Université Louis Lumière Lyon 2 Faculté de Géographie, Histoire de l’Art, Tourisme

metric approach. The two are equally important in biology. Neglecting either one of them would be a great error. It must, however, be said that in some respects the relational approach is more basic. It does emphasize the unity of the organism as well as of the organic world as a whole, a fact which the quantitative approach, thus far at least, almost ignores. The metric approach is more likely to emphasize the quantitative differences between organisms, whereas the relational approach emphasizes the qualitative similarities between them”, [Rashevsky, N., 1964], p. 57. C’est l’auteur qui souligne.

2 [Rashevsky, N., 1958b], p. 267.

3 C’est d’ailleurs dans cet article qu’il cite Woodger explicitement et pour la première fois dans ce contexte : voir [Rashevsky, N., 1958a], pp. 90 et 93. Il est probable, selon nous, que ce soit Robert Rosen, dont nous parlerons bientôt, qui ait de nouveau attiré l’attention de Rashevsky sur les travaux de Woodger. Cela se confirme si l’on remarque que Rosen a relu le premier article de 1958 ([Rashevsky, N., 1958a], p. 92).

1 “the intensity of a biological function is a function of the intensity of another biological function”, [Rashevsky, N., 1958a], pp. 72-73.

2 [Rashevsky, N., 1958a], pp. 73-75.

3 [Rashevsky, N., 1958a], p. 72.

4 “which are logically included in the corresponding properties”, [Rashevsky, N., 1958a], p. 71.

5 [Rashevsky, N., 1958a], p. 73.

6 [Rashevsky, N., 1958a], p. 76.

7 [Rashevsky, N., 1958a], p. 78.

8 Selon l’interprétation des graphes donnée par les mathématiciens russe et allemand Pavel S. Alexandroff (né en 1896) et Heinz Hopf (né en 1894) dans leur manuel Topologie. Vol I., Berlin, J. Springer, 1935, utilisé et cité par [Rashevsky, N., 1958a], pp. 78 et 92.

9 Voir l’article de vulgarisation de Maurice Fréchet (1878-1973) in [Le Lionnais, F., 1962], p. 124. Un espace topologique y est présenté comme un espace où les propriétés des figures ne sont pas modifiées par déformations continues. La notion de voisinage, plus faible et plus générale que celle de métrique ou même que celle de distance, permet ainsi l’expression préférentielle de cette propriété générale. Pour une présentation rigoureuse, voir [Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., 1976, 1988], Tome 3, pp. 26-29. Un espace topologique, en ce sens généralisé depuis les travaux de Emmy Noether (1882-1935) aux alentours de 1925 (par contraste avec les espaces topologiques antérieurs de Felix Hausdorff (1868-1942) pour lequel la topologie se contentait de généraliser une approche géométrique de l’analyse fonctionnelle [Taton, R., 1964, 19995], p. 22), peut ne pas être métrisable ni même distanciable. C’est à partir de ce moment-là que, selon Georges Darmois (1888-1960) et Daniel Dugué (1912-1987) (qui succéda à Darmois à la tête de l’ISUP en 1958), on assista à une « algébrisation de la topologie » (ibid., p. 22).

10 [Rashevsky, N., 1958a], p. 77.

1 [Rashevsky, N., 1958a], p. 77.

2 “physical meaning”, [Rashevsky, N., 1958a], p. 77 et p. 78. C’est l’auteur qui souligne.

3 “much more logical”, [Rashevsky, N., 1958a], p. 77.

4 “primordial organism”, [Rashevsky, N., 1958a], p. 72.

5 [Rashevsky, N., 1958a], p. 72.

6 “positive existential statements”, [Rashevsky, N., 1968], p. 246.

7 [Rashevsky, N., 1958a], p. 78.

1 [Rashevsky, N., 1958a], p. 78.

2 [Rashevsky, N., 1958a], p. 82.

