Turli bazisda berilgan chiziqli almashtirish matritsalar orasi bog‘lanish Reja: Kirish. Asosiy qism

2-ta’rif. munosabatni qanoatlantiruvchi vektor A chiziqli almashtirishning xos vektori, unga mos keluvchi son esa xos son deyiladi.
Shunday qilib, agar x vektor xos vektor bo‘lsa, u holda ax vektorlar to‘plami bir o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Aksincha, bir o‘lchamli invariant qism fazoning noldan farqli barcha vektorlari xos vektorlardir.
3-teorema. V kompleks fazoda xar qanday A chiziqli almashtirish kamida bitta xos vektorga ega.
Isbot. V fazoda biror bazis tanlab olamiz. Bu bazisda A chiziqli almashtirishning matritsasi bo‘lsin. Ixtiyoriy
vektor uchun Ax vektorni qarasak,


bo‘ladi. Demak, vektor xos vektor bo‘lishi,
ya’ni shart bajarilishi uchun

tengliklar o‘rinli bo‘lishi kerak. Boshqacha aytganda, agar
(1)
bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo‘lsa, x xos vektor mavjud bo‘ladi.
Shunday qilib, teoremani isbot qilish uchun (1) sistemani qanoatlantiradigan sonini va bir vaqtning o‘zida nolga teng bo‘lmaydigan sonlarning mavjud ekanligini ko‘rsatish kerak.
Ma’lumki, bir jinsli tenglamalar sistemasining noldan farqli yechimi mavjud bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, demak
(2)
Ushbu determinantdan biz ga nisbatan n -darajali tenglama hosil qilamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra, kompleks sonlar maydonida xar qanday ko‘phad kamida bitta ildizga ega bo‘lganligi uchun, bu tenglama ham ildizga ega.


Chiziqli almashtirishga qo‘shma almashtirish
Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar bilan bichiziqli formalar orasidagi bog‘lanish. Biz avvalgi mavzularda chiziqli fazoda bichiziqli formalar va chiziqli almashtirishlarni o‘rganib chiqdik. Ushbu mavzuda Yevklid fazosidagi bichiziqli formalar va chiziqli almashtirishlar orasidagi bog‘lanishni keltiramiz.
V kompleks Yevklid fazosi va A(x, y) bichiziqli forma berilgan bo‘lsin. V fazoda biror ortonormal bazis tanlab olamiz.
Agar

bo‘lsa, u holda A(x,y) bichiziqli formani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(1)
Biz A( x, y) bichiziqli formani biror skalyar ko‘paytma ko‘rinishida ifodalashga harakat qilamiz. Buning uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:

Endi chiziqli almashtirishni aniqlaymiz. Buning
uchun berilgan vektorga

vektorni mos qo‘yamiz. Natijada matritsasi A(x,y) bichiziqli forma matritsasining transponirlanganiga teng bo‘lgan chiziqli almashtirish hosil bo‘ladi. Demak, biz quyidagi tenglikni hosil qildik:

bu yerda
Shunday qilib, Yevklid fazosida xar qanday A(x, y) bichiziqli formaga
A(x, y) = (Ax, y) shartni qanoatlantiruvchi A chiziqli almashtirish to‘g‘ri keladi, va aksincha xar qanday A chiziqli almashtirishga A(x, y) bichiziqli forma mos keladi.
Haqiqatdan ham, A(x, y) = (Ax, y) kabi aniqlangan funksiya bichiziqli formaning shartlarini qanoatlantiradi.

Endi A chiziqli almashtirishga A(x, y) bichiziqli formani mos qo‘yish o‘zaro bir qiymatli moslik ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik,
A(x, y) = (Ax, y) va A(x, y) = (Bx, y) bo‘lsin. U holda ixtiyoriy y vektor uchun
(Ax - Bx, y) = 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ammo bu, Ax - Bx = 0 ekanligini bildiradi, demak, Ax = Bx. Qaralayotgan x vektorning ixtiyoriyligidan A = B kelib chiqadi.
Xulosa sifatida ushbu teoremani keltiramiz.