2 ile Bölünebilme
Birler basamağı çift olan {0, 2, 4, 6, 8} doğal sayılar 2 ile tam bölünebilir.
ÖRNEK:
2426 sayısı 2'ye tam olarak bölünebilir mi?
Birler basamağındaki 6 çift sayı olduğundan 2 ile tam bölünebilir.
ÖRNEK:
1257 sayısı 2'ye tam bölünebilir mi?
2 ile kalansız olarak bölünmez. Çünkü 7 rakamı 2'nin katı değildir ve çift sayı olmadığından 2'ye kalansız böiünmez.
ÖRNEK:
Dört basamaklı (123a) sayısının rakamları farklıdır.
Bu sayı iki ile tam bölünebildiğine göre, a rakamının alacağı değerler toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM:
12 3a => a'nın değeıieri toplamı: 0+4+6+8 =18 olur. 0 4 6 8
-MATEMATIK-
31
3 ile Bölünebilme
Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ve 3'ün katı olan sayılar 3'e kalansız (tam) olarak bölünür.
Örnegin: 126 => 1 +2 + 6 = 9 (3'ün katı olduğu için 3'e tam bölünür.)
1994 => 1 + 9 + 9 + 4 = 23 (3'ün katı olmadığı için 3'e tam bölünmez.)
ÖRNEK:
(aa5) üç basamaklı sayıdır. Bu sayı 3 ile tam bölüne-bildiğine göre, a nın kaç farklı değeri vardır?
ÇÖZÜM:
a + a + 5 = 3k, (k e N)
ai=2] ..
2a + 5 = 3k => a2 = 5 > Uç farklı değeri vardır. a3=8j
ÖRNEK:
3 ile bölündüğünde 2 kalanmı veren iki basamaklı doğal sayılar kaç tanedir?
ÇÖZÜM:
3 ile bölünenler 3.k, (k e N)
12,15,18, ...96, 99
2 kalanını verenler 3k + 2, (k e N)
11, 14, 17 98 (101 üç basamaklı olduğu için
alınmaz)
98-11
Terim sayısı:
4 ile Bölünebilme:
+1 = 30 olur.
Sayının son iki basamağı 77 dir. Sayının 4 ile bölü-mündeki kalan 77 nin 4 ile bölümündeki kalandır.
77
19
0 halde kalan 1 'dir.
37
_36_
2
5 ile Bölünebilme
Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile kalansız olarak bölünür.
ÖRNEĞİN;
5'e bölünür. 5'e bölünür. 5'e tam bölünmez.
290 -> Birler basamağı 0 -> 385 -> Birler basamağı 5 -> 383 -> Birler basamağı 3 ->
ÖRNEK:
(27ab) dört basamaklı sayısı 4 ve 5 ile bölünebildiği-ne göre, a nın alacağı değerler nelerdir?
ÇÖZÜM:
Verilen sayı hem 4 ile hem de 5 ile bölündüğüne göre b = 0 olur.
Bu durumda aO = 4k, (keN) a1=0
a2=2
Beş farklı değer alır.
a4=6 a5=8 J
Birler ve onlar basamağındaki rakamların oluşturduğu sayı yani son iki basamağı 4'ün katı olan veya 00 olan sayılar 4 ile kalansız bölünebilir.
ÖRNEĞİN;
2400 -» 00 sayısı kurala uyduğu için sayı 4 ile bölü-nür.
6204 -* 04 sayısı 4'ün katıdır. Sayı 4 ile tam bölünür. 5326 -> 26 4'ün katı olmadığı için 4'e tam bölünmez. ÖRNEK:
20 basamaklı 777...77 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?
ÇÖZÜM:
7 ile Bölünebilme
Sayının birler basamağından başlamak üzere, sağdan sola doğru (1, 3, 2), (-1, -3, -2) sayılarıyla çarpılıp top-lanır; elde edilen sayı 7 ye bölünürse ilk sayı da 7 ile bölünür.
ÖRNEK:
2+15+2 = 7k, (keZ +)
15 = 7k 7 ile bölümünden kalan 1 dir.
4152 => 4 15 2:
v y y y
-12 31 ÖRNEK:
r>-6-3-5+8+6+9 Bu sayının 7 ile bölümünden kalan 2 dir.
