Neytral element. Butun sonlar to’plami da berilgan ixtiyoriy songa 0 sonini qo`shish, ixtiyoriy sonni 1 soniga ko`paytirish bilan natija o`zgarmasligi bizga ma’lum.
Agar tenglik o`rinli bo`lsa qo`shish amaliga nisbatan 0 soni, ko`paytirish amaliga nisbatan 1 soni neytral element hisoblanadi.
48
|
Natural sonlar to’plamida kommutativlik va assotsiativlik xossalariga qaysi amallar bo’ysinadi.
|
Natural sonlar to’plamida qo`shish va ko`paytirish amallari assotsiativlik xossasiga ega.
2) Qo`shish va ko`payritish amallari ixtiyoriy sonlar Natural sonlar to’plamida qo`shish amali uchun kommutativlik amali o`rinli.
Natural sonlar to’plamida ko`paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o`rinli.
to’plamida assotsiativlik xossasiga ega.
|
49
|
Amallarning qaysi biri uchun butun sonlar to’plami Z da assotsiativlik xossasi o’rinli bo’ladi
|
Butun sonlar to’plamida ayirish amali assotsiativlik xossasiga bo`ysunmaydi.
5) Musbat butun sonlar to’plamida bo`lish amali assotsiativ emas.
Agar berilgan to’plamda * algebraik amal uchun assotsiativlik xossasi o`rinli bo`lsa, elementlardan va * algebraik amal vositasida qavslar qo`yish orqali tuzilgan turli ifodalar bir xil son qiymatiga ega bo`ladi. Shuning uchun bir qancha sonlarni qo`shish va ko`paytirish amallarini bajarish jarayonida qavslar ishlatilmaydi.
|
50
|
Butun sonlar to’plami Z da kommutativlik xossasi o’rinli bo’lgan amallarni ko’rsating.
|
Butun sonlar to’plami da ayirish amali kommutativlik xossasiga bo`ysinmaydi.
|
51
|
Natural sonlar to’plami N da neytral element mavjudmi?
|
Berilgan to’plamda faqat bitta neytral element mavjud bo`ladi.
Isbot. Aytaylik to’plamda dan tashqari ham neytral element bo`lsin, u holda uchun bajarilishi kerak. bo`lsa, , shu bilan birga . Bu munosabatlar bajarilishidan ekani kelib chiqadi.
Har qanday to’plam ham neytral elementga ega bo`lavermaydi. Natural sonlar to’plamida qo`shishga nisbatan neytral element mavjud emas, chunki tenglikni o`rinli qiladigan soni da mavjud emas.
Agar to’plamda * amaliga nisbatan neytral element mavjud bo`lsa, * algebraik amal bilan berilgan har qanday ifodada neytral elementni * algebraik amal bilan birgalikda tashlab yuborish mumkin bo`ladi.
|
52
|
Berilgan amalga teskari amal deb qanday amalga aytiladi.
|
Ma’lumki, ko`paytirish amaliga bo`lish, qo`shish amaliga ayirish amallari teskari amallardir.
kelib chiqadi.
Qo`shish va ko`paytirish amallari natural sonlar to’plamida algebraik amal bo`lsa ayirish va bo`lish amallari qismiy algebraik amaldir, chunki ayirish faqat bo`lgan hollarda, bo`lish esa soni soniga qoldiqsiz bo`lingan hollardagina bajariladi.
Endi esa qisqaruvchan va kommutativ bo`lgan har qanday * algebraik amalga teskari bo`lgan qismiy algebraik amalni aniqlaymiz hamda ularning umumiy xossalarini keltirib chiqaramiz. Ana shu umumiy xossalardan esa amallarning xususiy holda ayirish va bo`lish amalining xossalari kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, to’plami va unda qichqaruvchan va kommutativ bo`lgan * algebraik amal berilgan bo`lsin. to’plamga tegishli va shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy juftliklarni bilan belgilaylik. Har bir juftlikda bir qiymatli aniqlangandir.
Faraz qilaylik, bir qiymatli aniqlanmagan, ya’ni bo`lsin, u holda * algebraik amalning qisqaruvchanlik xossasidan ekanligi kelib chiqadi.
Demak, dan olingan har bir juftga to’plamidan bitta ni mos qo`yish orqali * algebraik amalga to’plamida teskari bo`lgan qismiy algebraik amalni aniqlandi.
7-ta’rif. Agar uchun amal faqat va faqat o`rinli bo`lganda bajarilsa, amalga * amaliga teskari bo`lgan algebraik amal deyiladi.
|
53
|
Ratsional sonlar to’plami Q da ko’paytirish amaliga teskari amal mavjudmi?
|
|
54
|
Nomanfiy butun sonlar to’plamida neytrla elementni ayting va asoslang.
|
. Butun sonlar to’plami da qo`shish, ayirish, ko`paytirish amali algebraik operatsiyadir. Bo`lish amali esa algebraik amal bo`la olmaydi, chunki ba’zi bir hollarda bo`lish natijasida kasr son chiqadi.
|
55
|
Natural sonlar to’plami N da qaysi amallar algebraik operatsiya bo’ladi.
|
Natural sonlar to’plamida qo`shish amali algebraik operatsiyadir, chunki uchun hamma vaqt topiladi.