3 “Let Ps_v denote the set of visual sensitivities of all kind. We have Ps_v Ps. In a primordial we have Ps → Pc → Pm. Hence it follows from (A) that in some higher organisms we must have : Ps_v → Pc → Pm(d). In words : There exists higher organisms, in which gastrointestinal movements are affected by visual stimuli. A well-known example is the vomiting at the sight of some unpleasant things. By the same argument, we have more generally Ps_α → Pc → Pm(d) which states that in some animals different sensory stimuli affect the gastrointestinal motility”, [Rashevsky, N., 1958a], p. 83. C’est l’auteur qui souligne.

4 [Rashevsky, N., 1964], p. 51.

5 “metric biophysical theory”, [Rashevsky, N., 1958a], p. 83.

6 [Rashevsky, N., 1958a], p. 83.

1 En 1960, Rashevsky ajoute même que la biotopologie aurait pu prédire l’existence des antibiotiques. En effet, en recourant entièrement théoriquement à des épimorphismes réducteurs à partir d’organismes supérieurs connus comme l’araignée (avec la sécrétion de sa toile) et en s’autorisant ainsi la conception a priori de micro-organismes hypothétiques sécrétant de façon similaire des substances nocives pour d’autres micro-organismes, le principe des antibiotiques aurait pu être imaginé comme plausible trente ans avant qu’il ne soit effectivement découvert. Sa découverte en aurait été plus précoce. Voir [Rashevsky, N., 1960b], p. 147.

2 [Rashevsky, N., 1960b], p. 147.

3 “just as the matrix and the wave-mechanical approach in quantum theory are different but equivalent”, [Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, Tome 2, p. viii.

1 “I do not know of course whether in my own work the gradual transition from a geometrical approach to an approach via the theory of relations was the result of an inherent logical development, as it seems to be, or whether I have been subconsciously influenced by Woodger’s work. If so, I certainly owe Woodger a debt of gratitude. I gave been familiar with his writings ever since the time of their first publication, but for a long time I have underestimate their value ; an error on my part, which I hasten to acknowledge and to correct. To Woodger goes the credit for having first introduced systematically relational mathematics into biology”, [Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, Tome 2, pp. viii-ix.

2 [Rashevsky, N., 1964], p. 57.

1 Voir [Rashevsky, N., 1966a], [Rashevsky, N., 1966b] et [Rashevsky, N., 1966c]

2 [Rashevsky, N., 1966c], p. 655.

3 “Can the principle of bio-topological mapping be incorporated into the scheme of physical laws which govern the organic world ? The way to do this would seem to be as follows : The physicist must derive the possibility of a living molecule or simple small aggregate of molecules, proving its stability as a dynamic system and hence its ability of continued existence. Then it would be necessary to prove a general theorem to the effect that any physical system, derived from such a ‘primordial’ by a transformation rule (A) [ = transformation continue d’un organisme quelconque sur le primordial] o another related rule, has the same stability properties. This would reduce the principle of bio-topological mapping to already established physical principle”, [Rashevsky, N., 1960, a], pp. 343-344.

1 “Implicitly topological relations are contained in even older considerations of d’Arcy Thompson […] These are, however, relatively superficial relations. Topological analogies go much deeper in the realm of the living when we observe not merely structural but functional (in a biological sense) relations”, [Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, p. 309.

1 Nous n’avons pas beaucoup de documents biographiques sur Robert Rosen. En juillet 2003, le site Internet de sa famille (maintenu par sa fille Judith Rosen) annonce cependant de prochaines publications en ligne à ce sujet. Nous savons déjà qu’entre 1957 et 1958, Rosen travaille dans le même laboratoire et quasiment au même projet que Rashevsky puisque les publications des deux chercheurs font référence au même numéro de dotation budgétaire, le « Grant RG-5181 » du United States Public Health Service. Voir [Rosen, R., 1958a], p. 259 et [Rashevsky, N., 1958b], p. 273. Récemment (juillet 2004), dans son forum de discussion, Judith Rosen minimise l’influence de Rashevsky sur les formalisations de son père en affirmant que Robert Rosen avait déjà formé l’essentiel de ses idées quand il est venu frappé à la porte de Rashevsky. Ce dernier l’aurait simplement aidé à poursuivre avec courage dans cette voie de la biologie théorique désormais si méprisée par le milieu académique. Nous prenons cette information avec circonspection. Mais il est certainement vrai que Rosen a dû se former seul à de nouvelles mathématiques auxquelles Rashevsky ne s’intéressait pas particulièrement.