315429 => 3 1 5 4 2 9 : -2-3-1 2 3 1
ÖRNEK:
32-
-GENEL YETENEK GENEL KÜLTÜR DERGİSİ-
9A25 sayısı 7 ile tam bölünebildiğine göre A kaç olur?
ÇÖZÜM:
k = 2 için => 2A + 2 = 14 2A = 12
A = 6 olur.
9 A 2 5^-9+2 ^ ^^ ~1231
7 54 6
■*■ ■*■ v v
ÖRNEK:
2 17 6
\. l -1 i
11'ebölünür.
_2= 9=î>1i'ebölümündenkalan 9dur.
8 ile Bölünebilme
Son üç rakamı 000 ise 8 ile tam bölünür. 34000 -» Son üç rakamı 000 olduğu için 8'e bölünür. ÖRNEK:
82A sayısı 8 ile tam bölünebildiğine göre A kaç olabi-lir?
ÇÖZÜM:
82A = 8k,(keN) 800 + 2A = 8 k
24 ve A = 4 olabilir.
9 ile Bölünebilme:
Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 ve 9'un katı oian sayılar 9'a tam bölünür.
135-*1+3 + 5 = 9=> 9'un katı bölünür. 281 ->• 2 + 8 +1 = 11 => 9'un katı değil tam bölünm^z. ÖRNEK:
23x2 sayısının 9 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre x kaçtır?
ÇÖZÜM:
23x2 => 2 + 3 + x + 2 = 9k + 8, (keN)
x-1 = 9k=>x = 1 olur.
11 ile Bölünebilme
Sağdan (birler basamağı) başlamak üz^re bir toplama bir çıkarma işlemi yapılır. Elde edilen sayı 11'in katı ise, sayıda 11 'e bölünür.
a bcd =a + b-c + d = 11 . k(keN) 14-^4^ b + d-(a + c) = 11.k
ÖRNEK:
ÖRNEK:
1K3L sayısı 11 ile tam bölündüğüne göre K+L toplamı kaç farklı değer alabilir?
ÇÖZÜM:
1 K3 L =>-1+K-3 + L=11 .k, (keN)
lill K + L-4= 11 . k
_ + _+ K + L = 4 veya K + L = 15 olabilir.
NOT:
-
10 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 (sıfır) olan sa-
yılar 10atam bölünür.
-
12 ile bölünen sayılar 3'e ve 4'e bölünürler.
-
15 ile bölünen sayılar 5'e ve 3'e bölünürler.
ASAL SAYILAR - OKEK - OBEB
Asal Sayılar:
Tanım 1: Bölenler kümesi iki elemanlı olan doğal sayılara "Asal sayılar" denir.
Tanım 2: 1 ve kendinden başka bir saytya bölünmeyen sayılara "Asal sayılar" denir.
En küçük asal sayı 2'dir. 2 hariç tüm asal sayılar tektir. Bazı doğal sayıları birçok sayının çarpımı biçiminde yazabiliriz. Bu sayılar verilen doğal sayının çarpanları ya da bölenleri olur.
Silgi Nobı /
NOT: 1B = {B} olduğundan 1 asal sayı değildir. 2B = {1,2} olduğundan 2 asal sayıdır. 3B = (1, 3} olduğundan 3 asal sayıdır.
4B = {1, 2, 4} 3 böleni olduğundan 4 asal sayı değil-dir.
5B = {1,5} olduğundan 5 asal sayıdır. Bir sayının asal sayı olabilmesi için {a, b} kümesinin en az ve en fazla 2 elemanı olması gerekir. Asal sayılar
kümesi {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, } şeklinde devam
eder.
-MATEMATIK-
33
Örneğin; 24 sayısını ele alalım.
24=1. 24 = 2. 12 = 3. 8 = 4. 6 = 2. 3. 4=1 . 2. 3 . 4 = 23. 3 vb. gibi biçimlerinden biri ile göstermek müm-kündür.
Oysa 13 sayısını alırsak; 13 = 1 .13 olarak yazıiabilir. Yani 13'ün sadece iki böleni vardır.
Verilen Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırmak
Tanım: x, y, z asal sayılar ve a, b, c e N+ ise ve bir A doğal sayısı A = xa. yb. zc biçiminde yazılabiliyorsa x, y, z'ye A'nın asal çarpanları denir.
