Xosmas integrallar

Birinchi hol. Aytaylik
  1
bo‟lganda (10) limit mavjud bo‟lsin. U vaqtda

limit ta‟rifiga asosan ^{   0}
uchun  N
bo‟ladiki, x>N bo‟lganda
x ^ f ( x ) 
J  

tengsizlik bajariladi. Bundan
M
f ( x ) 
_x 
kelib chiqadi, bunda


M  J  

• 
  0 .
  


Shunday qilib (6) shart hosil bo‟ladi. Bu esa _
N


f ( x ) dx
integralning mavjudligini

ta‟minlaydi. Quyidagi

 N
_ f ( x ) dx  _
a a


f ( x ) dx


• 
  _ f ( x ) dx
  

N

(12)

tenglikdan esa (7)-xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.

Ikkinchi hol.

  1
bo‟lganda (11) limit mavjud bo‟lsin. Bizda J>0 J dan

kichik bo‟lgan musbat M sonni olamiz. U vaqtda tanlangan M bo‟yicha shunday

N sonni topish mumkinki, natijada x>N bo‟lganda


x ^ f ( x )  M
tengsizlik

bajariladi (ma‟lumki, agar
x  b va
^{b  r}  ^{b  r} 
bo‟lsa, u holda ma‟lum bir joydan

n
boshlab
^x _n ^{ r}  ^x _n

• 
  ^r 
  

munosabat bajariladi). Shunday qilib (8) tengsizlik hosil

bo‟ladi. Bundan esa

_ f ( x ) d x
N

integralning uzoqlashuvchi bo‟lishi kelib chiqadi. (12) ga asosan (7) integral uzoqlashadi.

Misollar:

Yechish:

dx
1. _
0

integral tekshirilsin

1
f ( x )  
1 3
_{, x} 2

1
f ( x ) 

1 2
1  
^x x ³

3


lim x ²
x   





f ( x )  1

,  

³  1 bo‟lgani uchun xosmas integral yaqinlashadi.
2

2. ^
2
^dx integral tekshirilsin.

Yechish:

f ( x )    _;

^{1 1} 1

x ³ 
f ( x ) 
_; lim
x   
x ³ f ( x )  1 _; ^{   1}
3

Demak, berilgan xosmas integral uzoqlashadi.


3. ^
0
e ^{ x} 2 d x

integral tekshirilsin.

• 
  x ²
  

da
lim


x ^  e ^x 2
 0 ,

Yechish:

f ( x )  e
; Lopital qoidasiga asosan
  0


x   

bo‟ladi. Xususiy holda ^{ }
2  1
bo‟lganda,

lim
x   
_x 2 _{ e}  x ^{2
 0} , bo‟ladi. Demak, berilgan integral yaqinlashadi. Bu Puasson

integrali bo‟lib, uning qiymati
ga teng.
2


e ^{ x} 2 d x 

e ^{ x} 2 dx 

2
 ^{; 
0} 

Ikkinchi jins xosmas integrallar

Aytaylik, f(x) funksiya [a,b] kesmada berilgan bo‟lib, b nuqtada chegaralanmagan bo‟lsin. Bu holda b ni maxsus nuqta deyiladi. U vaqtda [ b   ; b ]

kesmada f(x)funksiya integrallanuvchi bo‟lmaydi, bunda
  0
[a,b- ^ ] kesmada

f(x) funksiyani integrallanuvchi (demak, chegaralangan) bo‟lsin deb qaraymiz. Agar ushbu

lim
  0
b  



a


f ( x ) d x  J

(13)

limit mavjud va chekli bo‟lsa, u holda bu limitni f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‟yicha olingan ikkinchi jins xosmas integral deyiladi va

b
J  _
a


f ( x ) d x

(14)

kabi belglanadi. Bu holda (14) integral mavjud va chekli bo‟lsa yaqinlashuvchi deyiladi. Agar (13) limit mavjud bo‟lmasa yoki cheksizga teng bo‟lsa, u holda (14) integral mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.
Xuddi shuningdek, agar a maxsus nuqta bo‟lib, f(x) funksiya [a+ ' ;b] kesmada integrallanuvchi bo‟lsa, bunda  ' >0, u holda ikkinchi jins hosmas integral
b b

_ f ( x ) d x 
lim


 ^'  0
f ( x ) d x
(15)

