Xi mövzu: Sahə anlayışı. İxtiyari dördbucaqlının və dairənin hissələrinin sahələri Plan

3.Oxşar fiqurların sahələri nisbəti

Teorem: Oxşar üçbucaqların sahələri nisbəti uyğun tərəflərin nisbətinə -oxşarlıq əmsalına bərabərdir. Oxşarlıq əmsalı k-ya bərabərdirsə,yəni ai:aiı = k olarsa, onda S:Sı= k² başqa sözlə, S = k² Sı olar.

İsbatı: tutaq ki, ABC və A₁B₁C₁ üçbucaqları oxşardır və oxşarlıq əmsalı k-dır, yəni, AB: A₁B₁= AC:A₁C₁ = BC:B₁C₁ = k və ∠A=∠ A1 , ∠B= ∠ B1, ∠C=∠ C1

S_ABC :S _A1B1C1 nisbətini hesablayaq:

AB: A₁B₁= k olduğundan, AB=k A₁B₁

AC: A₁C₁ = k olduğundan, AC= k A₁C₁

BC: B₁C₁ = k olduğundan, BC= k B₁C₁ olar, həmçinin və ∠A=∠ A1 , ∠B= ∠ B1, ∠C=∠ C1 olduğunu üçbucaqların sahəsini hesablamaq üçün olan hər hansı sahə düsturunda, məsələn, S = AB∙ AC sin A, düsturunda nəzərə alsaq teoremin doğruluğunu alarıq. Doğrudan da,

S_ABC = AB.AC sinA, S _A1B1C1 = A₁B₁^{∙  ∙}  A₁C₁sinA₁ və ∠A=∠ A₁ , sinA= sinA₁ olduğundan

S_ABC = AB∙ AC sinA = k A₁B₁^. kA₁C₁sinA₁ =k²A₁B₁^∙ A₁C₁sinA₁ )= k²S₁

Yəni, S_ABC = k²S₁

Nəticə: Oxşar üçbucaqların sahələri nisbəti uyğun tərəflərin nisbətinin kvadratına -oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Doğrudan da, ixtiyari oxşar çoxbucqlıları eyni qayda ilə üçbucaqlara ayırsaq, (məsələn bir təpədən çəkilmiş n-2 sayda diaqonalın köməyi ilə n-2 sayda üçbucaqlara) ayırsaq alınmış oxşar üçbucaqlar üçün

S= S₁ +S₂+ ....S_n-2 və S¹ = S₁¹ + S₂¹ +...+S_n-2¹

S₁:S₁¹= k² ; S₂:S₂¹= k²; .... S_n-2:S_n-2¹= k² buradan.

S₁ = k² ∙ S₁¹; S₂ = k² ∙ S₂¹ .... S_n-2 = k² ∙  S_n-2¹ . Onda

S= S₁ +S₂+ ....S_n-2 = k² ∙ S₁¹+ k² ∙ S₂¹ +... + k² ∙ S_n-2¹=

= k²( S₁¹+ S₂¹ +... + S_n-2¹) = k² ∙ S¹ alarıq.