneori că aceste aspecte, chiar şi ele, se abat de la anumite legi (ale naturii, sau umane) făcându-le să se încadreze în cele două culturi, cea matematică şi cea fizică. Oare între acestea două care e factorul comun, de legătură? Binenţeles acelaşi pe care l-am prezentat la începutul legii de faţă: timpul. În fizica clasică, chiar şi în mecanica cuantică se observă tendinţa deterministă a fenomenelor. În cultura umanistă (artă, sociologie, psihologie chiar şi economie, etc.) apar şi noţiunile de risc şi incertitudine, care modifică mersul evenimentelor arătând dacă mai era nevoie că cultura umanistă redă mai fidel realitatea decât formulele clasice ale ştiinţei. Şi fizica, şi celelalte domenii enumerate prezintă cu ajutorul teoriei haosului faptul că mişcările haotice nu vor sta niciodată la baza unor predicţii despre proprietăţi şi mişcări ale sistemelor caracterizate. Fizica şi chimia clasice, au stabilit legi pentru fenomene simple, în timp ce cultura umanistă a descris întotdeauna manifestări complexe, cele pe care le întâlnim în viaţă. Să nu uităm că inclusiv în domeniul particulelor elementare, în cosmologie sau de ce nu, în biologie, au fost deja confirmate fenomene complexe care nu corespund fenomenelor clasice dar pentru care au fost întotdeauna prin restrângere realizate modele simple, care au putut descrie cu o relativă aproximaţie valorile comportării. Exemple de astfel de comportări descrise cu aproximaţie prin ceea ce am prezentat sunt: funcţionarea creierului uman, comportarea unor colectivităţi de insecte sau chiar atitudini şi reacţii ale unor alte comunităţi de animale. Aceste încercări arată că între cele două domenii de cultură (ştiinţă şi umanism) există permanent (poate necunoscute încă integral) interferenţe. Nu cumva aceste interferenţe ar putea fi mai bine explicate prin folosirea influenţei timpului, acea săgeată a timpului de care vorbeam la începutul materialului nostru? Un progres a fost cu siguranţă făcut atunci când timpul s-a inclus în ştiinţele clasice deşi prin aceasta noţiunea de timp a devenit „mai săracă”, nedistrugând sensul ei de tranziţie şi viitor. În toate fenomenele fizice, chimice, biologice, cosmologice şi sociale trecutul şi viitorul joacă un rol diferenţiat, deosebit. Punem, cum e normal, următoarea întrebare: cum acţionează rolul diferenţiat al timpului? În paradoxul timpului se deosebesc trei etape: sesizarea acestuia la sfârşitul secolului al XIX – lea, impunerea lui în primele decenii ale secolului XX, şi încercarea rezolvării problemei timpului în ultimul deceniu al secolului XX. Doar că această rezolvare implică o mare dificultate, lipsindu-ne încă terminologia matematică, cea care fără un vocabular potrivit, specific limbajului nu dă posibilitatea descrierii corecte a ceea ce încercăm să prezentăm ca factor esenţial în haos, timpul. Dacă ne referim la concepţia clasică a fenomenelor, pot cele două noţiuni de a fi şi cea de a deveni, să se compare cu conceptul de adevăr şi cu cel de iluzie (conceptul lui Platon)? Acesta, avea scopul de a descoperi aparenţa schimbării, sau ceea ce e neschimbabil. Răspunsul e negativ, deoarece importanţa ideii de desfăşurare în timp (adică evoluţia şi efectiv schimbarea) era neglijată, deci nu apare în acest concept. De aceea această tendinţă a ştiinţei a întâmpinat mari dificultăţi făcând ca mai târziu să fie comparată mai mult cu un arbore stufos. Cam la două mii de ani, după acest moment (de la Platon) Einstein arăta de exemplu că emisia spontană de fotoni este un fenomen întâmplător şi imprevizibil. Cercetarea gravitaţiei şi-a electromagnetismului a fost făcută de fizica clasică dar, mai târziu fizica modernă a constatat necesar adăugarea şi a influenţei interacţiunilor particulelor căutând o lege generală care în final să stea la baza celorlalte legi ale naturii. Menţionăm aici aportul adus de Einstein prin teoria unitară a câmpurilor. A cuprinde însă, la o scară mai mare, aceste interacţiuni, nu a fost (şi nu este nici în momentul actual) o problemă simplă, lucru arătat inclusiv la începutul secolului XIX de teoria evoluţionistă a lui Darwin în biologie, ca de altfel şi în termodinamică, chiar mai repede, o dată cu industrializarea. Dacă ne menţinem pe firul istoriei găsim paralel cu acestea apariţia temei omului de viitor, temă