ÖRNEK:
= 2 . 32 . 5
36 ve 90 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
36
|
2
|
|
18
|
2
|
|
|
|
= 22 . 32
|
9 3
|
3 3
|
u
|
1
|
|
Asal çarpanlar
|
Asal çarpanlar
1) Aralarında Asal Sayılar:
-
den başka ortak tam böleni olmayan sayma sayılarına
aralarında asaldır denir.
-
ile 3 aralarında asaldır.
4 iie 7 aralarmda asaldır.
4,5,6 aralarında asaldır. 10,12, 25 aralarında asaldır.
9, 12, 42 aralarında asal değildir. 1 böleninden başka 3 böleni de vardır.
* x ve y aralarında asal iki sayı olsun.
-
Hem x, hem de y ile bölünebilen sayılar x.y ile de
bölünebilir.
-
x.y ile bölünebilen sayılar ayrı ayrı x ve y ile bölünebilir.
2) A sayma sayısı a, b, c farklı asal sayılar m, n p doğal sayılar olsun.
A = am. bn. cp olarak yazılabiliyorsa:
-
A nın pozitif tam bölenieri sayısı:
(m+1). (n+1) (p+1)
-
A nın tam bölenlerinin sayısı:
c) A nın pozitif tam bölenlerinin toplamı:
tn
O
cr
UJ Q
Q UJ
5-
T =
a-1 b-1 c-1
n| a
d) A nın tam bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır. 3) n! ifadesindeki a asal çarpanlarının sayısı:
(a
(aişlemlerine göre x + y + z dir. ÖRNEK:
120 sayısının asal sayı olmayan pozitif çarpanlan kaç tanedir?
ÇÖZÜM:
120 = 23.31.51 Pozitif çarpanları sayısı: (3+1). (1+1). (1+1) = 16 Asal çarpanları sayısı: 3 (2,3,5)
16-3 = 13 tane asa! sayı olmayan pozitif çarpanları vardır.
ÖRNEK:
9! sayısının pozitif tamsayı böleni kaç tanedir?
ÇÖZÜM:
9| 2 9| 3 9| 5 9| 7
R_2_ Fh M M
i_
R
=> 9! = 24+2+1 . 3+1 . 51 . 71
= 29 . 34 . 51 . V
(9+1). (4+1) (1+1) (1+1) = 10 . 5 . 2 . 2 = 200
pozitif tamsayı böleni 200 tanedir. ,
OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü)
Tamm: Verilen sayıiar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, ortak bölenlerin üssü en küçük olanları çarpımına, bu sayıların OBEB'i denir.
Örnek 1: 210 ile 90'ın OBEB'ini bulalım.
210
|
90
|
105
|
45
|
35
|
15
|
35
|
5
|
7
|
1
|
1
|
|
2 . 32 . 5 . 7 buradan ortak bölenleri olan,
2 . 3 . 5 = 30 ortak bölen olarak bukınur.
34-
-GENEL YETENEK GENEL KÜLTÜR DERGİSİ-
Örnek 2:
-
60'ın pozitif bölenlerini yazalım;
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
-
48'in pozitif bölenlerinr yazalım;
1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
-
60 ve 48'in ortak bölenleri;
1, 2, 3,4, 6,12==> OBEB (48, 60)= 12'dir.
OKEK (Ortak Katların En Küçüğü)
Tanım: Verilen sayı asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan-lardan üstü 9n büyük olan ile ortak olmayanların çarpımı-dır.
Orneki:
180 120
(D 23. 32. 5 =>
2 Ortak bölenleri alırsak,
2 OKEK = 360 olur.
Örnek 2:
a) 12'nin pozitif tam katlarını yazalım;
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108,120,132,144,...
b) 15'in tam katlarını yazalım;
15, 30, 45, 60, 75, 90,105,120,135,150,165,...
c) 12 ve 15'in ortak pozitif katları;
60,120,180, 240,... => OKEK (12,15)=60'tır.
Rilgi Notv !
jOBEB'i bir olan sayılar, aralarında asal sayılardır. İki sayının OKEK'i İİ9 OBEB'inin çarpımı o sayıların çarpı-j mını verir. (a.b)oKEK. (a.b)oBEB = a.b'dir.
ÖRNEK:
12,15,18 sayılan bir Asayısını tam bölüyor.
12,15,18 sayılarını B tam bölüyor.