^a a   ^'

bunda a	bo‟yicha
b	c	b
 a	f ( x ) d x   f ( x ) a	d x   c

ko‟rinishda aniqlanadi. Agar f(x) funksiya c nuqtada chegaralanmagan bo‟lsa,
f ( x ) d x
deb olinadi. Oxirgida chap tomondagi integral mavjud bolishi uchun o‟ng tomondagi integrallar mavjud bo`lishi kerak. Agar a va b nuqtalar maxsus nuqtalar bo`lsa, u holda ikkinchi jins xosmas integral
b c b
_ f ( x ) d x  _ f ( x ) d x  _ f ( x ) d x
a a c

ko‟rinishda aniqlanadi, bunda integral c nuqtaning tanlanishiga bog‟liq bo‟lmaydi.

Misollar.

1
dx

1. 
   Ikkinchi jins xosmas integral hisoblansin: _
   

0


Yechish: x=1 maxsus nuqta. Ta‟rifga asosan:


1 1  

d x
 lim
d x
 lim arcsin x
^{1  }  lim arcsin n (1   )  arcsin 1  ^

^   0 ^
  0
⁰   0 ₂

0 0

1

Demak xosmas integral yaqinlashadi.

2. 
   ^{  0} ni qanday qiymatlarida ushbu ikkinchi jins xosmas integral ^dx
   

x
 ^
0

yaqinlashadi?

Yechish: x=0 maxsus nuqta. Ta‟rifga asosan:

d x d x 1 1
 ¹
, a g a r 
 1 b o ' lsa

1

1
 lim 


lim x ^{1  1} 

1   ^

lim (1   )  _{1  } ,

x

x
 ^ _{  0}  ^
0 
1  
  0
^ 1  
  0



^  , a g a r 

• 
  1 b o ' lsa ;
  

  1
bo‟lganda

1 1




d x

x
 lim
  0
0 
d x


 lim ln x ¹
_x   0
 lim (  ln   )  
  0

Demak, xosmas integral   1 bo‟lganda yaqinlashadi, uzoqlashadi.

3. 
   Ushbu ikkinchi jins xosmas integral
   

  1
bo‟lganda

b
dx

a
^ ( b  x ) ^p
(16)

  0
ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‟lishi tekshirilsin.

Yechish: x=b maxsus nuqta. Ta‟rifga asosan:


b b  

dx
 lim



dx 1




lim ( b  x )1  ^
   _

^ ( b  x ) ^
  0 ^
( b  x ) ^

_{  1}   0 ^a

1. 
   a
   

₁ ^{ 1}  ( b   )^{1 } , a g a r 

 1 b o ' lsa



  1
lim [ ^{1 }
  0
 ( b  d )^{1 } ]  ^ 1  


^  , a g a r 

• 
  1 b o ' lsa
  

  1
bo‟lganda

2. 
   b  
   

d x
 lim


^{d x}   lim ln ( b  x ) ^{b  }

b  a
 lim ln  

^ b  x
  0 ^
b  x
  0
^a   0 _

a a

Demak, xosmas integral

  1

bo‟lsa, yaqinlashadi;

  1

bo‟lsa uzoqlashadi.

4. 
   Ushbu ikkinchi jins xosmas integral
   

b
dx

a
^ ( x   ) ^ ( ^

• 
  0 )
  

(17)

  1
bo‟lganda yaqinlashuvchi,
  1
bo‟lganda uzoqlashuvchi bo‟lishi

isbotlansin.

Chegaralanmagan funksiyadan olingan integralning yaqinlashishi va uzoqlashishi haqidagi yetarli belgini ifodalovchi teoremani isbotlaymiz .

Teorema: Aytaylik, f(x) funksiya[a,b) yarim segmentda uzluksiz va manfiy bo‟lmasin, hamda x=b nuqtada ikkichi jins uzilishga ega bo‟lsin, yani

lim
x  b  0
f ( x )    .

U vaqtda:

1. 
   agar shunday M>0 va segmentda
   

  1

o‟zgarmas sonlar mavjud bo‟lib, [a,b) yarim

tengsizlik bajarilsa, u holda
0  f ( x ) 
M
( b  x ) ^p
(18)

b
_ f ( x ) d x
a
(19)

ikkinchi jins xosmas integral yaqinlashadi;

2. 
   agar M>0 va
   

  1

o‟zgarmas sonlar mavjud bo‟lib, [a,b) yarim segmentda

f ( x ) 
M
( b  x ) ^
(20)

tengsizlik bajarilsa, u holda (19) integral uzoqlashadi

Isbot. Avval teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. (18) tengsizlikka asosan.