generată de epuizarea resurselor naturale şi mai ales a ideii morţii termice. În timp ce teoria evoluţionistă în biologie demonstrează influenţa timpului (evoluţia), termodinamica prevede nivelarea temperaturilor (prin asta, moartea termică a universului). Universul porneşte de la o ordine iniţială şi o entropie joasă care în final ajunge la entropie maximă şi deci la un Final. Totuşi ideea de evoluţie darwinistă impune introducerea săgeţii timp şi în ştiinţă, în timp ce fizica lui Newton (şi mulţi alţii după el), nu o cerea. Din secolul XIX ideea de ireversibilitate se impune şi în termodinamică. Primul cercetător care scoate în evidenţă paradoxul timpului a fost fizicianul austriac Ludwig Boltzmann care dă în 1872 o fundamentare dinamică şi microscopică a săgeţii timp în termodinamică (prezentând şi influenţa lui). Lucrările lui au fost vehement contestate în lumea fizicienilor care-l acuzau că ideile prezentate de el cu argumente cu tot, sunt lipsite de logică. Toţi aceşti fizicieni contestatari nu recunoşteau influenţa timpului în evoluţia fenomenelor deoarece ştiinţa şi legile ei se bazau strict pe echivalenţa dintre trecut şi viitor. Să luăm un exemplu: dacă se consideră două vase comunicante în care particulele sunt inegal distribuite constatăm cu timpul, că numărul lor în cele două vase se egalează. Lucru pe care Boltzmann l-a arătat cu acest exemplu este că, în timp se constată schimbarea distribuţiei deoarece după egalizarea lor, particulele se distribuie din nou în cele două vase, inegal. Adică marea majoritate a cercetătorilor prezentau observaţia egalizării particulelor bazată strict pe limitele răbdării lor. Acest aspect este valabil în timp pentru majoritatea proceselor – egalizarea şi inegalizarea se schimbă ducând la ireversibilitate. Ideea ireversibilităţii dinamice era de neconceput pentru fizicienii clasici la acea dată. Încet dar sigur ideea influenţei timpului se impune şi tot mai mulţi cercetători se arată interesaţi de ea. Practic inflenţa timpului în evoluţia fenomenelor l-a preocupat pe om demult, dar n-a ştiut s-o aşeze în temeiul studiului. În unele doctrine sau religii s-a negat posibilitatea unui nou concept de a cerceta acţiunile şi cauzele care pot produce schimbări. Din antichitate apăruse de la unii filozofi, observaţia că după un anumit timp unele sisteme revin la stări anterioare. Sunt incluse aici un număr mare de exemple din lumea vegetală şi animală când din vechile organisme apar noile organisme care se dezvoltă şi repetă procesul reproducerii. Până şi procesul reluării ciclului vital include şi maturizarea respectiv moartea primelor organisme fiind reluat ca proces de organismele noi. S-a mai impus şi observaţia că acest proces de repetare poate fi ciclic sau spiralic. Ori ideea repetării apare de-a lungul timpului susţinută de tot mai mulţi cercetători din diferite domenii ale ştiinţelor naturii, cât şi din cultura umanistă. Odată cu aceasta se observă şi impunerea, în final chiar recunoaşterea, evoluţiei.
Poincaré, în lucrarea „Ştiinţa şi metodele ei” cere fizicienilor să aleagă fenomene repetabile tocmai pentru a putea descoperi legi generale. El a încercat după 1905 să introducă noţiunea de subspaţiu al unui spaţiu al fazelor (o hipersuprafaţă) prin renumita “tăietură” a sa, “tăietura Poincare”: în general, un continuum are n dimensiuni dacă e posibil să-l împărţim în mai multe regiuni cu ajutorul uneia sau al mai multor tăieturi, care însă sunt, continuumuri n-1 dimensionale. Prin asta, într-un subspaţiu al spaţiului fazelor, tăietura Poincarè e astfel definită, încât în acest spaţiu, o anumită coordonată a spaţiului fazelor să poată lua o anumită valoare. Pe acest subspaţiu se raportează punctele tăieturii cu ajutorul traiectoriilor în spaţiul fazelor. Aşadar definiţia modernă a spaţiului nu mai presupune că dimensiunea unui obiect trebuie să fie în mod necesar un număr întreg ci există şi obiecte cu dimensiune fracţionară, fractalii de exemplu (fractalul este un obiect cu dimensiuni rupte în opoziţie cu obiectele ca linii, suprafeţe, volume, care deţin ca o caracteristică un număr întreg de dimensiuni). Ca un exemplu de fractali, amintim aici toţi atractorii ciudaţi cunoscuţi (prin atractori înţelegând ca exemple simple, puncte fixe sau cicluri limită). Un atractor este în