Assotsiativlik xossasi. Algebraik amallar xossalari ayniy shakl almashtirish, ayniy almashtirishlar bilan bevosita bog`liqdir. Ayniy almashtirishlarni bitta algebraik amalga nisbatan qarab chiqaylik va bu algebraik amalni (*) ko`rinishida belgilaylik.
Ifodalar ustida ayniy shakl almashtirishni bajarish jarayonida alebraik amallarning assotsiativlik xossasidan foydalaniladi. to’plamda * algebraik amal berilgan bo`lsin.
1-ta’rif. to’plamidan olingan ixtiyoriy elementlar uchun munosabat o`rinli bo`lsa * algebraik amal to’plamda assotsiativlik xossasiga ega deyiladi.
Misollar ketiramiz.
1) Natural sonlar to’plamida qo`shish va ko`paytirish amallari assotsiativlik xossasiga ega.
2) Qo`shish va ko`payritish amallari ixtiyoriy sonlar to’plamida assotsiativlik xossasiga ega.
3) To’plamlarni kesishmasi va birlashmasi assotsiativlik xossasiga bo`ysinadi.
4) Butun sonlar to’plamida ayirish amali assotsiativlik xossasiga bo`ysunmaydi.
5) Musbat butun sonlar to’plamida bo`lish amali assotsiativ emas.
Agar berilgan to’plamda * algebraik amal uchun assotsiativlik xossasi o`rinli bo`lsa, elementlardan va * algebraik amal vositasida qavslar qo`yish orqali tuzilgan turli ifodalar bir xil son qiymatiga ega bo`ladi. Shuning uchun bir qancha sonlarni qo`shish va ko`paytirish amallarini bajarish jarayonida qavslar ishlatilmaydi.
65
|
Algebraik amalga nibatan distribituvlik xossasini keltiring. Misollar keltiring.
|
Yuqorida bitta algebraik amalga nisbatan assotsiativlik va kommutativlik xossalari ko`rildi, ushbu xossalar o`rinli bo`lgan algebraik amalni o`zida saqlovchi ifodalarda shakl almashtirishlar amalga oshirildi. Endi esa ikkita algebraik amal bilan bog`langan ifodalarni ko`ramiz.
Faraz qilaylik, bizga to’plam va unda *,• -algebraik amallar berilgan bo`lsin.
3-ta’rif. to’plamidan olingan ixtiyoriy elementlar uchun
munosabat o`rinli bo`lsa, • algebraik amal * amalga nisbatan cha’ tomondan distributivlikka ega deyiladi.
4-ta’rif. to’plamidan olingan ixtiyoriy elementlar uchun
munosabat o`rinli bo`lsa, • algebraik amal * amalga nisbatan o`ng tomondan distributivlikka ega deyiladi.
5-ta’rif. to’plamidan olingan ixtiyoriy elementlar uchun
munosabatlar o`rinli bo`lsa • algebraik amal * amalga nisbatan distributivlik xossasiga bo`ysinadi deyiladi.
Misollar.
1) Natural sonlar to’plamida ko`paytirish amali qo`shish amaliga nisbatan distributiv, chunki
.
2) Butun sonlar to’plamida ko`paytirish amali ayirish amaliga nisbatan distributivdir, chunki
3) Qo`shish amali ko`paytirish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga bo`ysinmaydi.
4) To’plamlar kesishmasi to’plamlar birlashmasiga nisbatan distributivlik xossasiga bo`ysinadi.
5) To’plamlar birlashmasi to’plamlar kesishmasiga nisbatan distributivlik xossasiga bo`ysinadi.
6) Ratsional sonlar to’plamida bo`lish amali qo`shish amaliga nisbatan faqat o`ng tomondan distributiv, chunki
.
Natija. Ko`paytirish amali qo`shish amaliga nisbatan distributiv bo`lganidan
o`rinli bo`ladi. Yana bir marta ko`paytirishning qo`shishga nisbatan distributivlik qonunidan foydalanish bilan
kelib chiqadi.
Agar berilgan *, • ikkita algebraik amallardan birinchisi * amali assotsiativlik xossasiga va • amali * amalga nisbatan distributivlik xossasiga bo`ysinsa, bu algebraik amallarga nisbatan quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi.
|
66
|
Matematik tushuncha uning hajmi va mazmuni nima. Misollar keltiring.
|
tushuncha — bu narsalar va hodisalarni ba’zi bir muhim alomatlariga ko’ra farqlash yoki umumiylashtirish natijasi ekan. Alomatlar esa narsa yoki hodisalarning bir-biriga o’xshashligi yoki farqlanishini bildiruvchi xossalardir. Ob’yektning barcha muhim xossalari to’plami tushunchaning mazmunini tashkil qiladi. Masalan, «son» tushunchasi mazmuniga sonlarni taqqoslash, yozuvda ifodalash, son o’qida tasvirlash, sonlar ustida turli arifmetik amallar bajarish kabi xossalar kiradi.
Bir xil muhim xossalarga ega obyektlar to’plami tushuncha hajmini tashkil etadi. Masalan, «son» tushunchasi hajmini natural, nomanfiy, butun, kasr, ratsional, irratsional, haqiqiy, mavhum va kom’leks sonlar tashkil etadi.
Demak, tushuncha hajmi bitta tushuncha bilan nomlanishi mumkin bo’lgan obyektlar to’plami ham ekan. Tushuncha mazmuni uning hajmini aniqlaydi va aksincha.
|
67
|
Kombinatorika masalalari haqida tushuncha bering. Misollar keltiring.
|
. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — kombinatorikada o’rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII—XIX asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma, G.Leybnis, Y.Bernulli, L.Eyler kabi olimlar katta hissa qo’shganlar Kombinatorikada, asosan, chekli to’plamlar, ularning qism to’plamlari, chekli to’plam elementlaridan tuzilgan kortejlar va ularning sonini topish masalalari o’rganilgani uchun uni to’plamlar nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin.
.
|
68
|
Yig’indi qoidasini turli hollarda keltiring. Misollar keltiring.
|
Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi yig’indi qoidasi deb ataladi.
Agar bo’lsa,
(1) bo’ladi.
Ya’ni kesishmaydigan A va B to’plamlar birlashmasi elementlari soni shu to’plamlar elementlari sonlarining yig’indisiga teng.
Agar bo’lsa,
(2) bo’ladi.
Ya’ni umumiy elementga ega ikki to’plam birlashmasi ele- mentlari soni to’plamlarning har biri elementlari sonlari yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonining ayrilganiga teng. (2) formula (1) formulaning umumiy holi bo’lib, (1) formulada , ya’ni to’plamlarning umumiy elementi yo’q.
Yigindi qoidasi umumiy elementga ega bo’lgan uchta A, B, C to’plam uchun quyidagicha yoziladi: agar bo’lsa,
bo’ladi.
(1) formula bilan yechiladigan kombinatorika masalasi umumiy holda quyidagicha ifodalanadi: agar x elementni k usul, y elementni m usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, «x yoki y» elementni k + m usul bilan tanlash mumkin.
|
69
|
Ko’paytma qoidasi va umumlashgan ko’paytma qoidasini keltiring.
|
|
