Turli bazisda berilgan chiziqli almashtirish matritsalar orasi bog‘lanish Reja: Kirish. Asosiy qism

1-teorema. Agar biror chiziqli almashtirishning va bazislardagi matritsalari mos ravishda A va B b₀‘lib, birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi C ga teng bo‘lsa, tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, berilgan A chiziqli almashtirish va hamda bazislar uchun yuqoridagi (1), (2) va (3) shartlar o‘rinli bo‘lsin. bazis elementlarini elementlarga mos ravishda o‘tkazuvchi C chiziqli almashtirish quramiz, ya’ni
1-tasdiqqa ko‘ra bunday almashtirish mavjud va yagona bo‘lib, qurilgan C chiziqli almashtirishning bazisdagi matritsasi matritsa bilan ustma-ust tushadi. Bundan tashqari, bu chiziqli almashtirish bazis vektorlarni bazis vektorlarga o‘tkazganligi uchun, u teskarilanuvchi almashtirish bo‘ladi.
Berilgan (3) formulalarning o‘ng va chap tomonlarida ni bilan hamda ni bilan almashtirsak, hosil bo‘ladi.
Bu tenglikning ikkala tomoniga almashtirishni tatbiq qilib, tengligni hosil qilamiz.
Bu tenglikdan esa matritsa almashtirishning bazisdagi matritsasi ekanligi ko‘rinib turibdi. Almashtirishlarni ko‘paytirganda ularning berilgan
bazisdagi matritsalari ko‘paytirilishidan tenglik kelib
chiqadi.
Invariant qism fazolar. Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari
Invariant qism fazolar. Agar V chiziqli fazoda biror chiziqli yoki bichiziqli funksiya berilgan bo‘lib, bu funksiya faqat V fazoning biror V qism fazosidagina aniqlangan bo‘lsa, u holda biz uni V da berilgan deb hisoblashimiz, ya’ni V o‘rniga faqat V ni qarashimiz mumkin.
Chiziqli almashtirishlarga keladigan bo‘lsak, bu yerda holat butunlay boshqacha bo‘ladi. Darhaqiqat, chiziqli almashtirish V_x qism fazoning biror vektorini V ga tegishli bo‘lmagan vektorga o‘tkazib yuborishi ham mumkin. Bunday holatda biz faqat V_x qism fazo bilan chegaralanib qola olmaymiz.
1-ta’rif. V chiziqli fazo va A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lsin. Agar V qism fazoning ixtiyoriy x elementi uchun Ax vektor ham V ga tegishli bo‘lsa, u holda V_x qism fazo A chiziqli almashtirishga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadi-ki, A chiziqli almashtirishni biror qism fazoda qarashimiz uchun, u invariant qism fazo bo‘lishi kerak.
Misol 1. a) Faqat noldangina iborat bo‘lgan qism fazo va butun fazo invariant qism fazolardir. Bu qism fazolar trivial invariant qism fazolar deyiladi.
b) uch o‘lchamli fazoda vektomi noldan o‘tgan biror o‘q atrofida burishdan iborat bo‘lgan chiziqli almashtirishni qaraylik. Bu holda aylanish o‘qi bir o‘lchamli invariant qism fazo, koordinatalar
boshidan o‘tib, bu o‘qqa ortogonal bo‘lgan tekislik esa ikki o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
c) tekislikda (ikki o‘lchamli fazo) A chiziqli almashtirish tekislikni X o‘q bo‘yicha marta, Y o‘q bo‘yicha marta cho‘zishdan iborat bo‘lsin. Boshqacha aytganda, agar uchun bu yerda o‘qlardagi birlik vektorlar.
Bu holda X hamda Y koordinata o‘qlari bir o‘lchamli invariant qism fazolar bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda koordinatalar boshidan o‘tgan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq invariant qism fazo bo‘ladi.
Xos son va xos vektorlar. V fazo va undagi biror vektordan hosil bo‘lgan bir o‘lchamli V qism fazo berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, V fazo ko‘rinishidagi elementlardan tashkil topadi. V fazo invariant bo‘lishi uchun Ax vektor ham V da yotishi, ya’ni bo‘lishi zarur va yetarlidir.