general un domeniu în spaţiul fazelor pe care un sistem odată pătruns în el nu îl mai poate părăsi. Mai târziu cercetătorul Popper în lucrarea „Ceasul şi norii” susţine că fizica clasică s-a ocupat mai mult de „ceasuri” adică de procese simple care permit precizie, dar fizica modernă trebuie să cerceteze „norii” (de electroni, respectiv de particule macroscopice) în continuă mişcare şi schimbare. Împortant este după cum rezulta la acel moment, că se pot depăşi limitele teoriei clasice şi conţinutul metodelor acestora de cercetare. Un exemplu din acel moment l-a reprezentat şi studiul planetelor când s-a putut calcula traiectoria şi viteza lor cu precizia „ceasului” constatând posibilitatea apariţiei unor abateri ce se datorau influenţei câmpurilor gravitaţionale ale celorlalte planete. Acesta este un exemplu de sistem neliniar conservativ (sistemul de două corpuri – soare şi o planetă - se poate rezolva analitic în teoria clasică, dar sistemul cu mai multe corpuri – soare şi planetele sistemului solar – nu mai poate fi astfel rezolvat). Şi în cazul însuşirilor şi caracterului unor indivizi acţionează atât elementul ereditar cât şi cel al condiţiilor ulterioare de viaţă. Se poate spune deci, că în ştiinţă, în ultimele decenii ale secolului 20 apare tot mai pregnant şi mai necesar luarea în calcul a inflenţei timpului asupra schimbărilor în sisteme. Chiar şi în politică, în istorie, se observă această influenţă dacă se analizează diferenţa între sistemele de organizare politice şi sociale ale diferitelor state (nu mai departe europene sau mondiale), modul lor de a trece de la conduceri absolutiste la cele dempocratice care diferă între ele datorită unor condiţii interne sau externe. Impunerea influenţei timpului se bazează pe descoperirile în două domenii: în primul rând este vorba despre descoperirea structurilor de neechilibru (numite disipative) sau fizică de neechilibru, care arată că materia se comportă altfel în procesele ireversibile decât în cele reversibile de echilibru. Un caz spectaculos îl reprezintă unele sisteme de neechilibru (de exemplu fenomenul de cristalizare din soluţii) când sistemul disipează energie în interacţiunea cu mediul exterior, caracteristică complet diferită de starea de echilibru, când cristalele formate se izolează fără disipare de energie. Al doilea domeniu cercetează structurile disipative în lumina hidrodinamicii cinetice chimice şi în optica laserului. Un exemplu cunoscut din practică este instabilitatea Benard: atunci când se încălzeşte un lichid de jos, la o diferenţă mare de temperatură între straturile inferioare şi superioare se formează turbioane spirale care antrenează miliarde de molecule (particule) cu ele. Neechilibrul în acest caz crează o situaţie pe distanţe mari, fiecare moleculă sau particulă simte însă doar interacţia cu particulele apropiate, cu alte cuvinte neechilibrul se manifestă numai prin acţiuni la distanţe mari. S-a impus deci ideea că materia (şi chiar societatea) se comportă diferit în condiţii de neechilibru când fenomenele ireversibile au rol primordial. În lumina legilor clasice ale ştiinţelor toate aceste abateri constatate au fost considerate „iluzii”, deci care merită a fi neglijate, fiind chiar etichetate antiştiinţifice. Dacă revenim acum la procesul de cristalizare şi considerăm un sistem de amestec într-o soluţie cu două specii A şi B dizolvate, diferit colorate, pentru a fi văzute cu un microscop de mare rezoluţie, se pot distinge două cazuri diferite: o distribuţie de concentraţie egală în A şi B la nivele superior şi inferior, respectiv în timp o distribuţie inegală (în interiorul structurii cristaline formată în timp). Dacă moleculele respective sunt optic inactive (formele levo şi dextro în concentraţii egale) şi cristalele obţinute în mod liniştit sunt inactive deoarece distribuţia în cristal este egală între cele două forme. Dacă în timpul cristalizării sistemul se agită se obţine un amestec de levo şi dextro. Pasteur de exemplu, afirma că deosebirea dintre cristalele levo şi dextro este esenţială pentru înţelegerea vieţii deoarece viaţa este o consecinţă a asimetriei universului. Ruperea simetriei este după părerea lui Pasteur o consecinţă a neechilibrului şi a ireversibilităţii, respectiv a instabilităţii inerente legilor dinamice ale materiei.