2 Voir supra.

3 Rosen cite ainsi la définition du terme « système » telle qu’on la trouve dans le volume I des annales de la Society for Advancement of General System Theory, de 1956. Bertalanffy raconte la création en 1954 de cette société in [Bertalanffy (von), L., 1968, 1973], pp. 13-14.

4 “any type of structure which acts, through a certain sequence of operations, to produce a definite set of output materials from a given set of input materials, or from a given set of environmental conditions”, [Rosen, R., 1958a], p. 246.

1 [Rosen, R., 1958a], p. 246.

2 [Rosen, R., 1958a], p. 246.

3 [Rosen, R., 1958a], p. 251.

4 [Rosen, R., 1958b], p. 341.

5 [Rosen, R., 1958a], p. 255.

1 [Rosen, R., 1958a], p. 253.

2 [Rosen, R., 1958a], p. 255.

3 [Rosen, R., 1958a], p. 259.

1 [Rashevsky, N., 1968], p. 243.

2 [Rashevsky, N., 1958c].

3 “In a recent paper, Robert Rosen applied topological considerations to the study of an organism as a whole. Those considerations have no direct relation to the principle of biological mapping. They rather represent a topological model of an organism, especially a model of the repair mechanisms which organisms possess for lost or impaired parts”, [Rashevsky, N., 1958c], p. 275. C’est nous qui soulignons.

4 [Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, p. 390.

1 Plus tard, Rosen soulignera la certaine indifférence voire la réticence qui caractérisa Rashevsky devant le développement des usages de l’ordinateur. Selon Rosen, si Rashevsky avait eu la possibilité de se servir d’un ordinateur, il s’en serait dispensé, au vu de ses options épistémologiques : “he would not have used computers even if they were available”, [Rosen, R., 2000], p. 121.

2 [Rashevsky, N., 1958c], p. 276.

3 [Rashevsky, N., 1958c], p. 277.

4 [Rashevsky, N., 1958c], p. 277.

5 Mais Rashevsky n’évoque pas von Neumann et ne s’attaque pas à ce problème logique.

6 [Rashevsky, N., 1958c], pp. 279-280.

1 [Rashevsky, N., 1958c], p. 276.

2 [Rosen, R., 1958a], p. 246.

3 [Rosen, R., 1958a], p. 247.

4 Précisément avec la découverte de la double hélice de l’ADN en 1953.

5 Voir, sur ce sujet, l’article d’un élève de Rosen, le physiologiste Donald C. Mickulecky, professeur à la faculté de médecine de l’Université du Commonwealth de Virginie (Richmond), [Mickulecky, D. C., 1996], p. 11. Voir également [Rosen, R., 2000], p. 225.

6 “Most of the observational techniques at our disposal will yield only fine structure ; it is probable that most of the extant biochemical literature, for example, deals with problems of fine structure in this sense”, [Rosen, R., 1958a], p. 247.

1 Car, comme nous l’avons vu, il n’est pas certain qu’à l’époque (1933-1948) où Rashevsky comparait les mérites de ce qu’il appelait encore des « théories » biophysiques (et non pas des « modèles » alors que le terme existait et était en usage en physique et en biologie des populations), il n’ait pas eu le désir et l’espoir de trouver une théorie biophysique unique et optimale.

2 “actual physical realizations of these components”, [Rosen, R., 1958a], p. 246.

3 “or, in Rashevsky’s terminology (Rashevsky, 1954), as do relational and metrical aspects of biology”, [Rosen, R., 1958a], p. 247. Nous avons inversé l’ordre de l’analogie dans notre traduction afin de l’adapter à notre formulation.

4 Ce sont donc les réalisations matérielles qui sont diverses et éparses. La formalisation, quant à elle, doit être uniforme et rassemblante. C’est là exprimer tout le contraire de ce que suppose l’épistémologie positiviste, perspectiviste et dispersante des modèles : pour elle, les modèles sont divers et épars, seule la réalisation est unique ; mais elle est inaccessible car irreprésentable.

5 “It is not necessary that a component in a block diagram be recognizable by means of a physical landmark in a particular realization of the system”, [Rosen, R., 1958a], p. 247.

