Teoria relativității

Istoric

Curând după publicarea în 1905 a teoriei relativității restrânse, Einstein a început să se gândească la cum ar putea fi inclusă gravitația în noul context al mecanicii relativiste. Reflecțiile sale l-au condus de la un simplu experiment imaginar care implica un observator în cădere liberă la principiul de echivalență—legile fizicii pentru un observator în cădere liberă sunt cele ale relativității restrânse—și de acolo la o teorie în care gravitația este descrisă într-un limbaj geometric pur: de la explorarea unor consecințe ale principiului de echivalență cum ar fi influența gravitației și accelerației asupra propagării luminii, publicată în 1907 până la principalele lucrări din anii 1911—1915 cu constatarea rolului geometriei diferențiale (cu ajutorul fostului său coleg de facultate Marcel Grossmann) și o lungă căutare, cu multe ocolișuri și porniri pe piste false, a ecuațiilor de câmp care leagă geometria cu conținutul de masă-energie al spațiu-timpului. În noiembrie 1915, aceste eforturi au culminat cu prezentarea de către Einstein la Academia Prusacă de Științe a ecuațiilor lui Einstein, care descriu corect modul în care cantitatea de materie prezentă într-o regiune a spațiului fizic determină geometria spațiului și timpului.

Încă din 1916, Schwarzschild a găsit o soluție a ecuațiilor de câmp ale lui Einstein, soluție cunoscută astăzi după numele acestuia, descriind o stare extremă a materiei cunoscută sub numele de gaură neagră. În același an au fost făcuți primii pași către generalizarea soluției acestor ecuații prin extinderea lor la obiecte încărcate electric, rezultând soluția Reissner-Nordström. În 1917, Einstein și-a aplicat teoria asupra universului în ansamblu. Totuși, în acord cu concepțiile unanim acceptate ale vremii, el a descris un univers static, pentru aceasta adăugând la ecuațiile originale un nou parametru, constanta cosmologică. Când a devenit clar, în 1929, datorată lucrărilor lui Hubble și ale altora, că universul se extinde (și astfel este mai bine descris de soluțiile cosmologice cu extindere găsite de Friedmann în 1922), Lemaître a formulat prima versiune a modelelor big bang.

De-a lungul acestei perioade, relativitatea generală a rămas oarecum o curiozitate printre teoriile fizicii. Au existat dovezi că era preferabilă în raport cu descrierea anterioară a gravitației, cea datorată lui Newton: Einstein însuși arătase în 1915 că precesia periheliului planetei Mercur, inexplicabilă până la acea dată prin considerente de mecanică newtoniană, poate fi explicată prin noua sa teorie O expediție din 1919 condusă de Eddington care avea scopul de a face măsurători de mare precizie asupra paralaxei stelelor îndepărtate cu ocazia unei eclipse solare totale, a reușit să pună în evidență prin măsurători directe fenomenul curbării razelor luminoase atunci când ele trec în vecinătatea Soarelui, în perfectă concordanță cu predicțiile relativității generale (aducând imediat lui Einstein faimă mondială). În ciuda acestor confirmări timpurii, teoria a devenit o componentă importantă și unanim acceptată din cadrul fizicii teoretice și astrofizicii doar în perioada dintre 1960 și 1975, cunoscută astăzi ca Epoca de aur a relativității generale, devenind baza teoretică a existenței și descrierii găurilor negre, făcând posibilă și clarificarea deplină a aplicațiilor astrofizice ale acestora (quasari). În același timp, măsurători din ce în ce mai precise efectuate asupra sistemului solar au confirmat puterea de predicție a teoriei, iar cosmologia relativistă a devenit verificabilă prin teste direct observabile.

De la mecanica clasică la relativitatea generală

Relativitatea generală se înțelege cel mai bine prin analiza asemănărilor și deosebirilor față de fizica clasică. Primul pas îl constituie conștientizarea faptului că mecanica clasică și legea gravitației a lui Newton admit o descriere geometrică. Unificarea acestei descrieri cu legile relativității restrânse conduc pe cale euristică la construcția teoriei relativității generalizate.

Geometria gravitației newtoniene

La baza mecanicii clasice se află ideea că mișcarea unui corp poate fi descrisă ca o combinație de mișcare liberă (sau inerțială), și deviații de la această mișcare liberă. Deviațiile sunt cauzate de forțe externe care acționează asupra unui corp în conformitate cu legea a doua a lui Newton, care afirmă că forța rezultantă ce acționează asupra unui corp este egală cu masa (inerțială) a acelui corp înmulțită cu accelerația. Mișcările inerțiale preferate sunt legate de geometria spațiului și timpului: în sistemul de referință standard al mecanicii clasice, corpurile în mișcare liberă (în absența unei forțe aplicate) se mișcă rectiliniu și uniform (cu viteză constantă). În termeni moderni, se spune că traiectoriile lor sunt geodezice ale spațiului tetraridimensional și cronotopic, adică linii de univers drepte în spațiu-timp.