Chiar la unele sisteme simetrice dacă se observă un timp îndelungat, se constată ruperea simetriei cu formarea unor structuri de neechilibru temporar, staţionar, fenomen prezis de Turing în 1952 şi dovedit cantitativ în 1960 de Prigogine. Legea de formare a acestor structuri este proporţională cu (D/K)1/2, unde D este coeficientul de difuzie iar K este inversul timpului. Cu aceste lucrări a luat naştere cristalografia de neechilibru. Exemplele din cristalografie şi hidrodinamică care se referă la un număr mare de particule (molecule), la nivel macroscopic duc la ideea amestecului de determinism şi probabilitate. Einstein a afirmat în una din ultimele lucrări că cei care cred despre caracterul static al mecanicii cuantice că neagă determinismul macroscopic se înşeală. Fenomenele de neechilibru, ireversibile, nu înseamnă numai creşterea dezordinii ci au şi un rol constructiv în sistem. Toate acestea cer o reformulare a bazelor dinamice ale fenomenelor ireversibile. Printr-un sistem dinamic se înţelege un mod abstract de a descrie un fenomen fizic sau chimic, economic sau ecologic chiar. Starea unui sistem dinamic nu poate însă fi descrisă decât de un şir de variabile astfel alese încât să descrie situaţii fizice supunându-se însă evoluţiei lor în timp (exemple: un pendul matematic la care unghiul θ depăşeşte valori mici de oscilaţie, caz în care mişcarea lui va fi neliniară, nearmonică; mişcarea corpurilor în mecanica clasică, curgerea curenţilor prin circuite închise, desfăşurarea unor reacţii chimice, dezvoltarea mărimilor economice şi chiar dezvoltarea populaţiilor în biologie). După teoriile clasice, ireversibilitatea s-ar baza pe insuficienţa metodelor de cercetare şi cunoaştere. După Hawking cunoscut din „O scurtă istorie a timpului”, trebuie reformulate toate legile dinamicii (clasică, cuantică, relativistă etc.) deoarece acestea nu conţin “vectorul timpului”, respectiv nu fac deosebire între „direcţiile înainte şi înapoi” (trecut/viitor). Acest lucru este însă foarte dificil deoarece ar solicita o colaborare strânsă şi intensă între toţi oamenii de ştiinţă şi de ce nu, şi de cultură. El aminteşte o comparaţie făcută de Heisenberg între un pictor abstract şi un cercetător de fizică teoretică: în timp ce primul e original al doilea e cât mai neoriginal cu putinţă. Referitor la lumea macroscopică, Boltzmann n-a reuşit să introducă principiul al doilea al termodinamicii în fizica clasică tocmai deoarece ireversibilitatea postulată de termodinamică era în contradicţie cu legile reversibile ale dinamicii clasice. De abia la sfârşitul secolului XX s-a produs o schimbare de concepţie când Sir Lightbill, preşedintele Uniunii Mecanicii Teoretice şi Aplicative a Fizicienilor, a afirmat în 1986 că entuziasmul pentru mecanica lui Newton a fost fals, şi deci determinismul acestor legi (cât şi a celor derivate din ele) nu are o bază reală. Această afirmaţie s-a bazat pe un bogat studiu al unor sisteme dinamice haotice observate la curgerea unor fluide de la modul laminar până la cel turbionar. Miliardele de particule nu au în acest caz studiat traiectorii precise, descriptibile ci doar aproximativ direcţionate. Este cunoscută din matematică formula şirului lui Bernoulli: xn+1 = 2xn (unde „n” este numărul de iteraţii). Această formulă conduce de exemplu la o serie de şiruri ca 0,13; 0,26; 0,52; sare apoi la 0,04; 0,08; 0,16 ... când se observă creşterea numerelor până la apropierea de unitate şi totodată micşorarea lor. Pentru înţelegere se reprezintă un număr x în sistemul binar: x = n1/2 + n2/4 + n3/8 + ..., unde n1, n2, n3, ... sunt 0 sau 1, iar şirul definit xn+1 = 2xn corespunde cu şirul Un = Un+1. Toate cifrele Ui se deplasează spre stânga şi se observă că ele diferă foarte puţin (de exemplu la U40/ 240 ele diferă între ele doar cu ½). Se mai observă că cea mai mică abatere de la valoarea iniţială care depăşeşte intervalul (0 - 1) duce la creşteri exponenţiale respectiv, traducând din matematică, mici cauze au efecte enorme asupra comportării sistemului. Particule care în curgerea laminară sunt la mici distanţe, prin trecere la curgere turbională (sau turbulentă), în timp ajung la distanţe enorme şi cu traiectorii foarte diferite. (Ca un exemplu este traiectoria a două bile de biliard pe masă clasică dreptunghiulară lovite din poziţii apropiate şi paralel, care vor avea permanent o traiectorie extrem de asemănătoare şi acelaşi experiment repetat pe o masă de biliard „stadion” cu pereţii laterali rotunjiţi, când deja la a treia ciocnire diferenţele în aceleaşi condiţii de pornire între cele două bile sunt enorme ca traiectorie individuală.) Distanţa între două traiectorii (respectiv două numere apropiate) creşte exponenţial cu timpul. Dacă se notează cu (dx)n = (dx)0, două traiectorii vecine, exp de λn (unde λn este coeficientul de timp Lyapunov) se confirmă inflenţa mare a timpului asupra traiectoriilor. Aceste sisteme au o scală intrinsecă a timpului unde 1/λ este timpul Lyapunov. După un timp mai mare decât acesta „amprenta” stării iniţiale se pierde. Noţiunea de traiectorie care era de bază în dinamica clasică devine astfel o idealizare neadecvată pentru intervalele de timp mai mari decât 1/λ. Această situaţie şi exemplul dat reprezintă haosul dinamic (de exemplu moleculele în termodinamică, teoria cinetico-moleculară, mişcarea browniană, ca şi sisteme cuantice şi modele din biologie şi economie la care termenii stohastici simulează modificări cerute de întâmplare) iar calculele pot reflecta realitatea numai dacă se fac pe bază statistic-probabilistică. Renunţarea la noţiunea de traiectorie şi renunţarea la ideile clasice o făcuse Boltzmann cu o sută de ani înainte dar azi introducerea noţiunii de probabilitate a devenit o necesitate obiectivă confirmând instabilitatea în funcţie de condiţii (în principal de timp) a evoluţiei sistemelor. Se introduce astfel o funcţie de distribuţie q (x,t) care indică probabilitatea ca x să se afle la timpul t şi după n interacţii. Această descriere statistică devine astfel o generalizare a noţiunii de traiectorie la care se poate ajunge dacă se consideră o distribuţie d(x-x0). Funcţia d(x-x0) este singulară şi diferită de 0 numai în punctul x = x0. Se ştie deci doar că în punctul x0 există o traiectorie. Pornind de la această concluzie se ajunge la cererea de a exclude noţiunea de traiectorie singulară şi de-a o înlocui cu o funcţie de repartiţie statistică a traiectoriei în microcosmos. Macroscopic se impune în acelaşi timp şi ideea ruperii simetriei în timp iar la depăşirea timpului Lyapunov (t > 1/λ) se pierde „amprenta” traiectoriei iniţiale. Faptul că instabilitatea cere introducerea noţiunii de probabilitate, implică ca necesitate corectarea formulării legilor matematice de către teoriile clasice cu efectul inflenţei vectorului timp. În microcosmos se produc fenomene ondulatorii pentru care Schrödinger a definit funcţia Ψx(de undă) care se propagă cu o anumită viteză de fază când ecuaţia Concluzionând, se impune deci următoarea schemă: instabilitate (timp Lyapunov) → probabilitate → ireversibilitate. Instabilitatea sau haosul ne obligă să trecem de la schema probabilistică a traiectoriei din mecanica clasică cu ajutorul cercetării profunde a operatorului de dezvoltare U, la probabilitatea în funcţie de timp cu scopul de–a putea descrie exact ruperea simetriei timpului şi-a explica astfel ireversibitatea fenomenelor precum şi dezvoltarea respectiv evoluţia în timp a lor, adică schimbarea. Dacă ne referim la teoria atomului în 1926 ecuaţia lui Schrödinger aplicând operatorul lui Hamilton H obţinea soluţii pentru undele staţionare corespunzătoare stărilor de energie, ca valori proprii cuantificate care au condus la numerele cuantice ale atomului n, l, m, şi ulterior la cel de spin s. Fenomenele de difracţie care însoţesc mişcarea electronului sunt determinate de comportarea colectivă a unor microsisteme de particule în interacţiune. Trebuie precizat însă că fenomenele ondulatorii pot apărea şi când e vorba de un singur atom (cazul atomului de hidrogen). Pentru a explica aspectele legate de comportarea microparticulelor Max-Born propunea în 1926 interpretarea probabilistică a funcţiei de undă Ψ şi o atribuia ca intensitate undei asociate unei particule în mişcare, într-un anumit loc în spaţiu şi la un anumit moment dat. Apărea astfel relaţia ca intensitatea undei să fie proporţională cu probabilitatea de-a găsi particula la momentul şi în locul dat. Când această probabilitate atinge valoarea 1 apare certitudinea. În sistemul atomic format din nucleu şi electron această probabilitate funcţie de distanţa electronului până la nucleu prezintă maxime şi minime (maximele sunt considerate orbitele electronilor în atomi). Ecuaţia lui Schrödinger nu prevedea traiectorii precise pentru electroni ci astfel de intensităţi maxime şi minime doar pentru unda staţionară asociată electronului iar stările staţionare le exprima prin numere cuantice care rezultau din ecuaţia sa. Aceste numere au fost după cum ştim azi, anterior introduse în mod arbitrar de teoria lui Bohr-Sommerfeld. Până în prezent acest material s-a referit la sisteme haotice foarte simple (inclusiv deplasarea Bernoulli) în care timpul se manifestă nestaţionar.