1 Dans les années 1970, notamment après sa lecture décisive de René Thom en 1972, Rosen reprendra cet argument. Et c’est avec son appui qu’il s’autorisera pendant le reste de sa carrière à réintroduire quelque chose comme une cause finale, non matériellement situable, dans les modèles formels (ou « grossiers ») de l’organisme. Voir [Rosen, R., 2000], pp. 156-163.

2 Dans le numéro 4 du volume 20 du Bulletin of Mathematical biology. Voir [Rosen, R., 1958b].

3 [Rosen, R., 1958b], p. 318.

4 Voir sur ce point [Rashevsky, N., 1966a], p. 292.

1 [Rosen, R., 1958b], p. 318.

2 “Although we may to a certain extent overcome the difficulties we have mentioned by the introduction of a number of technical devices, the theory which results will have lost the intuitional clarity which constituted a large part of its appeal”, [Rosen, R., 1958b], p. 318. C’est nous qui soulignons.

3 “representation theory”, [Rosen, R., 1958b], pp. 318, 326 et 332.

1 “It will be seen that, although the theory which results seems at the outset to be considerably more complicated than our previous treatment, we can formulate our results, and even our definitions, in a simpler, more intelligible and more precise fashion than is possible through any refinement of our other approach”, [Rosen, R., 1958b], p. 319.

2 [Rashevsky, N., 1960b], p. 393.

3 Voir [Lavendhomme, R., 2001, p. 274 : « En général, on peut dire qu’une bonne construction mathématique doit être résistante aux transformations naturelles [c’est-à-dire aux transformations d’un foncteur en un autre et qui commutent : voir ibid., pp. 273-274.]. Elle doit être ‘naturelle’. C’est en fait avec l’idée de naturalité que S. Eilenberg et S. Mac Lane ont débuté leur réflexion sur les catégories. Il y a, en mathématiques, des constructions qui dépendent de certains choix pour être exécutées, alors que d’autres sont, comme on dit, canoniques, c’est-à-dire ne dépendant pas de choix adventices. Ce sont ces dernières qui donnent lieu à des transformation naturelles et c’est pour éclaircir cette idée que la notion de transformation naturelle a été créée. »

4 Voir les propos enthousiastes du mathématicien Jean Dieudonné au sujet des « montées nouvelles dans l’abstraction » en mathématiques in [Taton, R., 1964, 1995], p. 20.

5 “then we can regard the effect of M as a mapping or transformation, which assigns to every m-uple (a1,…, am), ai Ai, a definite object b B”, [Rosen, R., 1958b], pp. 319-320.

1 [Rosen, R., 1958b], p. 320.

2 “We may observe that regarding a biological system as a set of mappings incorporates most of our intuitive notions about these systems in an extremely natural way”, [Rosen, R., 1958b], p. 320.

3 [Rosen, R., 1958b], p. 322. Voir la définition rigoureuse d’un homéomorphisme in [Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., 1976, 1988], p. 43 : « Soient E et F des espaces topologiques. On appelle homéomorphisme de E sur F toute bijection continue de E sur F, dont la bijection réciproque est continue sur F. Deux espaces topologiques sont dits homéomorphes si et seulement s’il existe un homéomorphisme de l’un sur l’autre. » Pour la notion de « bijection continue » définie à partir des notions d’« ouvert » et de « voisinage », voir ibid., p. 42.

4 Nous nous inspirons ici des présentations simplifiées de Rosen lui-même ([Rosen, R., 1958b], pp. 320-321) et de René Lavendhomme ([Lavendhomme, R., 2001], pp. 263-265.

5 Rosen précise que cet ensemble H (A, A’) peut être vide, c’est-à-dire qu’il peut n’y avoir aucune application de A sur A’. Voir [Rosen, R., 1958b], p. 321.

6 Selon la version de Rosen, [Rosen, R., 1958b], p. 321.

7 Selon la version de [Lavendhomme, R., 2001], p. 263.

8 “combining or composing”, [Rosen, R., 1958b], p. 321.

1 [Rosen, R., 1958b], p. 321.