Minge care cade pe podea într-o rachetă accelerată (stânga), şi pe Pământ (dreapta)

Analog, ar fi de așteptat ca mișcările inerțiale, odată identificate prin observarea mișcărilor efective ale corpurilor și cu acceptarea posibilității existenței forțelor externe (cum ar fi cele datorate electromagnetismului sau frecareii), pot fi utilizate pentru a defini atât geometria spațiului, cât și o coordonată temporală. Atunci însă când este prezentă și gravitația, apar ambiguități. Conform legilor gravitației din mecanica clasică, fapt verificat de experimente cum ar fi cel al lui Eötvös și al discipolilor săi (experimentul Eötvös), există o universalitate a căderii libere (cunoscut și ca principiul echivalenței slabe, sau echivalența universală a masei inerțiale cu masa gravitațională pasivă): traiectoria unui corp de test în cădere liberă, aflat într-un câmp gravitațional, depinde numai de poziția și viteza sa inițială, fiind independentă de oricare dintre proprietățile sale materiale. O versiune simplificată a acesteia este inclusă în experimentul imaginar al lui Einstein cu liftul, ilustrat în figura din dreapta: pentru un observator aflat într-o cameră închisă, este imposibil de decis, doar prin observarea traiectoriilor corpurilor cum ar fi o minge în cădere, dacă acea cameră (sistemul de referință al observatorului) se află în repaus într-un câmp gravitațional, sau se mișcă accelerat în spațiul lipsit de câmp gravitațional (de exemplu: într-o rachetă accelerată).

Dată fiind universalitatea căderii libere, nu se poate face o distincție observabilă între mișcarea inerțială și mișcarea sub influența câmpului gravitațional. Aceasta sugerează posibilitatea definirii unei noi clase de mișcare inerțială, și anume cea a mișcării în cădere liberă sub influența gravitației. Această nouă clasă de mișcări preferate definește și ea o geometrie a spațiului și timpului—în termeni matematici, este mișcarea geodezică asociată cu o anume legătură care depinde de gradientul potențialului gravitațional. Spațiul, în această construcție, își păstrează geometria euclidiană. Totuși, spațiul-timp ca întreg devine mai complicat. După cum se poate arăta cu un simplu experiment imaginar urmând traiectoria în cădere liberă a diferitelor particule de test, rezultanta vectorilor spațiu-timp care pot reprezenta viteza unei particule (vectori temporali) variază cu traiectoria particulei; în termeni matematici, legătura newtoniană nu este integrabilă. De aici, se poate deduce că spațiul-timp este curbat. Rezultatul este o formulare geometrică a gravitației newtoniene doar pe baza conceptelor de covarianță, adică o descriere validă în orice sistem de coordonate. În această descriere geometrică, efectele mareice—accelerația relativă a corpurilor în cădere liberă—sunt legate de derivata legăturii, demonstrând că geometria modificată este cauzată de prezența masei.

Generalizarea relativistă

Oricât de stranie ar părea gravitația geometrică newtoniană, baza ei, și anume mecanica clasică, este doar un caz limită de mecanică relativistă. În limbajul simetriilor: unde nu poate fi neglijată gravitația, legile fizicii sunt invariante Lorentz ca în relativitatea restrânsă, și nu invariante Galilei ca în mecanica clasică. (Simetria definitorie a relativității restrânse este grupul Poincaré care include atât translațiile cât și rotațiile.) Diferențele existente între cele două devin semnificative când avem de-a face cu viteze care se apropie de viteza luminii, și cu fenomene care au loc la energii mari.

Con de lumină

Cu simetria Lorentz, intră în joc și alte structuri. Ele sunt definite prin mulțimea conurilor de lumină (vezi imaginea din stânga). Conurile de lumină definesc o structură a cauzalității: pentru orice eveniment A, există o mulțime de evenimente care ar putea, în principiu, fie să influențeze, fie să fie influențate de A prin intermediul semnalelor sau interacțiunilor care nu pot să se propage cu viteză mai mare decât a luminii (cum ar fi evenimentul B din imagine), și o mulțime de evenimente pentru care o astfel de influență este imposibilă (cum ar fi evenimentul C din imagine). Aceste mulțimi sunt independente de observator. În conjuncție cu liniile de univers ale particulelor în mișcare liberă, conurile luminoase pot fi utilizate pentru a reconstrui metrica semiriemanniană a spațiu-timpului, cel puțin până la un factor scalar pozitiv. În termeni matematici, aceasta definește o structură conformă.

Relativitatea restrânsă este definită în absența gravitației, astfel că, în aplicațiile practice, este un model potrivit pentru situațiile în care gravitația poate fi neglijată. Introducând și gravitația în ecuație, și presupunând universalitatea căderii libere, se aplică un raționament analog celui din secțiunea anterioară: nu există sistem de referință inerțial preferat. În schimb, există sisteme inerțiale aproximative care se mișcă împreună cu particulele în cădere liberă. Tradus în termeni de spațiu-timp: liniile drepte temporale care definesc un sistem inerțial fără gravitație sunt deformate și devin linii curbe una față de alta, sugerând că includerea gravitației necesită o schimbare a geometriei spațiu-timpului.