În special definirea haosului pentru sistemele cuantice a dus la unele controverse şi anume, haotice sunt acele sisteme cuantice a căror formare şi dezvoltare nu se poate descrie prin funcţii de undă care să asculte de ecuaţia lui Schrödinger ci cer o nouă formulare. În fizică interesează mai ales sistemele de tip Hamilton care stau la baza dinamicii cuantice. Variabilele care caracterizează un sistem dinamic clasic sunt coordonatele şi vitezele corespunzătoare lor cu ajutorul cărora se poate determina şi exprima energia cinetică şi potenţială a sistemului. Această energie exprimată prin coordonate şi momente este prin definiţie funcţia lui H. Un caz particular când funcţia H depinde numai de momente permite integrarea imediată deoarece mărimile de mişcare sunt constante iar coordonatele variază liniar cu timpul. În acest caz dacă se notează în ecuaţia Hamilton mărimile de mişcare cu j iar coordonatele corespunzătoare sunt unghiurile α ale vectorilor de poziţie iar variaţia acestor unghiuri în timp e dată de frecvenţa În anii 50 ai secolului trecut s-a formulat teoria KAM ( a cercetătorilor Kolmogoroff, Arnold şi Moser) care arată că din cauza fenomenelor de rezonanţă apar două feluri de traiectorii în mişcarea particulelor: cele regulare (deterministe) şi cele neregulare – neprevizibile. La creşterea energiei sistemului numărul ultimelor creşte şi la timpuri Lyapunov pozitive sistemul prezintă transformări similare cu cele date de Bernoulli adică devine haotic. Descrierea exactă a acestor sisteme haotice (cu traiectorii aleatorii) este numai parţial rezolvată. Cu toate acestea cele mai multe sisteme pe care le cercetează fizica în prezent aparţin acestui ultim tip, mai ales câmpurile de interacţiune şi problemele mecanicii statistice în care interacţionează un număr mare de particule într-un volum V. Sunt studii chiar în teoriile clasice în care se constatase inflenţa fenomenului de rezonanţă ce producea divergenţe, de exemplu în observaţiile cercetătorilor Lagrange şi Laplace (în sistemul planetar). Problema rezonanţei a deranjat multe cercetări şi concluzii ale acestora deoarece a împiedicat explicarea matematică a unor legi. Descifrarea divergenţelor şi a rezonanţei duce implicit la explicarea matematică a fenomenelor haotice. Pentru aceasta însă se cere şi soluţionarea unor dificultăţi ale calculului integral deoarece între integrare şi ireversibilitate este o strânsă legătură. Divergenţele şi rezonanţele constatate marchează bariera dintre fenomenele reversibile dinamice şi cele disipative cu simetrie temporală ruptă. Eliminându-le pe acestea s-ar soluţiona şi paradoxul timpului şi teoria haosului. După Richard Feynman este încă greu de înţeles mecanica cuantică, nici după 50 de ani de cercetări şi discuţii, deoarece este vorba de-a uni fizica microcosmosului cu a macrocosmosului. Problema interacţiunii între om şi materie este strâns legată de fenomenul rezonanţelor lui Poincaré şi a divergenţelor ce rezultă. S-a amintit de mecanica cuantică care se ocupă de cercetarea comportării funcţiei ondulatorii Ψ din ecuaţia lui Schrödinger. În această ecuaţie partea revoluţionară o reprezintă înlocuirea funcţiei lui Hamilton H cu operatorul lui Hamilton H. Un operator este de fapt o formulare matematică pentru a indica o operaţie (derivare, înmulţire, radical). În operator funcţiile proprii rămân însă neschimbate. Introducerea operatorilor în fizică a apărut odată cu mecanica cuantică – nivelele energetice ale unui oscilator sau rotator formează un ansamblu de valori discrete. Funcţia lui Hamilton este continuă, dar ideea de bază stă în faptul de a o înlocui cu un operator tocmai pentru a prezenta valori proprii discrete. Pentru a afla acţiunea operatorului de dezvoltare U (Perron şi Frobenius) asupra repartiţiei probabilităţilor cu ajutorul calculului matriceal, se impune introducerea noţiunilor de funcţie proprie şi valoare proprie. Exemplu: ρn(x) = x şi ρn+1(x) = ¼ +x/2. Cu alte cuvinte şi Ux = ¼ + x/2. Există însă şi funcţii care la aplicarea operatorului U rămân invariabile. Acestea se numesc funcţii proprii: dacă ρn(x) = α atunci vom avea şi ρn+1(x) = α, respectiv Uα = α, unde α este o funcţie proprie (aici o constantă). Deci aplicarea operatorului U se reduce în acest caz la multiplicarea cu un număr a funcţiei proprii. Astfel se obţine pentru ρn(x) = x2 – x +1/6; U(x2 – x +1/6) = Funcţiile proprii ale lui U sunt polinoame de gradul n rezolvabile prin teorema lui Perron – Frobenius iar Bn(x) au fost numite polinoame Bernoulli. Se ajunge astfel la U
Pentru sistemele haotice avem de ales între două formulări: cea clasică bazată pe traiectorie şi cea nouă bazată pe probabilităţi şi operatorul U. Ultima variantă este mai bogată şi mai corectă deoarece ea conţine şi mecanismul apropierii de echilibru după timpul Lyapunov cât şi ruperea simetriei în timp, fenomenele de rezonanţă, divergenţă, etc. Pe acest plan trebuie reformulate legile naturii, putând să dovedim ceea ce Boltzmann a prevăzut cu mult timp înainte dar n-a avut posibilitatea s-o dovedească pentru că n-a dispus de o serie de dovezi experimentale cât mai ales de aparatul matematic corect necesar acestor sisteme care azi permite în plus şi includerea principiului doi al termodinamicii. În concluzie instabilitatea şi haosul reprezintă un nou punct prin care se reformulează dinamica, punct ce cuprinde atât noţiunile de echilibru cât şi cele de probabilitate şi instabilitate. Acest lucru părea imposibil în trecut, în principal din dificultatea accepţiei viziunii umane de-a trece de la fenomene macroscopice, la cele microscopice. Ireversibilitatea se cerea explicată