2 [Rosen, R., 1958b], p. 321. Rosen rappelle ici deux catégories (plus concrètes !) que Eilenberg et Mac Lane donnent en exemple : une première catégorie pourrait définir tous les groupes (au sens de l’algèbre) comme ses objets et les homomorphismes (applications qui respectent la composition, l’inverse et l’élément neutre dans les groupes, [Lavendhomme, R., 2001], p. 262) entre deux de ces groupes comme ses applications. Une seconde catégorie aurait pour objets la totalité des espaces topologiques et pour applications les applications ou transformations continues entre ces espaces.

3 [Rosen, R., 1958b], p. 322.

4 [Rosen, R., 1958b], p. 323.

5 [Rosen, R., 1958b], p. 323.

6 On montre auparavant que l’image d’une catégorie par un foncteur est toujours une sous-catégorie de la catégorie cible.

7 “Theorem 1. Any abstract category A can be embedded as a subcategory of the category S, the objects of which consist of all sets and the mappings of which are the totality of all set-theoretical many-one mappings of sets”, [Rosen, R., 1958b], p. 323.

1 [Rosen, R., 1958b], p. 324.

2 [Rosen, R., 1958b], p. 325.

3 [Rosen, R., 1958b], p. 327.

4 [Rosen, R., 1958b], pp. 328-332.

5 [Rosen, R., 1958b], p. 333.

1 “An automaton consists, in the first approximation, of a black box and a finite number of inputs and outputs, each of which satisfies the special property that it is capable of assuming precisely two observable states”, [Rosen, R., 1958b], p. 337.

2 “as a mapping the range of which is the ‘coin-tossing space’ A, and the domain of which is a cartesian product of A with itself, taken a number of times equal to the number of inputs to the automaton”, [Rosen, R., 1958b], p. 337.

3 [Rosen, R., 1958b], p. 340.

1 Voir les titres des travaux de quelques uns des derniers étudiants de Rashevsky cités in [Rashevsky, N., 1966c], pp. 660-661. Ils se concentreront davantage sur le principe de la conception optimale ou sur de nouvelles approches, matricielle par exemple, du principe de l’épimorphisme.

2 Indiquons simplement qu’il obtiendra ensuite un poste au Center for Theoretical Biology de l’Université d’Etat de New York, à Buffalo, puis à l’Université Dalhousie où il terminera sa carrière comme professeur émérite. Une liste assez complète de ses travaux se trouve dans son dernier ouvrage [Rosen, R., 2000], pp. 343-345. Dans ce livre, qui a été collationné par sa fille, Judith Rosen, les deux articles de 1958 ne sont pas cités. Pour sa famille ou pour lui-même, sa bibliographie commencerait donc seulement en 1959… C’est en effet la date à partir de laquelle il va commencer à remettre fondamentalement en question l’idée même selon laquelle il est possible de représenter formellement un système biologique par un automate ou par un quelconque mécanisme mathématique. Cette thèse sera par la suite son cheval de bataille, jusqu’en 1998, date de sa mort. Auparavant, il avait fait chaleureusement écho aux prises de position de René Thom en ces matières.

3 Voir [Rosen, R., 2000], pp. 261-263.

4 “Abstract Biological Systems as Sequential Machines”, Bulletin of Mathematical Biophysics, 1964, vol. 26, pp. 103-111, cité dans [Rashevsky, N., 1968], p. 258.

5 An Introduction to Mathematical Machine Theory, Reading Mass., Addisson-Wesley Publ. Co., 1962, cité par [Lindenmayer, A., 1968a], pp. 281-282 et 299.

6 [Rashevsky, N., 1966a], p. 292.

7 [Rashevsky, N., 1960a], Tome 2, p. 394.

1 Voir [Rosen, R., 1968a], p. 481, où Rosen expose “the theory of modelling of physical systems”. L’objet de cet article est d’extraire la notion d’analogie de son habituelle compréhension en termes de correspondances physiques bi-univoques entre deux systèmes : il existe bien d’autres types d’analogies, soutient Rosen. Et c’est le passage par les mathématiques (par des diagrammes algébriques de commutation entre diverses représentations d’un système dynamique) qui lui permet de le montrer (