Ô ( ) 
b  


f ( x ) d x 
b  
d x
M
d x M

b
 M 



(b  a )^{1 }
( 

 1)

^{ } ( b  x ) ^{ } ( b 
x ) ^
1  

a a a

bo‟ladi. Demak, Ô ( )
funksiya yuqoridan chegaralangan. Shu bilan birga
Ô ( )

funksiya o‟suvchi bo‟ladi. Shuning uchun
Ô ( )
funksiya
  0 da chekli

limitga ega boladi. Bu (19) integralning yaqinlashuvchi ekanligini anglatadi. Ikkinchi holda (20) tengsizlikka asosan.

Ô ( ) 
b  



a a
f ( x ) d x  M
b  
dx

^{ } ( b 
x ) ^

bo‟ladi. 3-misolga asosan
  1
bo‟lganda (19) integral uzoqlashadi. Teorema

isbotlandi. Bu teoremadan amaliy mashg‟ulotlarda qo‟llaniladigan ikkinchi

jins xosmas integralning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlab beruvchi quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi
Teorema: Aytaylik,f(x) funksiya [a,b) yarim segmentda uzluksiz va manfiy

bo‟lmasin, hamda
lim
x  b  0
^{f ( x )   } bo‟lsin. U vaqtda agar
  1
bo‟lganda

lim ( b 
x  b  0
x ) ^
f ( x )  J
limit mavjud va chekli bo‟lsa, u holda (19) integral

yaqinlashadi;
  1
bo‟lganda chekli yoki cheksiz

lim ( b 
x  b  0
x ) ^
f ( x )  J  0

limit mavjud bo‟lsa u holda (19) integral

uzoqlashadi.
^{Isbot: Birinchi holda}  ^{b  x}  


f ( x )
ning x  b
dagi limiti J ga teng bo‟ladi,

bunda J son nol ham bo‟lishi mumkin. M>J musbat sonni olamiz, u vaqtda

( b 
x ) ^
f ( x )
ko‟paytma x ning b ga yaqin qiymatlarida M dan kichik

bo‟ladi, ya‟ni ^{( b }
x ) ^
f ( x )  M ,
a  c 
x  b,
bunda c son b ga

shunchalik yaqin qilib tanlanadiki, natijada [c,b) yarim segmentda oxirgi tengsizlik o‟rinli bo‟lsin. Bu tengsizlikdan

M


f ( x ) 


c  x  b
(   1)

( b  x ) ,

hosil bo‟ladi. Shunday qilib (18) tengsizlik kelib chiqadi va isbotlangan

teoremaga asosan ushbu

b
_ f ( x ) d x
c

integral yaqinlashadi. U holda

b c b

_ f ( d x )  _
f ( x ) d x  _
f ( x ) d x
tenglikdan (19) integralning yaqinlashishi

a a c

kelib chiqadi.

Ikkinchi holda ^{( b }

x ) ^


f ( x )

ko‟paytma x  b

da J  0 limitga ega .

Shunday musbat M

qiymatlarida ^{( b }
x ) ^
f ( x )  M ,
a  c 
x  b ,
tengsizlik o`rinli bo‟ladi.

Bundan [c,b) yarim segmentda


f ( x ) 
M
( b  x ) ^{ ,}

tengsizlikning o‟rinli bo‟lishi kelib chiqadi, bunda   1 . Demak (20) tengsizlik

hosil bo‟ladi. Isbotlangan teoremaga asosan

Bu esa
b

_ ^{f ( x ) d x} -integral uzoqlashadi.
c

b c b

_ f ( x ) d x  _
f ( x ) d x  _
f ( x ) d x

a a c

integralning uzoqlashuvchi ekanligini isbotlaydi. Teorema isbot bo‟ldi.

Eslatma. Bu yetarli belgi x=a nuqta f(x) funksiya uchun maxsus nuqta


^{bo‟lganda ham o‟z kuchini saqlaydi. Bu holda x   da}  ^{x  }   ^f  ^x 

ko‟paytmaning limitini topish kerak. Agar bu ko‟paytma ^{x  } da chekli

limitga ega bo‟lsa,
  1
bo‟lganda (19) integral yaqinlashadi. Agar

  1

bo‟lgan holda ko‟paytma x  a da chekli yoki cheksiz limitga ega bo‟lsa, u

holda (19) integral uzoqlashadi.