şi demonstrată, ea stând la baza evoluţiei în natură. Amintind de ecuaţia lui Schrödinger şi utilizând funcţiile proprii şi operatorii prezentaţi până acum, se ajunge prin dezvoltarea funcţiei Ψ(x,t) la o suprapunere de rotaţii ale funcţiilor proprii Un(x) cu timpul. În expresia la care se ajunge rezolvând matematic apare şi un coeficient Cn care dă amplitudinea de probabilitate. Cu alte cuvinte se pot măsura energiile sistemului descris de funcţia Ψ, U1, U2, U3, ... cu probabilităţile C12, C22, C32, ... În final funcţia Ψ se transformă într-un ansamblu de funcţii ondulatorii care se suprapun iar probabilităţile C12, C22, C32, ... reprezintă de fapt posibilităţile sistemului. Putem spune că s-a ajuns la o despicare a funcţiilor de undă, respectiv la o imagine duală a mecanicii cuantice. Ecuaţia lui Schrödinger este reversibilă în timp şi deterministă pe de o parte iar pe de altă parte posibilitatea despicării dovedeşte ruperea de simetrie şi fenomenul de ireversibilitate. Despre aceasta s-a pus întrebarea dacă este un fenomen real sau datorat doar observatorului? În univers s-a observat o stare de echilibru (respectiv de simetrie) în radiaţia de 3 grade Kelvin, cea care a rămas de la formarea lumii. Cu ajutorul operatorului Hamilton din ecuaţia lui Schrödinger se obţin valori discrete de energie; dacă se introduce expresia operatorului corectat H = H0 + Λ Având ca reper descrierea statică care stă la baza stării sistemelor în mecanică Gibbs şi Einstein au pornit de la un singur sistem dinamic şi au ajuns la observarea unui ansamblu de sisteme în care toate ascultă de funcţia lui Hamilton şi se supun aceloraşi legi dinamice. Această observaţie a fost pentru ei o cale comodă de calcul al unor valori medii la vremea respectivă, iar pentru noi este fundamentală astăzi în studiul sistemelor instabile. Ca şi în deplasarea lui Bernoulli se obţine funcţia de repartiţie ρ care în cazul clasic depinde de coordonate şi de valorile de mişcare iar în cazul cuantic reprezintă dependenţa între densitate şi amplitudinea de probabilităţi: ρ = Ψ Se ştie că deosebirea dintre viitor şi trecut este: t→+∞ şi t→-∞. Considerând un sistem de multe particule că include şi interacţiunile lor, influenţa asupra operatorului U este mai mică la timpii trecuţi decât la cei prezenţi sau viitori. Adică „memoria” interacţiunilor scade cu timpul. Luând ca exemplu societatea umană, în decursul istoriei, viteza de modificare a sistemului social şi politic, în trecut (epoca de piatră) este mult mai mică decât în societatea modernă, cu transformări rapide. Cum operatorul de dezvoltare U e format din mai mulţi termeni, unii dintre ei fiind numere complexe la numărător (exprimând rezonanţa), iar la numitor termenul timpului, care creşte continuu, toate acestea ducând la scăderea valorii raportului, până la anularea influenţei rezonanţei când se ajunge la echilibru eliminând astfel divergenţele lui Poincaré. Soluţiile ecuaţiilor lui Lionville conduc la imaginea ruperii simetriei în timp. În domeniul magnetismului s-a constatat că la creşterea temperaturii peste o anume valoare (specifică fiecărui material) dipolii magnetici îşi pierd orientarea avută la temperaturile joase (disipare dinamică). În fizica cuantică modernă se ştie că o proprietate generală o reprezintă particulele şi antiparticulele care au o comportare opusă (ca doi dipoli). Universul în ansamblul său constă din particule de un anumit fel în timp ce antiparticulele au un rol aproape neglijabil. Deci universul este mai puţin simetric decât se pare iar semnificaţia fizică a eliminării divergenţelor lui Poincaré conduc la o simetrie ruptă cu proprietăţi disipate. Ecuaţia lui Lionville pe de altă parte este un progres şi marchează succesul mecanicii cuantice în comparaţie cu mecanica clasică.
Dificultăţile acestei formulări au fost arătate de Niels Bohr în 1961, care precizează atât dificultăţile de măsurare cât şi de aflare a terminologiei potrivite care să exprime ideea complementarităţii. Corelaţia între metodologia experimentală şi exprimarea teoretică se rezolvă doar în mod pragmatic. În mecanica clasică s-a considerat că măsurarea fenomenelor este aceeaşi în lumea microscopică ca şi cea macroscopică. Însă, în timp ce microsistemele sunt descrise de legile mecanicii cuantice, macrosistemele se descriu prin legile dinamicii clasice şi ale termodinamicii. Astfel Bohr consideră că trecerea de la lumea cuantică la cea clasică se face prin stări intermediare, instabile dar care în realitate presupun timpi comuni de trecere. Ecuaţia lui Schrödinger conţine termenul timp, nu spune însă nimic asupra evoluţiei fenomenelor, pe când în ecuaţia lui Lionville, timpul este legat de probabilitatea divergenţelor sau altfel spus, problema rezonanţei rezolvă divergenţele lui Poincaré. Structura duală a mecanicii cuantice rezidă în proprietăţile funcţiei Ψ dar şi din dezvoltarea ei cu ajutorul ecuaţiilor Lionville într-un ansamblu statistic. Astfel, nu