A V9 B doğal sayı iken A - B nin en küçük değeri kaç-
tır?
12 15 18 6 15 9 3 15 9 1 5 3 5 1
ÇÖZÜM:
A = (12,15, 18)okek = 22.32.5 = 180 B = (12,15, 18)obeb = 3 A-B = 180-3 = 177olur. ÖRNEK:
24 ve 64 sayılarına bölündüğünde 7 kalanını v^ren en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM:
A = 24x + 7 = 64.y + 7 A-7 = (24x64)okek = 192 A-7 = 192=5>A=199olur. Rakamları toplamı 1 + 9 + 9 = 19 dur. ÖRNEK:
Boyutları 256 m ve 304 m olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin kenarlarına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
Köşetere de dikilmek koşuluyla en az kaç ağaç dikil-melidir?
ÇÖZÜM:
(256,304)obeb = 16
2 ^+^= 2(16 + 19) = 70 olur.
304 16 + 16
ÖRNEK:
ORNEK:
Üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 4,5, 6 sayıları ile tam bölünür?
ÇÖZÜM:
(4, 5, 6)okek =
= 60 4 5 6 2 5 3
1 5 3 5 1 1
Aradığımız sayıların en küçüğü 120 en büyüğü 960 dır.
960-120+ = 840 =
60 60
tanedir.
60 kg nohut, 72 kg buğday 140 kg fasulye eşit ağır-lıkta ayrı ayrı paketlenecektir.
Enaz kaç paket yapılabilir? ÇÖZÜM:
(60,72, 140)obeb = 4
. , , 60 72 140 „ . Adet= —+—+— = 68 olur. 4 4 4
-MATEMATIK-
35
ÇOZUMLU KONU KAVRAMA TESTİ
1.
a2-a
Yukarıdaki bölme işlemine göre, b+1 in a türün-den ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
4. x, y, z sıfırdan farklı birer pozitif tamsayı olduğuna göre,
x ly
|
y
|
z
|
- .\T -
|
|
3
|
3
|
1
|
x in z türünden dir?
|
değeri aşağıdakilerden hangisi-
|
A) 12Z + 7 D) 4z + 1
|
B) E)
|
11z + 3 C) 6z + 3 3z + 2
|
A)
|
a
|
-
|
1
|
B)
|
a + 1
|
|
a
|
|
a
|
D)
|
a
|
2
|
-1
|
|
E)
|
a2+1
a2 + 2a
5. Üç basamaklı 84a sayısının 6 ile kalansız bölüne-bilmesi için, a kaç tane farkiı değer alabilir?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
cc
Q 6. V)
tn o.
2. Bir x doğal sayısı 3 e bölündüğünde bölüm a, kalan 1 -; dir. a sayısı 8 e bölündüğünde ise kalan 2 dir.
Buna göre, x doğal sayısı 24 e bölündüğünde kalan kaçtır?
E) 9 §
D) 8
A) 5 B) 6 C) 7
Al4
B LL olduğuna göre, A'nın 12 —İC ile bölünmesi ile elde 1 edilecek kalan kaçtır?
A) 3 B)5 C)6 D)8 E) 10
3. ab iki basamaklı bir sayı a ^ b olmak üzere,
ab | a + b T
7. A B
c LL olduğuna göre, C'nin A —I 5 türünden eşiti aşağıdaki-4 lerden hangisidir?
olduğuna göre, a2 + b2 - 2ab nin değeri kaçtır?
A) 36 B) 16 C) 9 D) 4 E) 1
A) D)
5A-4
3 5A + 2
B) E)
5A + 4
2 5A-4
C)
2A + 6
36-
-GENEL YETENEK GENEL KÜLTÜR DERGİSİ-
C) 1001
8. abOab [ab olduğuna göre, x + k = ?
A) 101 D)1010
B) 110
E) 10010
13. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 60 . a = b3 olduğuna göre, b en az kaçtır?
A)20 B)30 C)35 D) 40 E) 45
9. 3b24a6 sayısı 3 ile tam bölünebiliyor. Buna göre a + b ençok kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 18
14. 60 sayısı hangi en küçük pozitif tam sayı ile çarpı-lırsa çarpım bir tamsayının karesine eşit olur?
A)3 B)5 C)6 D) 10 E) 15
Dostları ilə paylaş: |