A priori, nu este clar dacă noile sisteme de referință locale în cădere liberă coincid cu cele în care legile relativității restrânse rămân valabile—această teorie se bazează pe propagarea luminii, și deci pe electromagnetism, care ar putea avea o altă mulțime de sisteme preferate. În ipotezele diferite cu privire la sistemele de referință din relativitatea restrânsă (cum ar fi că sunt legate solidar de Pământ, sau de corpul în cădere liberă), se pot obține noi predicții privind deplasarea gravitațională spre roșu, adică modificarea frecvenței luminii pe măsură ce aceasta se propagă printr-un câmp gravitațional. Măsurătorile efective arată că sistemele în cădere liberă sunt cele în care lumina se propagă așa cum se propagă în teoria relativității restrânse. Generalizarea acestei propoziții, și anume că legile relativității restrânse sunt valabile într-o bună aproximație în sistemele de referință nerotative în cădere liberă, este denumită principiul de echivalență al lui Einstein, un principiu esențial pentru generalizarea fizicii relativiste restrânse cu includerea gravitației.

Aceleași date experimentale arată că timpul măsurat de ceasurile aflate într-un câmp gravitațional—timpul propriu, cum este el denumit—nu respectă regulile relativității restrânse. În termenii geometriei spațiu-timpului, nu este măsurat conform metricii Minkowski. Ca și în cazul newtonian, aceasta sugerează o geometrie mai generală. La nivel local, toate sistemele de referință în cădere liberă sunt echivalente, și cvasi–minkowskiene. În consecință, acum avem de-a face cu o generalizare a spațiului Minkowski. Tensorul metric care definește geometria—în particular, felul în care se măsoară distanțele și unghiurile—nu este metrica Minkowski din teoria relativității restrânse, ci o generalizare a sa, despre care se știe că este o metrică semi- sau pseudoriemanniană. Mai mult, toate metricile riemanniene sunt asociate în mod natural cu un anume tip de legătură, și anume cu legătura Levi-Civita, și aceasta este, de fapt, legătura care satisface principiul de echivalență și face spațiul local minkowskian (adică, în coordonate local inerțiale, metrica este minkowskiană, și primele sale derivate parțiale și coeficienții de legătură dispar).

Ecuațiile lui Einstein

După ce s-a formulat versiunea relativistă, geometrică a efectelor gravitațonale, mai rămâne problema cauzei(sursei) gravitației. În teoria newtoniană, sursa generatoare a câmpului gravitațional o reprezintă masa. În teoria relativității restrânse, masa se dovedește a fi o componentă a unei mărimi mai generale, denumită tensorul energie-impuls, care include atât densitatea de energie cât și pe cea de impuls, precum și tensiunea mecanică (presiunea și forțele deformatoare). Utilizând principiul de echivalență, acest tensor se poate generaliza la un spațiu-timp curbat. Pe baza analogiei cu gravitația newtoniană geometrică, se poate presupune că ecuația de câmp a gravitației leagă acest tensor de tensorul Ricci, care descrie o clasă particulară de efecte mareice: schimbarea volumului unui nor mic de particule de test aflate inițial în repaus, și apoi puse în cădere liberă. În relativitatea restrânsă, teoremele conservării energiei și a impulsului corespund afirmației că tensorul energie-impuls nu are divergență. Această formulă poate fi, și ea, generalizată la un spațiu-timp curbat prin înlocuirea derivatelor parțiale cu corespondentele lor din varietatea curbată, și anume derivatele covariante studiate în domeniul geometriei diferențiale. Cu această nouă condiție—ca divergența covariantă a tensorului energie-impuls, și deci și a orice s-ar afla de partea cealaltă a ecuației, să fie zero—cel mai simplu set de ecuații sunt cele numite ecuațiile (de câmp ale) lui Einstein:

În membrul stâng se află o combinație lineară de divergență zero, între tensorul Ricci și tensorul metric denumit tensorul Einstein. În particular,

este constanta curburii. Tensorul Ricci este și el legat de tensorul mai general de curbură Riemann deoarece

În membrul drept, este tensorul energie-impuls. Toți tensorii sunt scriși în notație abstractă. Punerea în corespondență a previziunilor teoriei cu rezultatele observate pentru orbitele planetelor (sau, echivalent, asigurarea că la limită, când gravitația este foarte slabă, și vitezele sunt foarte mici în comparație cu cea a luminii, teoria este echivalentă cu mecanica clasică), constanta de proporționalitate poate fi fixată la valoarea , unde este constanta gravitațională iar este viteza luminii. Dacă nu este prezentă materia, astfel încât tensorul energie-impuls devine nulă, se obțin ecuațiile Einstein în vid,

Există teorii alternative la relativitatea generală, teorii construite pe premise similare, și care includ reguli și/sau constrângeri suplimentare, conducând la alte ecuații de câmp. Astfel de exemple sunt teoria Brans-Dicke, teleparalelismul, și teoria Einstein-Cartan.