descrierea provoacă instabilitatea sistemului ci sistemul ca atare este instabil şi probabilistic. Acest lucru a fost accentuat şi explicat de Einstein. Haosul cuantic este mai fundamental decât cel clasic deoarece funcţia de dezvoltare U care în mecanica clasică se bazează prioritar pe descrierea traiectoriilor, în mecanica cuantică devine preponderent termenul probabilistic. S-a arătat anterior că repartiţia ρ este dată de pătratul lui Ψ, adică e de natură probabilistică. Efectele de rezonanţă cu timpul produc pentru ρ o prăbuşire care corespunde unui calcul de perturbare dependent de timp. Chiar şi în cazul perturbărilor independente de timp apar dificultăţi în a defini repartiţia ρ, datorită rezonanţelor incomplet eliminate pentru care ar mai fi necesar de introdus funcţii de control probabilistic. Fie că folosim metode clasice sau cuantice în calcul apar aceleaşi greutăţi datorită faptului că mecanismele de instabilitate provocate de rezonanţe sunt aceleaşi în cele două cazuri iar descrierea probabilistică rămâne singura punte de legătură între cele două metode. Viziunea lui Boltzmann se confirmă iar referitor la sistemele dinamice instabile se impune tot mai mult în locul imaginii traiectoriilor funcţiilor de undă imaginea probabilistică prin introducerea operatorului de dezvoltare. Doar aşa se crează cadrul care să permită unirea dinamicii cu termodinamica şi să fie înţeles mai bine principiul doi al termodinamicii. La început prin entropia S s-a înţeles doar expresia fenomenologică a unor aproximări aplicate dinamicii. Azi se ştie că creşterea entropiei şi fizica neechilibrului explică ceva fundamental asupra structurii universului, iar ireversibilitatea devine în acest caz un esenţial element în evoluţia şi desfăşurarea acestuia. Se impune azi, tot mai mult, descrierea sistemelor microscopice instabile, succesive, deoarece în trecut sub aspect clasic sistemele stabile erau o regulă, iar cele instabile o excepţie. După impunerea ideii de ireversibilitate şi a „vectorului” timp s-a cercetat cum se manifestă acestea asupra ruperii de simetrie şi dezordine în plan macroscopic. În ambele cazuri s-a “găsit” că ordinea şi dezordinea provin din haos (haos → probabilitate → ireversibilitate).
Dacă descrierea fundamentală s-ar face după legi dinamice stabile, nu ar exista entropie şi nici fizica neechilibrului, respectiv evoluţii biologice, deci universul nostru ar exista fără oameni. Instabilitatea şi haosul au două funcţii fundamentale: unirea descrierii microscopice cu cea macroscopică (care rezultă din modificarea primei) şi, prin introducerea probabilităţii, eliminarea dualismului teoriei cuantice ortodoxe.
Pagina din Yüklə 152,95 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
exprimă variaţia în timp a amplitudinii Ψ cu ajutorul operatorului H (funcţia lui Hamilton). Aceasta redă energia sistemului exprimabilă prin variabile mecanice de mişcare. Funcţia Ψ nu prezintă probabilitatea în general ci probabilitatea de-a găsi sistemul la timpul t într-un punct anumit x. Rezultă că metodele mecanicii cuantice la analiza amplitudinii Ψ1 se pot aplica şi la fenomenele descrise de ecuaţia lui Bernoulli dacă se înlocuieşte operatorul H cu un operator „de dezvoltare” U, care să conţină pe lângă numere reale şi imaginare (i) acestea ducând la o reducere a fenomenelor în timp. Astfel se obţine o funcţie exponenţială oscilantă care explică starea de lucruri în sistemele haotice când transformarea este ireversibiliă prin reducerea continuă a amplitudinii. 
(definită de 
) se obţin totodată frecvenţe cât şi grade de libertate (3) pentru un punct. La sfârşitul secolului trecut Poincaré şi-a pus problema dacă se pot elimina interacţiunile dintre particule prin neglijarea lor. În acest caz funcţia Hamilton este neperturbată H0(j). Dacă intervine o perturbare datorită interacţiunilor cu celelalte particule notată cu Ν (care depinde de j şi de unghiul α) se ajunge la relaţia H = H0 + 
, unde acest Λ este un parametru care măsoară intensitatea cuplajului interacţiunilor. Când Λ este 0 adică în cazul neperturbărilor şi H = H0. Dar Poincaré consideră că nu se pot neglija perturbările deci răspunsul la această problemă este negativ. 
2 
(x2 – x +1/6); acest x2 – x +1/6 fiind o funcţie proprie corespunzătoare valorii proprii ½2. Repartiţia aceasta x2 – x +1/6 în cazul deplasării Bernoulli este invariabilă dacă se multiplică cu ¼. Factorul de tamponare în cazul unei repetiţii de n ori a deplasării este (1/2)n şi atunci expresia x2 – x +1/6 tinde spre 0. Cu alte cuvinte valorile proprii sunt legate de timpul Lyapunov prin factorul lg2. Acest lucru arată că dacă din punctul de vedere al traiectoriei timpul Lyapunov era un element de instabilitate, din punct de vedere al funcţiei de probabilitate devine un element de stabilitate. Cu cât acest timp este mai mare tamponarea şi apropierea de uniformitate este mai rapidă (1/2 este un caz particular iar (1/2)n este cazul general).