Turli bazisda berilgan chiziqli almashtirish matritsalar orasi bog‘lanish Reja: Kirish. Asosiy qism

Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari
Ushbu mavzuda biz chiziqli fazoda aniqlangan akslantirishlar ichida muhim o‘rin egallaydigan chiziqli almashtirish tushunchasini kiritamiz.
1-ta’rif. n o‘lchamli V fazoda aniqlangan akslantirish uchun

shartlar bajarilsa, u holda A akslantirish chiziqli almashtirish deyiladi.
Odatda A chiziqli almashtirishning qiymati A(x) o‘rniga Ax yoziladi.
Misol 1. a) uch o‘lchamli Yevklid fazosida vektomi koordinata boshidan o‘tadigan biror o‘q atrofida burishdan iborat bo‘lgan almashtirishni qaraymiz. Bunda xar bir x vektorga uni burishdan so‘ng hosil bo‘lgan Ax vektorni mos qo‘yamiz. Bu moslik 1) va 2) shartlarni qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas.
Masalan, 1) shartni tekshirib ko‘raylik: ifoda avval hamda vektorlarning qo‘shilishini, so‘ngra hosil bo‘lgan vektorning burilishini bildiradi. esa avval hamda vektorlarning burilishini, so‘ngra ularning qo‘shilishini bildiradi. O‘z- o‘zidan ravshanki, ikkala holda ham natija bir hil bo‘ladi. Demak, A akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.
b) Bizga Yevklid fazosi va uning koordinatalar boshidan o‘tuvchi biror tekisligi bo‘lgan V qism fazosi berilgan bo‘lsin.
Ixtiyoriy vektorga uning bu tekislikdagi proeksiyasini mos qilib qo‘yamiz. Bu moslik ham chiziqli almashtirish bo‘ladi.
с) segmentda uzluksiz funksiyalardan iborat fazoni qaraylik. Bu fazoda aniqlangan akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi. Haqiqatdan ham,

Endi chiziqli almashtirishlar ichida alohida ro‘l o‘ynovchi quyidagi 2 ta sodda almashtirishlarni keltiramiz. Ixtiyoriy vektorga shu vektorning o‘zini mos qo‘yuvchi E almashtirish, birlik almashtirish deyiladi, ya’ni Ex = x.
Ixtiyoriy x vektorga nol vektorni mos qo‘yuvchi 0 almashtirish nol almashtirish deyiladi, ya’ni
n o‘lchamli V chiziqli fazoda A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lib, chiziqli fazo bazisi bo‘lsin.
2-tasdiq. Berilgan vektorlar uchun
shartni qanoatlantiruvchi A chiziqli almashtirish mavjud va yagona.
Isbot. Dastlab, A chiziqli almashtirish vektorlar orqali bir qiymatli aniqlanishini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, V fazodan olingan ixtiyoriy

vektor uchun

bo‘ladi. Demak, vektorlar orqali bir qiymatli
aniqlanadi.
Endi xar qanday vektorlar uchun tenglikni qanoatlantiradigan A chiziqli almashtirish mavjudligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun ixtiyoriy vektorga vektomi mos qilib qo‘yamiz. x vektor e bazis vektorlar orqali bir qiymatli ifoda etilgani uchun, unga muayyan bir Ax vektor mos qo‘yiladi. Bunday aniqlangan akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.
Chiziqli almashtirishlar va matritsalar orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz. Yuqoridagi tasdiqdan ixtiyoriy vektorlar uchun shartni qanoatlantiruvchi chiziqli almashtirish yagona ravishda aniqlanishiga ega bo‘ldik. vektorning bazisdagi koordinatalarini
orqali belgilaylik, ya’ni

Ushbu koeffitsientlar orqali matritsani hosil qilamiz.
Hosil qilingan matritsa A chiziqli almashtirishning bazisdagi matritsasi deb aytiladi.
Shunday qilib, berilgan bazisda xar bir A chiziqli almashtirishga matritsa bir qiymatli mos qo‘yilishiga ega bo‘ldik. Demak, chiziqli almashtirishlarni matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Lekin ushbu matritsa bazisga bog‘liq ekanligini, bazis o‘zgarganda esa matritsaning ham o‘zgarishini ta’kidlab o‘tish joiz.