2-misol. Natural sonlar to’plamida ayirish amali algebraik amal bo`la olmaydi, chunki ixtiyoriy ikkita sonni ayirishdan chiqqan natija hamma vaqt natural son bo`lmaydi. Natural sonlar to’plamida ayirish amali hollarda bajariladi ayirma musbat butun son bo`ladi.
|
56
|
Butun sonlar to’plami Z da qaysi amallar algebraik operatsiya bo’ladi.
|
. Butun sonlar to’plami da qo`shish, ayirish, ko`paytirish amali algebraik operatsiyadir. Bo`lish amali esa algebraik amal bo`la olmaydi, chunki ba’zi bir hollarda bo`lish natijasida kasr son chiqadi.
|
57
|
Ratsional sonlar to’plami Q da qaysi amallar algebraik operatsiya bo’ladi.
|
|
58
|
Haqiqiy sonlar to’plami R da qaysi amallar algebraik operatsiya bo’ladi.
|
Haqiqiy sonlar to’plami da qo`shish va ko`paytirish amallari kommutativdir.
|
59
|
Qisman algebraik operatsiya deb nimaga aytiladi va unga misollar keltiring.
|
Agar dekart ko`paytmaning qism to’plamini X to’plamga akslantirishi berilgan bo`lsa, bu akslantirishga to’plamda qismiy algebraik amal deyiladi.
, , ya’ni .
elementga mos keluvchi juftlar to’plami qismiy algebraik amalning aniqlanish sohasi deyiladi.
Demak, natural sonlar to’plamida ayirish va bo`lish, butun sonlar to’plamida darajaga ko`tarish qisman algebraik operatsiya hisoblanadi. Qisman algebraik operatsiya bo`sh ham bo`lishi mumkin, ya’ni juftlikka bitta ham element mos kelmasligi mumkin.
|
60
|
Qisqaruvchan va yutuvchi element nima va qaysi amallarga nisbatan o’rinli.
|
Agar to’plamda topilsaki, uchun tenglik bajarilsa, berilgan * algebraik amalga nisbatan element yutuvchi element deyiladi.
Butun sonlar to’plami da har qanday sonni 0 ga ko`paytirish natijasida 0 soni hosil bo`ladi .
Demak, ko`paytirish amaliga nisbatan 0 element yutuvchi element hisoblanar ekan. Shuningdek element * algebraik amalga nisbatan yutuvchi element bo`lsa, element bilan shu amal birgalikda berilgan har qanday ifodani element bilan almashtirish mumkin bo`ladi. a) Natural sonlar to’plami da berilgan ixtiyoriy elementlar uchun
bajariladi.
b) Butun sonlar to’plami da bo`lgan holda munosabatdan kelib chiqadi. Ko`paytirishga nisbatan esa munosabat va qat’iy son qiymatlarini aniqlash imkoniyatini bermaydi.
6-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamining ixtiyoriy , va a elementlari uchun, shu to’plamda aniqlangan * algebraik amalga nisbatan
munosabatlar o`rinliligidan kelib chiqsa, to’plamida * algebraik amal qisqaruvchanlik xossasiga bo`ysinadi deyiladi.
Agar dan tenglik o`rinli bo`lsa, to’plam elementlari uchun * amalga nisbatan chapdan qisqaruvchanlik xossasi o`rinli bo`ladi.
Agar dan tenglik o`rinli bo`lsa, to’plam elementlari uchun * amalga nisbatan o`ngdan qisqaruvchanlik xossasi o`rinli bo`ladi.
Bir vaqtning o`zida chapdan va o`ngdan qisqaruvchanlik xossasi o`rinli bo`lsagina to’plamda qisqaruvchanlik xossasi o`rinli deyiladi.
|
61
|
Neytral va simmetrik element haqida tushuncha bering.
|
to’plamda o`rinli bo`lgan * algebraik amalga nisbatan elementlar uchun tenglik o`rinli bo’lsa, shu to’plamning elementi neytral element deyiladi.
Teorema. Berilgan to’plamda faqat bitta neytral element mavjud bo`ladi.
Isbot. Aytaylik to’plamda dan tashqari ham neytral element bo`lsin, u holda uchun bajarilishi kerak. bo`lsa, , shu bilan birga . Bu munosabatlar bajarilishidan ekani kelib chiqadi. Agar uchun tenglik o`rinli bo`lsa, element a element uchun simmetrik element deyiladi.
Teorema. da berilgan * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, * amaliga nisbatan ning har bir elementiga faqat bitta simmetrik element mos keladi.
Isbot. Aytaylik, to’plamda elementga ikkita va elementlar simmetrik bo`lsin.
U holda ta’rifga asosan .
* amal assotsiativ bo`lganidan
.
Bundan ko`rinadiki, * amaliga nisbatan to’plamning har bir elementi faqat bitta simmetrik elementga ega bo`ladi.
Shunday to’plamlar mavjudki, ularning har bir elementiga bitta ham simmetrik element mos kelmaydi.
Masalan, nomanfiy butun sonlar to’plamida qo`shish amaliga nisbatan ga simmetrik element ( ) mavjud emas, .
|
62
|
Toq sonlar to’plamida qaysi amallar algebraik operatsiya bo’ladi.
|
Toq sonlar to’plamida qo`shish va ayirish amali algebraik operatsiya bo`la olmaydi, chunki natija juft son chiqadi.Ko’paytirish amali va bo’lish amali bo’la oladi.
- juft son.
|
63
|
Juft sonlar to’plamida qaysi amallar algebraik operatsiya bo’ladi.
|
. Juft sonlar to’plamida qo`shish amali algebraik operatsiyadir, chunki ikki juft sonning yig`indisi yana juft son bo`ladi.
|
64
|
Algebraik amalga nibatan assotsiativlik xossasini keltiring. Misollar keltiring.
|
|
